刚体的基本运动
理论力学6—刚体的基本运动

§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线,弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0(2,1,3),其角速度矢w 的方向
余弦为0.6,0.48,0.64,角速度 的大小ω=25rad/s 。求:刚体上点
M(10,7,11)的速度矢。
解:角速度矢量
w wn
其中 n (0.6,0.48,0.64)
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60,Z3=12,Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ;(b)如
果n1=3000r/min,求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解:求传动比:
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有:
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解:
w
w wdw
0
刚体定轴转动定律

o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量:
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向:满足右手定则,沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量,但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个,在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向,不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环,绕垂直于圆环平面的 质心轴转动,求转动惯量J。
解: J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘,绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动,求转动惯量 J。
解:分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体, 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上,滑轮半径为 R,质量为 M,求:m1 下落的加速度,和 绳子的张力 T1、T2。
解:m1 g T1 m1a (1)
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L= r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量;
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
3-1刚体的基本运动

3-1
刚体的基本运动
例3-1 一半径 r 0 .5 0 m 的飞轮,转速n 6 0 0 r m in 1 , 制动后转过 1 0 圈而静止.设转动过程中飞轮作匀变 速转动.求:(1)转动过程中飞轮的角加速度和经过的 时间;(2)在1 s末时,飞轮边缘某点的线速度、切向加 速度和法向加速度.
0
0
第三章 刚体的定轴转动
3-1
刚体的基本运动
t d dt
瞬时角速度(角速度)
lim
t 0
刚体定轴转动(一维转动)的转动方向可以 用角速度的正负来表示 .
z
面对 O z 轴方向观察, 如果 0,刚体逆时 针转动;反之,刚体顺 时针转动.
z
0
0
1
3 1 .4 rad s
1
轮边缘某点的线速度
v r 0 .5 3 1 .4 m s
1
1 5 .7 m s
1
切向加速度
a t r 0 .5 3 1 .4 m s
2
1 5 .7 m s
2
法向加速度
a n r
3-1
刚体的基本运动
三、 匀变速转动公式 匀变速转动:当刚体绕定轴转动的角加速度为 恒量时的转动. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动
v v 0 at
x x0 v 0t 1 2 at
2
刚体绕定轴作匀变速转动
0 t
0 0t
第三章作业 P83
15、17、18、19、21、23
第三章 刚体的定轴转动
解 (1) 0 5 π rad s
第三章-刚体力学基础

薄板对Z轴的转动惯量 J Z =
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例1、一个质量为M、半径为R的定
滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳, 绳的一端固定在滑轮边上,另一端挂
分析: 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
(飞轮做匀减速转动)
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置:
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
(用机械能守恒定律解) 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置,求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。(分别用动能定理和机械能守
恒定律求解)
解: (用动能定理解)
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos(M
O
工程力学-刚体的基本运动

d f (t) 角加速度 dt
刚体定轴转动的角加速度等于角速度对时间t的一 阶导数,转角对时间的二阶导数。 若α 与ω 符号相同,则ω 的绝对值随时间而增大, 刚体作加速转动;若相反,则刚体作减速转动。
洛 阳 职 业 技 术 学 院
四、刚体的匀速与匀变 速转动
1、刚体的匀速转动 角速度ω=常量,角加速度α=0
重物的速度及加速度为
vA方向铅锤向下, αA方向铅锤向上,即重物A在t=1s 时作减速运动
洛 阳 职 业 技 术 学 院
六、定轴转动刚体的传 动比
一对外啮合齿轮,已知两个齿轮的节圆半径r1、r2,主动轮Ⅰ的角
速度ω 1、角加速度α 1,从动轮Ⅱ的角速度ω 2,角加速度α 2。
设两轮无相对滑动,则它们的接触点 M1和M2的速度和切向加速度是相同的。
O1 M1 M2
O2
r2
r1
Ⅱ
传动比i12的公式为
φ =φ0+ ωt
2、刚体的匀变速转动 角加速度α=常量
其他方程
例 飞轮以n=120r/min的速度转动,截断电流后,飞 轮作匀速转动,经250s停止。试求轴的角速度和停止 之前所转过的圈数
=4πrad/s
断电后飞轮的角加速度
停止前飞轮转过的角度
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五、定轴转动刚体上各 点的速度与加速度
刚体作定轴转动时,转轴上的速度、 加速度为零,其他个点在垂直于转
R
轴的平面上作圆周运动。
M点到转轴的距离为R,其所走的的弧长s与转角φ 的关系是
β
S=Rφ
解:1)研究M点的速度、加速度
VM
αMτ M θ
αM
O R
理论力学第5章 点的一般运动与刚体的基本运动

