三大作图难题解决
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
OA AC AC AB
即
AC a
AC 2 a
以上就是中学几何中一些基本的作图问题，下面借助解析几何的 理论将其 化。 6.3 数域与扩域 大家都知道有理数的加、减、乘、除四则运算的结果还是有理数，
换句话说，设 F 是至少包括一个不等于 O 的数的集合，如果在集合 各能进行加、减、乘、除四种运算，即对 F 中任意两个无素 a 与 b， 它们的和、差、积、商 (a b, a b, a b, , b 0) 均在 F 中，则段 F 是 一个数域。 有理数域克服了自然数系的缺陷，相对来说是比较完美的，它对 四则运算是封闭的等等， 在古代数学的数学家看来与有理数对应的点 充满了数轴， 因此当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点 时，在当时人们的心理上引起了极大的震惊，这个发现就是古希腊人 （正如我们在 6.2 节中的⑥用 a 的伟大成就之一，它就是 a 的发现， 。后来又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数， 作出 a ） 因此，必须发明一些就的数，使之与这样的点对应；又因为这些数不 能是有理数，所以地它们称为无理数，这就是有理数的扩张. 我们还从尺规作图上来讲一步分析 . 每一个尺规作图都不外乎由 以下几步之一组成： ① 用一条线边接两点； ② 求两条直线的交点； ③ 以一点为心，作定长的圆； ④ 求一个圆与一条直线的交点或切点； ⑤ 求两贺的交点或切点； 下面用解析几何的知识对上面几条作进一步的分析。假设在平面 上取好了直角坐标系，用 ( x, y ) 表示平面上的点，则有直线：
即它的系数是由 F 中的数作成的有理式 没有两条 F 中的数为系数的直线：
A1 x B1 y c1 0 A2 x B2 y c 2 0
联立方程，可待交点坐标：
x B1c1 C 2 B2 C A A2 C1 ,y 2 1 B2 A1 A2 B1 B2 A1 A2 B1
x a b F 其中 a, b F ，当求两个贺的交点时，
同样，联立两个圆求出交点 x, y 它们都不超出 F 的扩域 F1 。 无论哪 一种情况，作图所宁生的一个或两个新点 ( x, y ) ，它们的 横、纵坐标都是 a b k , a, b, k F 总之，用圆规直尺作图的问题就归纳为从平面中几个已知数出 发，去求一个新数 x，若只用直尺经有理运算可以生成 F 的所有量， 而且不会超出域 F。 若用圆规能把可作图的量扩充到 F 的扩域 F， 上， 构造扩域的过程可不断进行下去，从而可得出扩域后， F2 , F3 …… Fn 6.5 全体复数可以分成两类，即代数数与超越数。 定义 1 若数是某个整理系数代数方程
ac 2bd bc ad 2 2 2 c 2d c 2d 2
2
p q 2.
p.q
而且开方如（3）式的数显然满足 6.3 中数域的性质（请读者自证） ， 所以形如（3）式的数是一个数域，记为 Q1 ，称它为 Q 的扩域（或扩
张）显然 Q1 要比 Q 大，事实上只要取 b=0, c d 2 即为有理数域，也 就是说又是 Q1 的 集合，也称为 的 域但是它又要小于实数域
a b 2 …………………………………………………（3）
其中 a 、 b . 易知（3）式是一个数域. 命题 1 形如（3）的数形成一个域. 证明：首先证明（3）式中两个数的四则运算满足运算的封闭性。 设数 a b 2 ， c d 2 ，其中 a 、 b 、 c 、 d 、 、 则 ( a b 2 ) (c d 2 )
易见， x, y 都是 F 中的数，这就说明只用直尺作图不能作超出 F 的范 围。 由上面的讨论可知，我们要做 F 以外的数，需在 F 中取-K，使 k 不在 F 中，就能作出所有形如
p q k ……………………（5）
的数， p, q F , 从而找到 F 的一个扩域。 如果只用圆规作图，只能作出形如（5）的数即
p ,P q
pa ， 我们重复图 6-2 的工作， 先作 a 的 Pa， q
pa ，这样 ra 就作出来了。 q
从上述 5 条中我们可以看出，已知 的加、减、乘除能用几何作图 来实现，只要给定单位 1，我们可以用天规作出全部有理点。 ⑦ 已知线段 a 求作 a .这一条超出了有理作图的范围.其作法如图 6-3 所示，设 AB a.BC 1. 以 AC 为直径作圆.过 B 点作 AC 的垂线交 圆周于 D 点.直角三角形 ABD 与直角三角形 DBC 相似。 （即射影定理） 可知。
命题 4 只用圆规只能作出形如（5）的数 请读者参见命题 3 年证明过程自行证之， 从命题 4 中圆规的作用
