三次数学危机.docx

《周
”。

并
达哥拉斯是公元前五世 古希腊的着名数学家与哲学家。

他曾 立了一个合政治、学 、宗教三位一
体的神秘主 派 ： 达哥拉斯学派。

由 达哥拉斯提出的着名命 “万物皆数 ”是 学派的哲学基石。

而 “一切数均可表成整数或整数之比 ” 是 一学派的数学信仰。

然而， 具有 性的是由 达哥拉斯
建立的 达哥
——N ·布 巴基
什么是悖 ？ 地 ，是指 的推理 程：它看上去是合理的，但 果却得出了矛盾。

悖 在很多情况下表 能得出不符合排中律的矛盾命 ：由它的真，可以推出它 假；由它的假， 可以推出它 真。

由于 格性被公 是数学的一个主要特点，因此如果数学中出 悖 会造成 数学可靠性的 疑。

如果 一悖 涉及面十分广泛的 ， 种冲 波会更 烈，由此 致的 疑 会引 人 上的普遍危机感。

在 种情况下，悖 往往会直接 致 “数学危机 ”的 生。

按照西方 的 法，在数学 展史上迄今 止出 了三次 的数学危机。

希帕索斯悖 与第一次数学危机 希帕索斯悖 的提出与勾股定理的 密切相关。

因此，我 从勾股定理 起。

勾股定理是欧氏几何中最着名的定理之一。

天文学家开普勒曾称其 欧氏几何两 璀璨的明珠之一。

它在数学与人 的 践活 中 有着极其广泛的 用， 同 也是人 最早 到的平面几何定理之一。

在我国， 最早的一部天文数学着作髀算 》中就已有了关于 一定理的初步 。

不 ，在我国 于勾股定理的 明却是 的事情。

一直到 三国 期的 爽才用面 割 出它的第一种 明。

在国外，最早 出 一定理 明的是古希腊的 达哥拉斯。

因而国外一般称之 “ 达哥拉斯定理且据 达哥拉斯在完成 一定理 明后欣喜若狂，而 牛百只以示 。

因此 一定理 又 得了一个 神秘色彩的称号： “百牛定理 ”。

“⋯⋯古往今来， 数众多的悖 思想的 展提供了食粮。

数学悖论与三次数学危机
拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索
斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分
数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。

小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为
之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。

对于当时所有古希腊人的观念这都
是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示
成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个
断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻
了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一
荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风
波，史称“第一次数学危机”。

二百年后，大约在公元前370 年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。

他本人的着作已失
“逻传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。

欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一
辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。

但欧多克索斯的
解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。

这就生硬地把数和量肢解开来。

在这种解
决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。

或者说无
理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。

一直到18 世纪，当数学家证明了基本常
数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。

到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起
来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。

无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

贝克莱悖论与第二次数学危机
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。

伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一
时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。

这一工具一问世，就显示出它的非凡威
力。

许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。

但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是
不严格的。

两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。

因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。

其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克
莱。

1734 年，克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本很的《分析学家；或一篇致一位不信神数学
家的文，其中一下近代分析学的象、原及断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，
或更明的推理》。

在本中，克莱牛的理行了攻。

例如他指牛，算比如x2的数，先将 x取一个不0 的增量x ，由 (x + x)2 - x2，得到 2x x + (x2) ，后再被x 除，得到 2x + x ，最后突然令x = 0，求得数2x 。

是“依靠双重得到了不科学却正确的果”。

因无小
量在牛的理中一会儿是零，一会儿又不是零。

因此，克莱嘲笑无小量是“已死量的幽灵”。

克莱的攻出自神学的目的，但却真正抓住了牛理中的缺陷，是切中要害的。

数学史上把克莱的称之“ 克莱悖”。

地，克莱悖可以表述“无小量究竟是否
0”的：就无小量在当用而言，它必既是0，又不是0。

但从形式而言，无疑是一个矛盾。

一的提出在当的数学界引起了一定的混乱，由此致了第二次数学危机的生。

克莱的攻，牛与莱布尼都曾通完善自己的理来解决，但都没有得完全成功。

使数学家陷入了尬
境地。

一方面微分在用中大成功，另一方面其自身却存在着矛盾，即克
莱悖。

种情况下微分的取舍上到底何去何从呢？
“向前，向前，你就会得信念！”达朗吹起勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世的数学家开始不基
的不格，的不密，而是更多依于直去开新的数学地。

于是一套套新
方法、新以及新分支涌出来。

一个多世的漫漫征程，几代数学家，包括达朗、拉格朗日、努力家族、拉普
拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的女地被开出来，
微分理得了空前丰富。

18 世有甚至被称“分析的世”。

然而，与此同十八世粗糙的，不密的工作也致越来越多
的局面，不和音的刺耳开始震了数学家的神。

下面一无数
例。

无数S＝ 1－ 1＋ 1－ 1＋ 1⋯⋯⋯到底等于什么？
当人一方面S＝（ 1－ 1）＋（ 1－ 1）＋⋯⋯⋯＝ 0；另一方面， S＝ 1 ＋（ 1－ 1）＋（ 1－ 1）＋⋯⋯⋯
＝1，那么非 0＝ 1 ？一矛盾竟使傅立叶那的数学家困惑不解，甚至被后人称之数学家之英雄的欧拉在此也
犯下以恕的。