基础部分——运动学第5 章点的一般运动与刚体的基本运动一、运动学的研究对象及任务点刚体zz几何性质z合成分解例1例2例3例4例5例6二、学习运动学的目的三、运动学的分析方法矢量工具数值求解工具四、具体内容第5章点的一般运动与刚体的基本运动点的运动的矢量法点的运动的直角坐标法点的运动的弧坐标法一、运动方程二、轨迹三、点的速度O)(t r )(t t Δ+r vMM ′位矢四、点的加速度点的运动的矢量法一、运动方程点的运动的直角坐标法O rMxy z)(zy,x,xyz二、轨迹方程三、点的速度四、点的加速度AB点的运动的弧坐标法运动轨迹原点O 一、运动方程sMO)(−)(+正方向弧坐标s二、自然轴系主法线n 切线τ,指副法线b思考:共同点不同点)(t r M O三、点的速度⋅lim ⋅st s d d d d r⋅τ⋅=v tsv d d =)(t t Δ+r vM ′sΔO)(−)(+r Δτ四、点的加速度速度大小随时间的变化率方向ττa 22t d d d d tst v ==22t d d d d tst v a ==z切向tas t ΔΔ⋅→Δτ0lim⋅速度方向随时间的变化率z法向n a sΔΔτs ΔΔϕsd d ϕ→方向?n2n2taa +全t 讨论:加速减速[例5-1]纯滚动解:(1)运动方程运动方程=x =y (2)速度22yxv v +t ωcos 22−(3)切向、法向加速度思考:如何求速度投影加速度投影全加速度22a a yx +法向加速度2t2aa −曲率半径(4)运动方程(弧坐标)如何取弧坐标的原点?讨论:Array纯滚动速度为零加速度不为零5-4-1 平行移动(平移)任一直线z形状相同z速度相同z加速度相同5-4-2 定轴转动=矢量表示:=右手规则滑动矢量αωαkz线速度v(弧坐标法)Rv ω=Rna ta αta 方向?z加速度aRa α=t Ra 2n ω=2n2t aa +42ωα+t a α思考:过轴的任一条直线上θαθrωv ×=ααt a rαa ×=t na vωa ×=nr ωr×=td d αααx ′y ′z ′1O i ′j ′k ′rωv ×=[例5-2]解:r ω=+d d r tω−=avtr R +=22ππ[思考题]j i i k ⎜+′⎟⎜′⋅+′⎟′⋅提示:5-5-1 注意区别几组公式5-5-2 描述点的运动的其它方法点的一般运动与刚体基本运动点的一般运动刚体基本运动矢量法直角坐标法弧坐标法其它方法平移定轴转动5-5-3 本章知识结构框图补充:轮系的传动比一、齿轮传动z速度z 切向加速度外啮合内啮合=两齿轮之传动比:21=1 2112R R i ==ωω2112ωω=i 22211±=±=±=正号內啮合负号外啮合11±=外啮合转向推广:二、带轮(链轮)传动二、带轮(链轮)传动z z 皮带与带轮间无相对滑动。
第八章 刚体的基本运动