( x, y ) 或一个圆与另一个贺 只是确定一个圆与一条直线的交点或切点，
的交点或切点，当我们设出圆的方程时，此圆的方程系数是已数的有 理式，它与直线联立解得的交点也没有超出数域 F 的扩域 F， （即
ax by c 0 ……………………………………（1）
a b
贺的方程为
x 2 y 2 2x 2 y r 0 …………………（2）
其中 a 、b 、c 、 、 、r 都是有理数，先取一个线段，合其长度是 1， 由 6.2 可知.我们能作出整个有理数域， 从而能作出平面上所有的有理 点（即横、纵坐标都是有理数的点） ，我们又从上面可知，是知道单 位，能作出新的无理数 a ，它不在有理数哉中，从 a 出发，通过 6.2 中①～⑤就可以作出所有形如：
三等分角与数域扩充
6.1 三等分角问题， 倍立方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三 大几何作图问题：即： 1、三等分任意点； 2、化圆为方：求作一正方形便其面积等于已知圆的面积； 3、倍立方：求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 这些问题之所以被称为三大难题是因在于限制用直尺和圆规，而 这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.2000 多年来，数学家为解 决三大问题设入大量精力.如果解除这一限制，问题很客易解决.如化 圆为方问题曾被大师达·芬奇用一种巧妙方法给出解答：取一圆柱， 使其底和已知圆相等，高是半径的一半，将圆柱滚动一周，产生一个 矩形， 其面积为 2rr r / 2 r 2 .这恰好是圆的面积.再将矩形化为正方 形，问题就解决了。 6.2 尺规作图的范围 在中学几何中，我们知道下面的图是可以用尺规作出： ① 二等分已知线段； ② 二等分已知角； ③ 已知直线 L 和 L 外一点 P，过 P 作直线垂直于 L； ④ 已知直线 L 和 L 外一点 A，过 A 作直线 L，使 L//L； ⑤ 任意给定自然数 n，作已知线段的几倍，以及 n 等分已知线段.
的根，故处长数 I 是代数数。 某些特殊角的三角是数值是代数数，例如 是代数解，因为
8
2 2 cos 1 2Sin 2 4 z
会 sin
8
x ，于是 sin
8
满足是方程
8x 4 8x 2 1 0
显然，有理数集是代数解集的 y 定义 2 若复数 不是代数，则称 是超越数。 我们知道的 e 和 都是超越数，具体证明可参照高编著的高观点 下的中学数学分析学习，由高等教育出版社出版。 也就是说尺规的数都是代数的作图。 定义 3 由数 0 与 1 经过有限次加、减、乘、除（零不能作除数）
a b
合。
k , a, b F 也是一个数域，且 F 是集合 a b k , a, b F 的 y 集
证明，证法同命题 1 设a b k,c d k 则 ( a b k ) (c d k )
(a c) (b d ) F p1 q1 k a , b, c , d F
(a c) (b d ) 2. 易知 a c (a b 2 )(c d 2 )
(ac zbd ) (cd bc) 2 r 2 易知 r , 。
ab 2 cd 2 (a b 2 )(c d 2 ) (c d 2 )(c d 2 )
现在面临一个这样的问题：用直尺和圆规作出来是否都在数域 F 中？是否会超出这个范围？假设我们可用直尺圆规作出某个数域 F 中的所有数，事实上，过已知两点作直线，直线方程的系数即为两点 坐标的有理式，作两条已得直线的交点，这个交点的坐标是两直线方 程系数的有理式。 命题 3 只用直尺作不出数域 F 以外的数。
解：设 a 3, b 3, a, b z ，则
a 3 b 3 3ab, z 不一定在 F 中，即 F 关于乘法不封闭，故 F 不是
数域，但 F 关于加法是域。 证明：大家都知道 F 是复数域， 取 1, R ，但 1 Q ，会 1 j 则 a bj 就是实数又的扩域，当 b=0 时，F 是有理数域。 显然 F 是数域， （请读者自证） 例4 6.4 直尺圆规的作图范围。 代数研究的对象是数， 坐标， 方程等问题， 几何研究的对象是点、 线，面等，通过上面的讨论，我们已经将几何的对象与代数的对象紧 密地联系在一起，也就是要将几何问题代数化。
其作法是如图 6-1；已知线段 a，过某一端点 A 作射线 AC，在 AC 上 顺次截取相等的 n 段， 则末尾的第 n 段的端点与 B 点相连， 再过余下 的 n-2 个分点作 BD 的平行成，即可把 a 平分 n 段。 ⑥ 已知线段 a，b，可作 a+b，a-b，ab，a/b，其作法如图 6-2 所 示。 接着 ra 也可以作出， 这里 r 是正有理数 ra 的作法如下： 设r 和 都是自然数， 于是 ra 再作
