《流体力学》课件 3.9 保角变换

d w dW d d z d d z
在无穷远处，有：
d w d z
dW d
d dz
考虑到
dW d
kV
，
d dz
1 k
，有：
dw dz
V
三、环量的确定
1. 补充条件
dw 有限的常数
dz zB 2. 环量的确定
dz
d
E
0
dw 有限常数
dz zB
dw
d
E
w1 z
Q
2
lnz
i
h
Q
2
lnz
i
h
Q ln z2 h2 2
wz
w1 z
w1
a2 z
wz
Q
2
ln z2
a4 z2
h2
a4 h2
dz
d
k
；（其中：
k
是正的实数）
（根据黎曼定理这样的函数存在且是唯一的）
W
kV
w
z
kV R
kV
2
2 i
F z
ln
kV
F z
R
2
F z
ln
2 i
F
z
证明：1. 因W 是在 K D 上连续且在 D 内解析的函数， Fz是在 C D 上连续且在 D 内解析的函数。于是，根据复合函数的性质 wz W F z
一、保角变换的概念
w f z
V f lin w f ei Δz0 z
w wei f eiz f z ei
12
1 2
2 1` 2 1`
黎曼定理：
任何一个单连通区域必可通过某个保角变换 变为另一个任意给定的单连通区域。
二、保角变换方法
1. 任意物体C不脱体绕流问题的复势提法
要求 C 外区域 D 内的解析函数 wz，
1
a2 z2
z
a2 z
2
h
a2 h
2
z aei
V
圆外表面
Q
2
2a ei ei 1 ei2
a2
ei
ei
2
h
a2 h
2
V
圆外表面
Q
2
4 cos sin i 4a2 cos2 h2 2a2
a4 h2
ei
Qa
h4
2h2 a4
sin 2 i 2a2h2 cos 2
ei
2. 镜像法
V
V
k
i
sin
0
V
V
k
2
1 R
cos0
sin 0u
4k
1 R
V
u
i
4kR
V
cos0
V
sin 0
u V
4kR
V
sin
cos0
cos
sin 0
4kR
V
sin
0
sin
V
cos
u V
四、起动涡和附着涡
例题1：求如图所示点涡在角形域内的复
位势。
解：1. 采用镜像法求解
仍然是在 C D 上连续，且是在 D 内解析的函数。
2. 由 wz W F z 推出在 平面与 z 平面的对应点上有
，
（ 、 ； 、 分别是 w 和W 的实数部分和虚数部分）
在 K 上 ＝常数，于是在 K 的对应曲线，即 C 上有： 常数
3．将 wz 看作是W 和 Fz的复合函数，对 z 微分，得：
i
2
ln
z 2 z02
C
w
i
2
ln
z2 z2
z02 z02
C
2. 采用保角变换法
R2 2
z 2
z R ei
ei
w
i
2
ln
0
i
2
ln
0
z2
wz i 2
ln
z 2 z02
i
2
ln
z 2 z02
wz
i
2
ln
z2 z2
z02 z02
例题 2：如图所示，平壁上有半径为 a 的半圆凸起，z=ih 处有一个强度 为 Q 的点源（h>a），求复位势和圆 表面的速度。
在 D C 上连续且满足：
（1）在 C 上 Im wz =常数；
（2）在无穷远处
dw dz
V
。
2. 保角变换法
设 z f （ Fz是它的反函数）是一个单值的解析函数，
它将半径为 R 的圆 K 外的区域互为单值且保角地映射到任意剖
面 C 外区域上去，并且满足：
1． 点对应 点；
2．
解： 1. 保角变换法
平壁
z a2
z
z平面上半圆
z0
i
h
平面上实实轴轴（2a2，a，，22aa）
0
i h
a2 h
W
Q
2
ln
i h
a2 h
ln
i h
a2 h
W
Q
2
ln
2
h
a2 h
2
z a2
z
wz
Q
2
ln z
a2 z
2
h
a2 h
2
V
dw dz
Q
2
2 z
a2 z
dw dz
z
B
dz
d
E
dw
d
E
V
E
0
为驻点
E
W
kV
kV
R2
2
i
ln
W
kV
re
i
kV rei
R2
2
i
ln rei
1 r
W
kV
ei
i
kV r2
R 2e i
i
2
1 r
V0
rR
kV
e
i
0
i
kV
e
i
0
i
2
1 令0 R
kV
cos0
i
sin
0
i
kV
cos0
i
sin
0
i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1 R
cos0
思路：先放入虚轴，后放入实轴
w1 f1z f z f z
i
2
lnz
z0 i
2
ln
z
z0
i
2
lnz
z0 i
2
ln
ei
z
z0
i
2
lnz
z0 i
2
lnz
z0 C
w f1z f1z
w
i
2
lnz
z0
i
2
lnz
z0
i
2
lnz
z0 i
2
lnz
z0
C
w
i
2
ln
z 2 z02