高中数学椭圆的经典知识总结
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7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k=－ ；
如（1）如果椭圆 弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答： ）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答： ）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称（答： ）；
(
例3、已知点 是椭圆 （ ）上两点,且 ,则 =
例4、如上图，把椭圆 的长轴 分成8等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，则 _____
题型5：焦点三角形问题
例1、已知 为椭圆 的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知 为一个直角三角形的三个顶点，且 ,求 的值；
例2、已知 为椭圆C: 的两个焦点，在C上满足 的点的个数为
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线 交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线 ,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由.
题型9：中点弦问题
例5、求以椭圆 内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。
例6、中心在原点，一个焦点为 的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方程．
》
例7、椭圆 ，与直线 相交于 、 两点， 是 的中点．若 ，斜率为 （O为原点），求椭圆的方程．
题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。
基础巩固训练
&
1. 如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线 与BF交于D,且 ,则椭圆的离心率为
2.设 为椭圆 的两焦点，P在椭圆上，当 面积为1时， 的值为
3.椭圆 的一条弦被 平分,那么这条弦所在的直线方程是
7．判断曲线关于 轴、 轴、原点对称的依据：
① 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；
② 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；
③ 若把曲线方程中的 、 同时换成 、 ，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题
例3、如果方程 表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
例4、已知 为椭圆 上的一点， 分别为圆 和圆 上的点，则 的最小值为
题型2： 求椭圆的标准方程
例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)经过两点 、 ；
#
(2)经过点(2，－3)且与椭圆 具有共同的焦点.
（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 －4.
4.在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率
5. 若 为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若 , 则此椭圆的离心率为
6.在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 =．
综合提高训练
7、已知椭圆 与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率 ．求椭圆方程；
高中数学椭圆的经典知识总结
椭圆知识点总结
1.椭圆的定义：1,2
（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） （参数方程，其中 为参数），焦点在 轴上时 ＝1（ ）。方程 表示椭圆的充要条件是什么（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
2. 椭圆的几何性质：
}
（1）椭圆（以 （ ）为例）：①范围： ；②焦点：两个焦点 ；③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），四个顶点 ，其中长轴长为2 ，短轴长为2 ；④准线：两条准线 ；⑤离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。⑥通径
①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条wenku.baidu.com判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为 ，此类问题常用待定系数法求解。
`
例3、若 为椭圆 的两个焦点，p为椭圆上的一点，当 为钝角时，点P横坐标的取值范围为
例4、已知椭圆的焦点是 ,且经过点（1， ） ① 求椭圆的方程; ② 设点P在椭圆上,且 ,求cos .
题型6: 三角代换的应用
例1、椭圆 上的点到直线l: 的距离的最小值为___________．
—
例2、椭圆 的内接矩形的面积的最大值为
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 ， 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程 是表示椭圆的条件
方程 可化为 ，即 ，所以只有A、B、C同号，且A B时，方程表示椭圆。当 时，椭圆的焦点在 轴上；当 时，椭圆的焦点在 轴上。
)
5．求椭圆标准方程的常用方法：
@
4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示P到与F所对应的准线的距离。
如（1）已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：10/3）；
（2）椭圆 内有一点 ，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______（答： ）；
特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！
;
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.
椭圆知识点
：
1．如何确定椭圆的标准方程
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
题型3:求椭圆的离心率（或范围）
例1、 中，． 若以 为焦点的椭圆经过点 ，则椭圆的离心率为.
《
例2、过椭圆的一个焦点 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
例1、已知实数 满足 ,则 的范围为
例2、已知P是椭圆 上一点， 是椭圆的两个焦点，求 的最大值与最小值
2．椭圆标准方程中的三个量 的几何意义
椭圆标准方程中， 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为： ， ，且 。
可借助右图理解记忆：
显然： 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
例6、设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 、 两点，点 与点 关于 轴对称， 为坐标原点，若 ，且 ，求 点的轨迹方程;
(
15. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC= 。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为bc；
6、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B，且 分别为A、B的横坐标，则 ＝ ，若 分别为A、B的纵坐标，则 ＝ ，若弦AB所在直线方程设为 ，则 ＝ 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
显然：当 越小时， 越大，椭圆形状越扁；当 越大， 越小，椭圆形状越趋近于圆。
、
|
"
椭 圆
题型1:椭圆定义的运用
例1、已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于A、B两点若 ，则 ______。
}
例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
8.已知A、B分别是椭圆 的左右两个焦点，O为坐标原点，点P 在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程； （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求 的值。
9.已知长方形ABCD, AB= ,BC=1.以AB的中点 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系 .
2.点与椭圆的位置关系：（1）点 在椭圆外 ；
（2）点 在椭圆上 ＝1；
（3）点 在椭圆内
3．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交： 直线与椭圆相交；（2）相切： 直线与椭圆相切； （3）相离： 直线与椭圆相离；
如:直线y―kx―1=0与椭圆 恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；
思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进行计算解题。
将有关线段 ，有关角 ( )结合起来，建立 、 之间的关系.
—
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 ，因为 ， ，用 表示为 。
题型7：直线与椭圆的位置关系的判断
例1、当 为何值时，直线 与椭圆 相交相切相离
例2、若直线 与椭圆 恒有公共点，求实数 的取值范围；
题型8：弦长问题
/
例3．求直线 被椭圆 所截得的弦长.