x n a1 x n 1 a n 1 x an 0 ………………（6）
的根，则称是代数数。 是然，有理数 r
m 是代数数。 n
某些无理数数也可能是代数数，例如， 2 是方程
x2 2 0
的根，故无理数 2 是代数数。 某些是数也可能是代 Q1 中取一个数大，会 k 2 2 用 6.2 中⑥的方法求其平方根可作图的数
k
2
2
用它可以得到所有形如
a b k ………………（4）
其中
a 、 b Q1
形如（4）式的数又可以形成一个新的域，为 Q2 ，新 Q2 是 Q1 的扩域。 命题 2 设 F 是一数域， K F 且 F F 。证明：集合
易知 p1 , q1 , F
(a b k )(c d k )
(ac bdk ) (ad bc) k p2 q2 k
易知 p 2 , q 2 F
ab k cd k ab k cc k . cd k cd k
ac bdk bc ad 2 2 2 c kd c kd 2
k
p3 q3 k
p3 , q3 F ，易知 c 2 kd 2 0 否则： c 2 kd 2 0 即 c d k ，又
k F 所以 c F ，矛盾！
又满足 6.3 中的数域性质（请读者自证）故命题或立。 我们用这种域的扩充的办法而得到的数都是可以用直尺和圆规作 出来的，从而把代数紧密起来，的，设 F a, b Q ，则 F 是数域， 证明：验证 F 关于加、减、乘、除的四则运算是封闭的（同命题 1 的证明）再验证它是满足数域的性质即可。 例2 设 F a 2 , a ，F 是否是域？
证明：设 a1 , b2 , a 2 , b2 F ，过点 (a1 , b1 ), (a 2 , b2 ) 的直成方程是
y b1 b2 b1 ( x a1 ) a 2 a1
成
(b1 b2 ) x (a 2 a1 ) y (a1b2 a 2 b1 ) 0
即
AC a
AC 2 a
以上就是中学几何中一些基本的作图问题，下面借助解析几何的 理论将其 化。 6.3 数域与扩域 大家都知道有理数的加、减、乘、除四则运算的结果还是有理数，
换句话说，设 F 是至少包括一个不等于 O 的数的集合，如果在集合 各能进行加、减、乘、除四种运算，即对 F 中任意两个无素 a 与 b， 它们的和、差、积、商 (a b, a b, a b, , b 0) 均在 F 中，则段 F 是 一个数域。 有理数域克服了自然数系的缺陷，相对来说是比较完美的，它对 四则运算是封闭的等等， 在古代数学的数学家看来与有理数对应的点 充满了数轴， 因此当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点 时，在当时人们的心理上引起了极大的震惊，这个发现就是古希腊人 （正如我们在 6.2 节中的⑥用 a 的伟大成就之一，它就是 a 的发现， 。后来又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数， 作出 a ） 因此，必须发明一些就的数，使之与这样的点对应；又因为这些数不 能是有理数，所以地它们称为无理数，这就是有理数的扩张. 我们还从尺规作图上来讲一步分析 . 每一个尺规作图都不外乎由 以下几步之一组成： ① 用一条线边接两点； ② 求两条直线的交点； ③ 以一点为心，作定长的圆； ④ 求一个圆与一条直线的交点或切点； ⑤ 求两贺的交点或切点； 下面用解析几何的知识对上面几条作进一步的分析。假设在平面 上取好了直角坐标系，用 ( x, y ) 表示平面上的点，则有直线：
即它的系数是由 F 中的数作成的有理式 没有两条 F 中的数为系数的直线：
A1 x B1 y c1 0 A2 x B2 y c 2 0
联立方程，可待交点坐标：
x B1c1 C 2 B2 C A A2 C1 ,y 2 1 B2 A1 A2 B1 B2 A1 A2 B1
x a b F 其中 a, b F ，当求两个贺的交点时，
同样，联立两个圆求出交点 x, y 它们都不超出 F 的扩域 F1 。 无论哪 一种情况，作图所宁生的一个或两个新点 ( x, y ) ，它们的 横、纵坐标都是 a b k , a, b, k F 总之，用圆规直尺作图的问题就归纳为从平面中几个已知数出 发，去求一个新数 x，若只用直尺经有理运算可以生成 F 的所有量， 而且不会超出域 F。 若用圆规能把可作图的量扩充到 F 的扩域 F， 上， 构造扩域的过程可不断进行下去，从而可得出扩域后， F2 , F3 …… Fn 6.5 全体复数可以分成两类，即代数数与超越数。 定义 1 若数是某个整理系数代数方程
ac 2bd bc ad 2 2 2 c 2d c 2d 2
2
p q 2.
