气体动理论2

气体（大量分子）
实验定律（P、T）
气体分子遵循力学规律 大量分子无法精确描述
统计规律
统计平均值
气体动理论
理想气体状态方程——在平衡态时宏观实验规律
P0 V0 P1V1 m PV RT RT T0 T1 M
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二、理想气体的压强公式和温度
1、理想气体的微观模型 （1）分子大小不计 （2）气体分子间及气体分子与容器壁分子间除了碰撞 外，不计相互作用 （3）分子的碰撞是弹性碰撞，遵循动量守恒和动能守 恒定律 （4）不计分子重力 —理想气体是自由地、无规则运动的弹性质点的集合 2、统计假设： 1）分子处在空间的任意位置的概率相同，且均匀分布 n个/m3 = C 上页 下页 2）每个分子向各方向运动的几率相同
dA面所受到的压强
1 2 2 dI [ 2n i vixdt dA] n i vixdt dA i 2 i
Fdt
F dI 2 2 P n i vix n v x i dA dtdA
v
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2 x
2 n v i ix i
ni
i

2 n v i ix i
归一化条件
N 0
dN 0 f ( v)dv 1 ( S) N
p226例6-8 设有N个粒子其速率分布函数如图所示。v0 为已知值。求：1）a； 2）1.5v0—2.0v0之间的分子数； 3）分子的平均速率。
Nf (v)
a
v0
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a v v v 0 解 1） v0 Nf v a v0 v 2v 0 v 2v0 0 a v v v0 Nv v 2v0 0 a f v v0 v 2v 0 N v 2v0 0
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轮船：被限制在一曲面上 运动，自由度为2 （经度、纬度）
单原子分子 ——自由运动质点 上页 下页 刚性双原子分子 ——两个被看作质点的原子被一条几何线连接 刚性多原子分子 ——质心的平动和绕过质心任一轴的转动
自由度 转动 平动
单原子分子 双原子分子 3 5 0 2 3 3
三原子(多原子)分子
分子的一个自由度的平均动能
若令 i 为分子的自由度数
分子的平均动能(平动、转动）
1 kT 2
i kT 上页 下页 2
3、理想气体的内能： i 表示一个分子的总自由度 N 表示气体分子的总数 表示气体总摩尔数
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m i RT 内能的变化： E M2
i i m i RT E N( kT ) N A kT 2 M2 2
• 压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果 .
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4、温度的微观意义
m RT P M V
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若已知分子总数 N
令粒子数密度
玻尔兹曼常数
N 3 n 个/m V
R 23 k 1.38 10 J / K NA
N RT P nkT N A V
2 P n k 3
i x,
y, z
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3、理想气体压强公式的推导： 平衡态下，器壁各处压 强相等，取直角坐标系， 在垂直于x 轴的器壁上任 取一小面积dA, 计算其所 受的压强（如右图）
dA
x
v
vixdt
分子在一次碰撞中受到的冲量
Iix vix vix 2vix
分子在对dA的一次碰撞中施于dA的冲量 2v ix dt时间内，碰到dA面的第i组分子数 n i vix dAdt dt时间内，碰到dA面的第i组分子施于dA的冲量为
物理意义： 1）表示在温度为T 的平衡状态 下，速率在v 附近单位速率区 间 的分子数占总数的比例 . 2）表示气体分子的速率处于v 附近单位速率区间的概率。
f ( v)
dS
o
v v dv
v
dN f v dv( dS) ——速率位于 v v dv 内分 N 子数占总分子数的比例
v v v
v
分子速率分布图 N分子总数
N Nv
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S
v v v v N 表示速率在 v v Δv 区间的分子数占总 S
N
数的百分比 . 当
o
v 0
N 的极限值变成与v有关的连续函数 Nv
1、 速率分布函数
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N 1 N 1 d N f ( v) lim lim v 0 Nv N v0 v N dv
2）每个分子向各方向运动的概率相同
vi v x i v y j v z k
v2 x
2 v ix
N
v2 y
2 v iy
N
v2 z
2 v iz
N
2 2 v2 v v x y z
v
2 i
2
2 vx