C
T
最大偏角; T 表示摆的周 期。已知摆的重心 C 到轴 O 的距离为 l ,试求在初瞬时
C1
和经过平衡位置 (φ=0) 时重
心的速度和加速度。
16
例题
刚体的基本运动
解:
和角加速度
例 题 3
将转动方程对时间求导,得摆的角速度
O φ
φ0 l C0 C
d 2π 2π 0 sin t dt T T d 2 4π 2 2π 2 2 0 cos t dt T T
19
s
A
例题
刚体的基本运动
解:
例 题 4
根据 v2 – v02 = 2as,得M点的速度
2 v 2as v0 5.96 m / s
R
M
O O
v
M点的切向加速度 M点的法向加速度
B
dv a a. dt
2 2as v0 an R
v2
s
A
M点的总加速度
2 a at2 an 178 m / s 2
20
§8-4绕定轴转动刚体的传动问题
机器的运转要求一定的转速,而电动机的转速则是一定的. 这就需要变速,把电动机的转速提高或传递,使它符合要求. 变速常通过一系列相互啮合的齿轮或皮带传动,摩擦轮传 动来完成.几个轮子的组合称为轮系.
以一对啮合轮为例: I轮: R1 , 1 , 1 .
II轮:
以t = 0代入上式,得摆在初瞬时的角速
度和角加速度
2π 0 cos t T
C1
a0
0 0,
4π 20l a0 l 0 , 2 T
4π 2 0 2 0 T
刚体的定轴转动定律

T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1,物体1向上运动,物体2向下运动,滑轮以
顺时针方向旋转,Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度,a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动(一
维转动)的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1) 2)
每一质点均作圆周运动,圆面为转动平面;
任一质点运动
,
,
均相同,但
v,
a不同;
3) 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律:
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
第八章 刚体的基本运动

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第八章 刚体的基本运动
荡木用两条等长的钢索平行吊起,如图所示。 例8-1 荡木用两条等长的钢索平行吊起,如图所示。钢索长 为 长 l, 长 度 单 位 为 m。 当 荡 木 摆 动 时 钢 索 的 摆 动 规 律 , 。 π 为时间,单位为s;转角φ 为 ϕ =ϕ0 sin t ,其中 t 为时间,单位为 ;转角 0的单位为 4 rad,试求当 和t=2 s时,荡木的中点 的速度和加速度。 的速度和加速度。 ,试求当t=0和 时 荡木的中点M的速度和加速度
∴aτ =ε × r
∴a n =ω × v
a n =ω × v
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第八章 刚体的基本运动
三、定轴轮系的传动比 在实际工程中,不同机器的工作转速往往是不一样的, 在实际工程中,不同机器的工作转速往往是不一样的, 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比, 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比, 表示, 用i表示,即 表示 n主 ω主 i= = n从 ω 从 1.带传动 当主动轮Ⅰ转动时, 当主动轮Ⅰ转动时,利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动 从动轮Ⅱ转动。 从动轮Ⅱ转动。 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度, 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度,为此在 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等, 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等,即v1 = v = v2。若胶带 与带轮间没有滑动, 与带轮间没有滑动,则
第七章 刚体的基本运动

第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度(瞬时):表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义:当刚体运动时 ,刚体内(刚体外)有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
(1) 始终保持不动的直线称为转轴; (2)其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例:电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等!
转动 刚体上任一点的速度分布:
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度!
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径,并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 : a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 :
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小,等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积,方向沿轨迹的切线 (垂直于转动半径的方向),指向与ε的转向一致。
第五章刚体的运动