他在得到
1 + x + x
2 + x
3 + ..... = 1/(1- x)
后，令x = － 1，得出
S＝ 1－ 1＋ 1－ 1＋ 1⋯⋯⋯＝ 1／ 2！
由此一例，即不看出当数学中出的混乱局面了。

的重性在于当分析中任何一个比致
的，如数、分的收性、微分分的序、高微分的使用以及微分方程解的存在性⋯⋯都几乎无人。

尤其到十九世初，傅立叶理直接致了数学基的底暴露。

，消除不和音，
把分析重新建立在基之上就成数学家迫在眉睫的任。

到十九世，批判、系化和密的必要期降了。

使分析基密化的工作由法国着名数学家柯西出了第一大步。

柯西于1821 年开始出版了几本具有划代意的与文。

其中出了分析学一系列基本概念的格定。

如他开始用不等式来刻画极限，使
无的运算化一系列不等式的推。

就是所极限概念的“算化”。

后来，德国数学家魏斯特拉斯
出更完善的我目前所使用的“ε-δ”方法。

另外，在柯西的努力下，、数、微分、分、无数
的和等概念也建立在了的基上。

不，在当情况下，由于数的格理未建立起来，所以柯西的极限理不可
能完善。

柯西之后，魏斯特拉斯、戴德金、康托各自自己独立深入的研究，都将分析基数理，并于七十年代
各自建立了自己完整的数体系。

魏斯特拉斯的理可增有界数列极限存在原
理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托提出用有理“基本序列”来定无理数。

1892 年，另一个数学家
用“区套原理”来建立数理。

由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的的极限理与数理，完成了分析学的奠
基工作。

数学分析的无矛盾性数的无矛盾性，从而使微分学座人数学史上空前雄的大厦建在了牢固可靠
的基之上。

重建微分学基，重要而困的工作就多杰出学者的努力而利完成了。

微分学牢固基的建立，
束了数学中的混乱局面，同
也宣布了第二次数学危机的底解决。

素悖与第三次数学危机
十九世下半叶，康托立了着名的集合，在集合生，曾遭到多人的猛烈攻。

但不久一开性成果就广
大数学家所接受了，并且得广泛而高度的誉。

数学家，从自然数与康托
集合出可建立起整个数学大厦。

因而集合成代数学的基石。

“一切数学成果可建立在集合基上”一使数学家之陶醉。

1900 年，国数学家大会上，法国着名数学家加莱就曾高采烈地宣称：
“⋯⋯⋯借助集合概念，我可以建造整个数学大厦⋯⋯今天，我可以的格性已达到了⋯⋯”
可是，好景不。

1903 年，一个震惊数学界的消息出：集合是有漏洞的！就是英国数学家素提出的着名的素悖。

素构造了一个集合S：S 由一切不是自身元素的集合所成。

然后素：S 是否属于S 呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。

因此，于一个定的集合，是否属于它自己是
有意的。

但个看似合理的的回答却会陷入两境地。

如果S属于S，根据S的定，S就不属于S；
反之，如果S 不属于S，同根据定，S 就属于S。

无如何都是矛盾的。

其，在素之前集合中就已了悖。

如1897年，布拉利和福蒂提出了最大序数悖。

1899年，康托自己了最大基数悖。

但是，由于两个悖都涉及集合中的多复理，所以只是在数
学界揭起了一点小漪，未能引起大的注意。

素悖不同。

它非常浅易懂，而且所涉及的只是集合
中最基本的西。

所以，素悖一提出就在当的数学界与学界内引起了极大震。

如G.弗雷格在收到素介一悖的信后心地：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫于是在他的工作即将束
，其基崩了。

素先生的一封信正好把我置于个境地。

”戴德金也因此推了他的《什么是数的本
和作用》一文的再版。

可以，一悖就象在平静的数学水面上投下了一巨石，而它所引起的巨大反响
致了第三次数学危机。

危机生后，数学家提出自己的解决方案。

人希望能通康托的集合行改造，通
集合定加以限制来排除悖，就需要建立新的原。

“ 些原必足狭窄，以保排除一切矛盾；另一方面又必充分广，使康托
集合中一切有价的内容得以保存下来。

”1908年，策梅在自已一原基上提出第一个公理化集合体系，后来其他数学
家改，称 ZF 系。

一公理化集合系很大程度上弥了康托朴素集合的缺陷。

除 ZF 系外，集合的公理系有多种，如伊
曼等人提出
的NBG 系统等。

公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次
数学危机。

但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。

它使得数学基础问题第一次以最迫切的
需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。

而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整
个数学。

如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上着名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数
学的大发展等等。

以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖论在推
动数学发展中的巨大作用。

有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。

它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。

人们试想：在数学这个号
称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的
结果。

如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。

而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何
与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。

数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。