测量平差 平差数学模型与最小二乘原理

1/31§2.1 测量平差概述

§2.2 平差函数模型

§2.3 函数模型线性化

§2.4 平差数学模型

§2.5 最小二乘原理

第二章平差数学模型与最小二乘原理

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4/31

5/31

6/31一、观测模型

测量工程因解决不同工程问题的需要，通常需构建相应的观测模型。

1、几何模型：观测系统仅由几何量（如长度、角

度、高程、坐标等）构成的模型。

2、物理模型：观测系统仅由与时间概念有关的物

理量（如速度、加速度、应变等）构成的模型。

3、综合模型：观测系统既包涵几何量又包涵物理

量构成的模型。

§2.1 测量平差概述

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二、观测模型（几何模型）的基本性质

唯一地确定一个几何模型所必要的观测元素，简

称必要观测，其个数用t 来表示。

必要观测数只与几何模型有关，与实际观测量无

关，一旦给定几何模型，则其必要元素的个数t

是唯一的，其类型不唯一。

对任一几何模型，必要观测必须相互独立，即t个

必要观测之间必须不存在函数关系。

2、必要观测

§2.1 测量平差概述

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二、观测模型（几何模型）的基本性质

3、多余观测

为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际观

测，称为观测值，其个数一般用n表示。

n

n=t，唯一确定模型，不能揭示矛盾、发现粗差

n>t，可以确定模型，还可揭示矛盾、发现粗差

在测量中，称r=n-t为多余观测数，又称为观测模

型的“自由度”。

只有存在多余观测，才存在平差问题。

§2.1 测量平差概述

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13/31对于给定的几何观测模型，有多种观测值、未知参数

选取方式，描述这种观测值、参数之间数学期望关系

的模型称为函数模型。参数个数一般用u表示。

不同的选取方式形成了不同形态的函数模型，由此产

生了不同的平差方法。

函数模型分为线性函数模型和非线性函数模型两类。Ο、函数模型

§2.2 平差函数模型（the functional model）

C

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17/31

方程个数c、参数个数

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21/31在平差问题中，描述随机量（如观测值）及其相互间统

计相关性质（精度）的模型称为随机模型。从概率统计

学的观点，即是随机量（观测向量）的方差矩阵，

在进行平差计算之前，必须同时具备其函数模型和随机

模型，前者可以按平差方法建立，后者则须知道D、Q

或P中之一。

一、随机模型（the stochastic model）

§2.4 平差数学模型（the mathematical model）

221

00

σσ−

==

D Q P

22/31一、随机模型（the stochastic model）

§2.4 平差数学模型（the mathematical model）

数学模型=函数模型+随机模型

一般情况下，观测向量的协方差阵D 在平差前都是

未知的，若按第一章中介绍的方法估计/经验确

定，则称为先验协方差。

可通过平差计算求出其估值，然后求得D的估值（称为后验协方差）：

2

ˆσ

2

σ

2

ˆˆ

D Q

σ

=

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()

n,1

1,1

c,u

F,X0

L=

+−=

c,n c,u

n,1u,1c,1

A B W

V x0

条件平差法()n r,1,1L F0= n,1r,n r,1r,1

A W0

V−=

间接平差法

附参数条件平差

附条件间接平差

=−

n,1t,1

n,t n,1

B l

V x

()

n,1t,1

F

L X

=

()0

l L X

F

=−

()

()

s,1

n,1u,1

u,1

L X

X

F

Φ

⎫

=

⎪

⎬

⎪

=

⎭

=−⎫

⎪

⎬

−=⎪

⎭

n,u n

n,1u,1

u,1

,1

x

s,u

B l

C W0

V x

x

()0

l L X

F

=−二、函数模型（the functional model）

§2.4 平差数学模型（the mathematical model）