p.q
而且开方如（3）式的数显然满足 6.3 中数域的性质（请读者自证） ， 所以形如（3）式的数是一个数域，记为 Q1 ，称它为 Q 的扩域（或扩
张）显然 Q1 要比 Q 大，事实上只要取 b=0, c d 2 即为有理数域，也 就是说又是 Q1 的 集合，也称为 的 域但是它又要小于实数域
a b 2 …………………………………………………（3）
其中 a 、 b . 易知（3）式是一个数域. 命题 1 形如（3）的数形成一个域. 证明：首先证明（3）式中两个数的四则运算满足运算的封闭性。 设数 a b 2 ， c d 2 ，其中 a 、 b 、 c 、 d 、 、 则 ( a b 2 ) (c d 2 )
易见， x, y 都是 F 中的数，这就说明只用直尺作图不能作超出 F 的范 围。 由上面的讨论可知，我们要做 F 以外的数，需在 F 中取-K，使 k 不在 F 中，就能作出所有形如
p q k ……………………（5）
的数， p, q F , 从而找到 F 的一个扩域。 如果只用圆规作图，只能作出形如（5）的数即
p ,P q
pa ， 我们重复图 6-2 的工作， 先作 a 的 Pa， q
pa ，这样 ra 就作出来了。 q
从上述 5 条中我们可以看出，已知 的加、减、乘除能用几何作图 来实现，只要给定单位 1，我们可以用天规作出全部有理点。 ⑦ 已知线段 a 求作 a .这一条超出了有理作图的范围.其作法如图 6-3 所示，设 AB a.BC 1. 以 AC 为直径作圆.过 B 点作 AC 的垂线交 圆周于 D 点.直角三角形 ABD 与直角三角形 DBC 相似。 （即射影定理） 可知。
命题 4 只用圆规只能作出形如（5）的数 请读者参见命题 3 年证明过程自行证之， 从命题 4 中圆规的作用
( x, y ) 或一个圆与另一个贺 只是确定一个圆与一条直线的交点或切点，
的交点或切点，当我们设出圆的方程时，此圆的方程系数是已数的有 理式，它与直线联立解得的交点也没有超出数域 F 的扩域 F， （即
ax by c 0 ……………………………………（1）
a b
贺的方程为
x 2 y 2 2x 2 y r 0 …………………（2）
其中 a 、b 、c 、 、 、r 都是有理数，先取一个线段，合其长度是 1， 由 6.2 可知.我们能作出整个有理数域， 从而能作出平面上所有的有理 点（即横、纵坐标都是有理数的点） ，我们又从上面可知，是知道单 位，能作出新的无理数 a ，它不在有理数哉中，从 a 出发，通过 6.2 中①～⑤就可以作出所有形如：
三等分角与数域扩充
6.1 三等分角问题， 倍立方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三 大几何作图问题：即： 1、三等分任意点； 2、化圆为方：求作一正方形便其面积等于已知圆的面积； 3、倍立方：求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 这些问题之所以被称为三大难题是因在于限制用直尺和圆规，而 这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.2000 多年来，数学家为解 决三大问题设入大量精力.如果解除这一限制，问题很客易解决.如化 圆为方问题曾被大师达·芬奇用一种巧妙方法给出解答：取一圆柱， 使其底和已知圆相等，高是半径的一半，将圆柱滚动一周，产生一个 矩形， 其面积为 2rr r / 2 r 2 .这恰好是圆的面积.再将矩形化为正方 形，问题就解决了。 6.2 尺规作图的范围 在中学几何中，我们知道下面的图是可以用尺规作出： ① 二等分已知线段； ② 二等分已知角； ③ 已知直线 L 和 L 外一点 P，过 P 作直线垂直于 L； ④ 已知直线 L 和 L 外一点 A，过 A 作直线 L，使 L//L； ⑤ 任意给定自然数 n，作已知线段的几倍，以及 n 等分已知线段.
