三次数学危机.docx

《周

”。并

达哥拉斯是公元前五世 古希腊的着名数学家与哲学家。他曾 立了一个合政治、学 、宗教三位一

体的神秘主 派 ： 达哥拉斯学派。由 达哥拉斯提出的着名命 “万物皆数 ”是 学派的哲学基石。而 “一切数均可表成整数或整数之比 ” 是 一学派的数学信仰。 然而， 具有 性的是由 达哥拉斯

建立的 达哥

——N ·布 巴基

什么是悖 ？ 地 ，是指 的推理 程：它看上去是合理的，但 果却得出了矛盾。悖 在很多情况下表 能得出不符合排中律的矛盾命 ：由它的真，可以推出它 假；由它的假， 可以推出它 真。由于 格性被公 是数学的一个主要特点，因此如果数学中出 悖 会造成 数学可靠性的 疑。如果 一悖 涉及面十分广泛的 ， 种冲 波会更 烈，由此 致的 疑 会引 人 上的普遍危机感。 在 种情况下，悖 往往会直接 致 “数学危机 ”的 生。按照西方 的 法，在数学 展史上迄今 止出 了三次 的数学危机。 希帕索斯悖 与第一次数学危机 希帕索斯悖 的提出与勾股定理的 密切相关。因此，我 从勾股定理 起。勾股定理是欧氏几何中最着名的定理之一。天文学家开普勒曾称其 欧氏几何两 璀璨的明珠之一。它在数学与人 的 践活 中 有着极其广泛的 用， 同 也是人 最早 到的平面几何定理之一。 在我国， 最早的一部天文数学着作髀算 》中就已有了关于 一定理的初步 。不 ，在我国 于勾股定理的 明却是 的事情。一直到 三国 期的 爽才用面 割 出它的第一种 明。 在国外，最早 出 一定理 明的是古希腊的 达哥拉斯。因而国外一般称之 “ 达哥拉斯定理且据 达哥拉斯在完成 一定理 明后欣喜若狂，而 牛百只以示 。因此 一定理 又 得了一个 神秘色彩的称号： “百牛定理 ”。

“⋯⋯古往今来， 数众多的悖 思想的 展提供了食粮。

数学悖论与三次数学危机

拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索

斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分

数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为

之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都

是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示

成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个

断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻

了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一

荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风

波，史称“第一次数学危机”。

二百年后，大约在公元前370 年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的着作已失

“逻传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一

辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的

解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解

决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无

理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18 世纪，当数学家证明了基本常

数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起

来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

贝克莱悖论与第二次数学危机

第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一

时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威

力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是

不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。

因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克

莱。

1734 年，克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本很的《分析学家；或一篇致一位不信神数学

家的文，其中一下近代分析学的象、原及断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，

或更明的推理》。在本中，克莱牛的理行了攻。例如他指牛，算比如x2的数，先将 x取一个不0 的增量x ，由 (x + x)2 - x2，得到 2x x + (x2) ，后再被x 除，得到 2x + x ，最后突然令x = 0，求得数2x 。是“依靠双重得到了不科学却正确的果”。因无小

量在牛的理中一会儿是零，一会儿又不是零。因此，克莱嘲笑无小量是“已死量的幽灵”。克莱的攻出自神学的目的，但却真正抓住了牛理中的缺陷，是切中要害的。

数学史上把克莱的称之“ 克莱悖”。地，克莱悖可以表述“无小量究竟是否

0”的：就无小量在当用而言，它必既是0，又不是0。但从形式而言，无疑是一个矛盾。一的提出在当的数学界引起了一定的混乱，由此致了第二次数学危机的生。

克莱的攻，牛与莱布尼都曾通完善自己的理来解决，但都没有得完全成功。使数学家陷入了尬

境地。一方面微分在用中大成功，另一方面其自身却存在着矛盾，即克

莱悖。种情况下微分的取舍上到底何去何从呢？

“向前，向前，你就会得信念！”达朗吹起勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世的数学家开始不基

的不格，的不密，而是更多依于直去开新的数学地。于是一套套新

方法、新以及新分支涌出来。一个多世的漫漫征程，几代数学家，包括达朗、拉格朗日、努力家族、拉普

拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的女地被开出来，

微分理得了空前丰富。 18 世有甚至被称“分析的世”。然而，与此同十八世粗糙的，不密的工作也致越来越多

的局面，不和音的刺耳开始震了数学家的神。下面一无数

例。

无数S＝ 1－ 1＋ 1－ 1＋ 1⋯⋯⋯到底等于什么？

当人一方面S＝（ 1－ 1）＋（ 1－ 1）＋⋯⋯⋯＝ 0；另一方面， S＝ 1 ＋（ 1－ 1）＋（ 1－ 1）＋⋯⋯⋯

＝1，那么非 0＝ 1 ？一矛盾竟使傅立叶那的数学家困惑不解，甚至被后人称之数学家之英雄的欧拉在此也

犯下以恕的。他在得到