美式期权定价的数值方法及敏感性分析

　万方数据

（件罟），ｐ础（斋＋等），ｂ＝卜ｑ一孚当０＜Ｏ≤１时将（２）（３）（４）转换后代入（６艄ｆ浅ｋ＇．）－Ｎｕ删）ｋ，．）（８）其中Ｍ，Ｎ具有如下形式

ｒｂ，ｃ。ｏＩａ２ｂ：ｃ：Ｉｏａ，ｂ，』ＬＬＬｌｏｏｏＩｏｏｏ＼

＾０（ｘ－）ｕ啦归Ｊ：

卜。（ｘ曲

０

Ｏ

Ｏ

Ｌ

ｂ№１

ａＭ

０

０

０

Ｌ

ｃ№ｌ

ｂＭ

，且

Ｍ中的元素：ａｉ＝０ｋ（等一斋）ｂｉ＝·似（件鲁）ｃ。＝域（芸＋斋）

Ｎ中的元素：

州１＿０）ｋ（斋一芸）ｂ；：１＿（１－ｏ）ｋ（ｒ＋鲁）ｃｉ一（·＿０）ｋ（嘉＋斋）

ｂ＝卜ｑ一拿

显然Ｔ时刻期权的值ｕｈＮ已知，故可

由（７）或（８）倒推出ｕ一１，Ｌ，ｕｈ０的值。

通过有限差分方法计算敏感系数的

方法与在树图方法中所用的计算是类似

的：

△。坠匙０＝竺避立：望ｄ！攀＝旦巡当

一ｅ妯一ｅ柚ＳｅＬＳｅ－ｈ

ｒ≈

也＆竺二！文㈤垤蛙！Ｅ也＆１二！＆竺巡ｆ！＝盟

Ｓｅｈ－Ｓｅｌ

ｏ。坚ｈ！ｆ１１二坚ｄ盟

ｋ

Ｖｅｇａ的计算仍与树图方法中所用

的计算类似。

（三）解析近似方法

先引入一些符号：Ｐ（Ｓ，１）美式看跌期

权价值，ｐ（Ｓ，Ｄ欧式看跌期权价值。

８（Ｓ，１）＝Ｐ（Ｓ，Ｄ—ｐ（Ｓ，Ｄ

由于欧式期权和美式期权都同样满

足Ｂｌａｃｋ—ｓｃｈｏｌｅｓ微分方程，所以￡（Ｓ，Ｄ

也应满足方程，因此睾盯２ｓ２￡蹒＋（卜ｑ）ｓ￡ｓ＋

￡．一ｒ￡＝０

为方便起见，我们引入丁＝Ｔ—ｔ，ｈ（ｆ）＝

１一。一，ｄ：冬，Ｂ：缉Ｉ

在不失一般性条件下，我们令￡（ｓ，ｈ）

６３

统计与决策

∥麓琵艺壤善霭参考｛

丽函磊丽丽耐

＝ｈ（下）ｇ（Ｓ，ｈ）

通过适当的代换和变量置换，得出

ｓ锰｝Ｂｓ酽｝ｇ一（１一ｈ）０【‰＝ｏ

所用的近似方法就是假设上式左边

最后一项为０（忽略的那一项一般很小，

当Ｔ很大时ｌ—ｈ接近于Ｏ，当，ｒ很小时甑

接近于ｏ），所以ｓｊ酣Ｂｓ妒｝ｇ＝０

显然上述微分方程有通解ｇ（Ｓ）＝ａ。ｓ、

＋ａ２Ｓ”，ｑ·。Ｆ［一（ｐ—１）ｍ、／《ｉｆ：Ｉｊ忑ｉ五而】／２，

由于詈＞ｏ，从而ｑ－＜ｏ，ｑ２＞ｏ

若ａ２≠０则由ｑ２、＇０可得ｌｉｍ＝∞显然

不能满足。

故ａ：＝ｏ，所以Ｐ（ｓ，１，－ｐ（Ｓ，ｆ）＋ｈａ。掌１

设ｓ’是股票价格的临界点，当股票

价格低于它时，期权应被执行此时Ｐ（ｓ，Ｄ

＝Ｘ—Ｓ

要求ｓ‘可令ｘ－Ｓ名ｐ（Ｓ．＇嘭＋ｈａ；（Ｓｒ

对ｓ’求导可得一ｌ＝一ｅ呷Ｉｑ（一ｄ。（ｓ．））＋

ｈａｌｑｌ（Ｓ丁

其机阶竺量：！竺兰ｂ

盯ＶＴ

而ｈａ，（Ｓ．》ｑ１：！二！型融蚴．ｓ·

ｑ１

所以Ｐ（Ｓ，下）＝

ｊｐ（Ｓ＇∞一堕等坳（争）．Ｓ．ｓ＞ｓ’

＂

仅一ＳＳ≤Ｓ’

二、比较与推广、

二叉树图方法和有限差分方法计算

都是从衍生证券有效期最后时刻开始，

倒推回衍生证券有效期的初始时刻，所

以当最终的盈亏状态依赖于状态变量的

过去历史以及它们的当前值时应用这些

方法就有点困难。不过这两种方法很直

观，我们可以直接得出它的一些敏感性

参数，例如△、ｒ、０不需额外的计算。

对于上述解析近似方法，它的精度不易

通过改变它的参数来提高，不过它的收

敛速度很快。

本文中对基于支付连续红利股票期

权的定价的三种方法均可推广到其它资

产的期权如股票指数期权、外汇期权、

期货期权等的定价问题上。

（作者单位／武汉理工大学理学院）

（责任编辑／亦民）　万方数据

美式期权定价的数值方法及敏感性分析

作者：彭丽华， 王建华

作者单位：武汉理工大学理学院

刊名：

统计与决策

英文刊名：STATISTICS AND DECISION

年，卷(期)：2006(7)

本文链接：/Periodical_tjyjc200607029.aspx