例4、已知椭圆 的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积；
7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k=－ ；
如（1）如果椭圆 弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答： ）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答： ）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称（答： ）；
(
例3、已知点 是椭圆 （ ）上两点,且 ,则 =
例4、如上图，把椭圆 的长轴 分成8等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，则 _____
题型5：焦点三角形问题
例1、已知 为椭圆 的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知 为一个直角三角形的三个顶点，且 ,求 的值；
例2、已知 为椭圆C: 的两个焦点，在C上满足 的点的个数为
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线 交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线 ,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由.
题型9：中点弦问题
例5、求以椭圆 内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。
例6、中心在原点，一个焦点为 的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方程．
》
例7、椭圆 ，与直线 相交于 、 两点， 是 的中点．若 ，斜率为 （O为原点），求椭圆的方程．
题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。
基础巩固训练
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1. 如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线 与BF交于D,且 ,则椭圆的离心率为
2.设 为椭圆 的两焦点，P在椭圆上，当 面积为1时， 的值为
3.椭圆 的一条弦被 平分,那么这条弦所在的直线方程是
7．判断曲线关于 轴、 轴、原点对称的依据：
① 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；
② 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；
③ 若把曲线方程中的 、 同时换成 、 ，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题
例3、如果方程 表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
例4、已知 为椭圆 上的一点， 分别为圆 和圆 上的点，则 的最小值为
题型2： 求椭圆的标准方程
例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)经过两点 、 ；
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(2)经过点(2，－3)且与椭圆 具有共同的焦点.
（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 －4.
4.在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率
5. 若 为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若 , 则此椭圆的离心率为
6.在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 =．
综合提高训练
7、已知椭圆 与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率 ．求椭圆方程；
高中数学椭圆的经典知识总结
椭圆知识点总结
1.椭圆的定义：1,2
（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ） （参数方程，其中 为参数），焦点在 轴上时 ＝1（ ）。方程 表示椭圆的充要条件是什么（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
2. 椭圆的几何性质：
}
（1）椭圆（以 （ ）为例）：①范围： ；②焦点：两个焦点 ；③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），四个顶点 ，其中长轴长为2 ，短轴长为2 ；④准线：两条准线 ；⑤离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。⑥通径
①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条wenku.baidu.com判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为 ，此类问题常用待定系数法求解。
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例3、若 为椭圆 的两个焦点，p为椭圆上的一点，当 为钝角时，点P横坐标的取值范围为
例4、已知椭圆的焦点是 ,且经过点（1， ） ① 求椭圆的方程; ② 设点P在椭圆上,且 ,求cos .
题型6: 三角代换的应用
例1、椭圆 上的点到直线l: 的距离的最小值为___________．
—
例2、椭圆 的内接矩形的面积的最大值为
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 ， 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程 是表示椭圆的条件
方程 可化为 ，即 ，所以只有A、B、C同号，且A B时，方程表示椭圆。当 时，椭圆的焦点在 轴上；当 时，椭圆的焦点在 轴上。
)
5．求椭圆标准方程的常用方法：
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4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示P到与F所对应的准线的距离。
如（1）已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：10/3）；
（2）椭圆 内有一点 ，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______（答： ）；
特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！
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椭圆知识点
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1．如何确定椭圆的标准方程
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
题型3:求椭圆的离心率（或范围）
例1、 中，． 若以 为焦点的椭圆经过点 ，则椭圆的离心率为.
《
例2、过椭圆的一个焦点 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
例1、已知实数 满足 ,则 的范围为
例2、已知P是椭圆 上一点， 是椭圆的两个焦点，求 的最大值与最小值
2．椭圆标准方程中的三个量 的几何意义
椭圆标准方程中， 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为： ， ，且 。
可借助右图理解记忆：
显然： 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
例6、设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 、 两点，点 与点 关于 轴对称， 为坐标原点，若 ，且 ，求 点的轨迹方程;
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15. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC= 。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。
5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为bc；
6、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B，且 分别为A、B的横坐标，则 ＝ ，若 分别为A、B的纵坐标，则 ＝ ，若弦AB所在直线方程设为 ，则 ＝ 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
显然：当 越小时， 越大，椭圆形状越扁；当 越大， 越小，椭圆形状越趋近于圆。
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椭 圆
题型1:椭圆定义的运用
例1、已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于A、B两点若 ，则 ______。
}
例2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
8.已知A、B分别是椭圆 的左右两个焦点，O为坐标原点，点P 在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程； （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求 的值。
9.已知长方形ABCD, AB= ,BC=1.以AB的中点 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系 .
2.点与椭圆的位置关系：（1）点 在椭圆外 ；
（2）点 在椭圆上 ＝1；
（3）点 在椭圆内
3．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交： 直线与椭圆相交；（2）相切： 直线与椭圆相切； （3）相离： 直线与椭圆相离；
如:直线y―kx―1=0与椭圆 恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；
思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进行计算解题。
将有关线段 ，有关角 ( )结合起来，建立 、 之间的关系.
—
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 ，因为 ， ，用 表示为 。
题型7：直线与椭圆的位置关系的判断
例1、当 为何值时，直线 与椭圆 相交相切相离
例2、若直线 与椭圆 恒有公共点，求实数 的取值范围；
题型8：弦长问题
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例3．求直线 被椭圆 所截得的弦长.
例4、已知椭圆 的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积；