的根，故处长数 I 是代数数。 某些特殊角的三角是数值是代数数，例如 是代数解，因为
8
2 2 cos 1 2Sin 2 4 z
会 sin
8
x ，于是 sin
8
满足是方程
8x 4 8x 2 1 0
显然，有理数集是代数解集的 y 定义 2 若复数 不是代数，则称 是超越数。 我们知道的 e 和 都是超越数，具体证明可参照高编著的高观点 下的中学数学分析学习，由高等教育出版社出版。 也就是说尺规的数都是代数的作图。 定义 3 由数 0 与 1 经过有限次加、减、乘、除（零不能作除数）
a b
合。
k , a, b F 也是一个数域，且 F 是集合 a b k , a, b F 的 y 集
证明，证法同命题 1 设a b k,c d k 则 ( a b k ) (c d k )
(a c) (b d ) F p1 q1 k a , b, c , d F
(a c) (b d ) 2. 易知 a c (a b 2 )(c d 2 )
(ac zbd ) (cd bc) 2 r 2 易知 r , 。
ab 2 cd 2 (a b 2 )(c d 2 ) (c d 2 )(c d 2 )
现在面临一个这样的问题：用直尺和圆规作出来是否都在数域 F 中？是否会超出这个范围？假设我们可用直尺圆规作出某个数域 F 中的所有数，事实上，过已知两点作直线，直线方程的系数即为两点 坐标的有理式，作两条已得直线的交点，这个交点的坐标是两直线方 程系数的有理式。 命题 3 只用直尺作不出数域 F 以外的数。
解：设 a 3, b 3, a, b z ，则
a 3 b 3 3ab, z 不一定在 F 中，即 F 关于乘法不封闭，故 F 不是
数域，但 F 关于加法是域。 证明：大家都知道 F 是复数域， 取 1, R ，但 1 Q ，会 1 j 则 a bj 就是实数又的扩域，当 b=0 时，F 是有理数域。 显然 F 是数域， （请读者自证） 例4 6.4 直尺圆规的作图范围。 代数研究的对象是数， 坐标， 方程等问题， 几何研究的对象是点、 线，面等，通过上面的讨论，我们已经将几何的对象与代数的对象紧 密地联系在一起，也就是要将几何问题代数化。
其作法是如图 6-1；已知线段 a，过某一端点 A 作射线 AC，在 AC 上 顺次截取相等的 n 段， 则末尾的第 n 段的端点与 B 点相连， 再过余下 的 n-2 个分点作 BD 的平行成，即可把 a 平分 n 段。 ⑥ 已知线段 a，b，可作 a+b，a-b，ab，a/b，其作法如图 6-2 所 示。 接着 ra 也可以作出， 这里 r 是正有理数 ra 的作法如下： 设r 和 都是自然数， 于是 ra 再作
x n a1 x n 1 a n 1 x an 0 ………………（6）
的根，则称是代数数。 是然，有理数 r
m 是代数数。 n
某些无理数数也可能是代数数，例如， 2 是方程
x2 2 0
的根，故无理数 2 是代数数。 某些是数也可能是代 Q1 中取一个数大，会 k 2 2 用 6.2 中⑥的方法求其平方根可作图的数
k
2
2
用它可以得到所有形如
a b k ………………（4）
其中
a 、 b Q1
形如（4）式的数又可以形成一个新的域，为 Q2 ，新 Q2 是 Q1 的扩域。 命题 2 设 F 是一数域， K F 且 F F 。证明：集合
易知 p1 , q1 , F
(a b k )(c d k )
(ac bdk ) (ad bc) k p2 q2 k
易知 p 2 , q 2 F
ab k cd k ab k cc k . cd k cd k
ac bdk bc ad 2 2 2 c kd c kd 2
k
p3 q3 k
p3 , q3 F ，易知 c 2 kd 2 0 否则： c 2 kd 2 0 即 c d k ，又
k F 所以 c F ，矛盾！
又满足 6.3 中的数域性质（请读者自证）故命题或立。 我们用这种域的扩充的办法而得到的数都是可以用直尺和圆规作 出来的，从而把代数紧密起来，的，设 F a, b Q ，则 F 是数域， 证明：验证 F 关于加、减、乘、除的四则运算是封闭的（同命题 1 的证明）再验证它是满足数域的性质即可。 例2 设 F a 2 , a ，F 是否是域？
证明：设 a1 , b2 , a 2 , b2 F ，过点 (a1 , b1 ), (a 2 , b2 ) 的直成方程是
y b1 b2 b1 ( x a1 ) a 2 a1
成
(b1 b2 ) x (a 2 a1 ) y (a1b2 a 2 b1 ) 0