2 vy

2 vz
1 2 v v 3
设 N 为具有速度
总分子数 N
v v v 分子数 .
N 有分布规律与速度有关
N 分子数占总分子数的比例 N
考虑 v 的区间大小的因素
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
N N v N Nv
3 5 （ 2） RT 2 RT 4P0 V0 2 2
8P0 V0 T 13R
RT P1 2V0 2RT P2 2V0
12 PP P0来自百度文库1 P 2 13
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四、麦克斯韦速率分布函数 （Maxwell speed distribution）
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大量分子看作小球
根据归一化条件：
2v 2N a a vdv dv 1 a f v dv 3v 0 0 0 Nv v N f v dv 1 v0
0 0 0
0
1 N f v dv N S av0 (2v0 v0 )a 0 2

dN 2） f v dv dN Nf v dv N
注意：1、适用平衡态、大量分子系统 2、内能是气体状态的单值函数 E=E(T)
3、在实际上当T = 0, E 0 (已不是气态！) 量子力学可以证明，当T = 0时仍有零点能存在。
上页 下页 解：（1） 例2、用绝热材料制成 一个容器，被绝热板 m i E RT 隔成A 、B两部分体积 V0 V0 M 2 m 为V0。A内储有1mol PV RT M 的单原子理想气体，B 内储有2mol的双原子 m3 3 EA RTA P0 V0 理想气体 M2 2 （1）若A 、B的压强 m 5 5 均为P0，则两种气体 EB RTB P0 V0 M2 2 各自的内能为多少？ （2）若将隔离板抽掉， （ 2） E E A E B 则两种气体混合后处 3 5 于平衡时的温度和压 4P0 V0 RT 2 RT 2 2 强各为多少？
T=C：V减少n增大 单位时间内分子碰撞器壁的 次数增多 P增大。 P=nkT V=C：T升高分子热运动加剧 单位时间内分子碰撞器壁的次数增多 P增大 分子的平均平动动能增大，分子每次碰撞器壁 时施于器壁的平均冲量增大P增大。
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注意： 上页 下页 （1）单个分子的运动具有极大的偶然性，而大量无规 则运动的分子整体却有确定的规律，它遵循统计规律 （2）压强公式及温度的统计解释的正确性无法用实验 来直接证明，但可由导出的理想气体方程及道耳顿分压 实验定律得到证明 道耳顿分压实验定律—— 在相同的温度下，混合理想 气体的总压强等于各组分气体分压强之和。 T=C 时，P=P1+P2++Pn
n i vix dAdt (2vix )
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dt时间内，与dA相碰撞的所有分子施于dA的冲量为
2 dI 2n i vix dt dA i ( vix 0 )
注意： vix< 0 的分 子不与dA碰撞。
容器中气体无整体运动，平均来讲 vix> 0 的分子 数等于 vix < 0 的分子数
3 k kT 2
温度平均的标志了系统内分子热运动的剧烈程度
例、一定的理想气体T=C 时，其P随体积的减少而增大 。当 V=C 时，P随温度的升高而增大。从微观的角度 P1V1 P2 V2 看，这两种过程有何区别？
TC VC
V P T P
P1 P2 T1 T2
6
3
3
单原子分子
双原子分子
多原子分子
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刚性双原子分子
y
m2
* C
m1
z
x
非刚性双原子分子
y
m2
* C
m1
z
x
2、能量按自由度均分原理: 按照统计假设，在平衡态下理想气体分子无规则 运动的结果使任何一种运动都不会比其他运动占优势 ，机会是均等的。平均来说，整个动能由每个自由度 均匀承担。
1 3 2 k v kT 分子的平均平动动能 2 2 1 分子的一个平动自由度的平均动能 kT 2
0

v vf v dv
0

2v a a 11 2 v dv vdv v0 0 Nv v N 9上页 下页 0 v0
0 0
1 N Nf v dv adv N 1.5 v 1.5 v 3
2 v0
2 v0
0
0
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3）
vdN vNf v dv
0
vdN vNf v dv
0
0
Ni Mi M N i ( N)
v
vNf v dv N
vf v dv
n
n v niv
2 x i
2 ix
根据统计假设:分子向各方向运动的几率相同
1 2 1 2 2 P n v 3 n v 3 n 2 v
2 x
分子的平均平动动能
理想气体压强：
宏观可测量量
1 2 k v 2 2 P nk 3
微观量的统计平均值
设系统由不同气体混合组成: 各组分的质量 m1 m2 相应的摩尔质量： M1 M2
M3
2 P nk m3 3
3 2 2 P n k (n1 n 2 n n ) k ( 2 kT ) 3 3
m N A kTn1 n 2 n 3 n n (n ) M V m i N A kT R N k A Mi V
mi RT m RT Pi PV Mi V M
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三、能量均分定理（equipartition theorem) 1、自由度——在力学中，自 由度是指决定一个物体的空 间位置所需要的独立坐标数.
火车：被限制在一曲线 上运动，自由度为1；
飞机：自由度为3 （经度、纬度、高度）