ω θ
=[3gsinθ/(2l)]dθ
θ
p O N
ωdω= 0 [3gsinθ/(2l)]dθ 0 ω=[3g(1–cosθ)/l]1/2
例题 一根轻绳跨过一个半径为r,质量为M的 定滑轮,绳的两端分别系有质量为m1和m2的物 体 ,如图所示。假设绳不能伸长,并忽略轴的 摩擦,绳与滑轮也无相对滑动。求:定滑轮转 动的角加速度和绳的张力。
L
O
·
*质点作匀速率圆周运动时, 对圆心的角动量的大小为 v R L Rmv m 方向圆平面不变。
*同一质点的同一运动,如果选取的固定点不同, 其角动量也会不同。
锥摆
O
L 0 ro m m v
Lo ' r mv
L 0 lm v
方向变化
L o ' lm v sin
②积分形式:
其中:
t2 t1
t2 t1
M d t L 2 L1
M d t 称冲量矩
—力矩对时间的积累作用
例题 锥摆的角动量
r ①对O点: om T 0 rom m g l sin ( mg )
锥摆
O
T l
m
v mg
解: m1, m2 及定滑轮切向受力如 图, 以运动方向为坐标正向. T1–m1g=m1a1 m2g–T2=m2a2
T1 m1 T1
T2
T2 m2
T2R2–T1R1=Jβ
β=a1/R1=a2/R2 J=M1R1
2/2+M 2R2 2/2
m1g
m2g
2(m2R2–m1R1)g 解得 β= 2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R22
刚体的基本运动

2
0.556,
29
转动刚体内各点得速度和加速度
例题2
vM at
a
M
O an
α ω
A
vA aA
vM r 0.36 m s-1
aτ r 0.36 m s-2
an r 2 0.648 m s-2
A点:
vA vM 0.36 m s-1 aA aτ 0.36 m s-2
O1 l A
刚体得平行移动
例题1
O2 l
M
B
已知:O1A= O2B =l;
0
sin
π 4
t
求:当t = 0和t = 2 s时,荡木 得中点 M 得速度和加速 度。
刚体得平行移动
例题1
O1
l
A O
(+)
O2
0
sin
π 4
t
l
解: 1、 分析荡木得运
M
B
动 AB平动
2、 求A点得运动
A点得运动方程
lim
t0 t
d
dt
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
第6章 刚体得简单运动
转动刚体内各点得 速度和加速度
转动刚体内各点得速度和加速度
转动刚体内各点得速度和加速度
P点得运动方程
s = r ( t )
aP
AO
a
n P
vP
r
a
τ P
s
P
B
aP r 2 4
aPτ aPn
arctan 2
继续保持安静
刚体得平行移动 速 度
刚体得平行移动 加 速 度
平动刚体上各点得加速度
刚体的基本运动

三、刚体平面运动的运动方程 刚 体 平 面 运 动 建立如图的静坐标系, 建立如图的静坐标系, 基点。 点称为基点 将 O′点称为基点。 当刚体作平面运动时, 当刚体作平面运动时, xO′,yO′ 和 均随时间连续变 化,它们均为时间的单值连 续函数, 续函数,即 x = f (t ) (t
1 O′ yO′ = f 2 (t ) = f 3 (t )
O
vO
O
ω
A B
O
ω
O1
二、刚体平面运动的简化 刚 体 平 面 运 动 如图所示, 如图所示,刚体作平面 运动时, 运动时,刚体上所有与空间 某固定平面距离相等的点所 构成的平面图形就保持在它 自身所在的平面内运动。 自身所在的平面内运动。
A1
π
A
S
经分析可得如下结 论:
π0
A2
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 刚体的平面运动可以简化为平面图形 在其自身所在的平面内运动。 在其自身所在的平面内运动。
静 平 面 动
z
= (t )
平 面
这就是刚体的转动方程。 开门 这就是刚体的转动方程。(开门 转动方程 开门)
刚体上任意一点的轨迹都为圆。
O
二、角速度、角加速度 角速度、
刚体绕定轴转动的角速度等于其位置角对时 8.2 间的一阶导数,用ω 表示,即 间的一阶导数, 表示,
刚 体 的 定
d ω= = dt
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度
aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度 ar 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
牵连点:在任意瞬时,动坐标系中与动点相重合的点,也就是 牵连点 设想将该动点固结在动坐标系上,而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。 四.动点的选择原则: 动点的选择原则: 一般选择主动件与从动件的连接点,它是对两个坐标系都有 运动的点。 五.动系的选择原则: 动系的选择原则 动点对动系有相对运动,且相对运动的轨迹是已知的, 或者能直接看出的。
点的一般运动与刚体的基本运动

05 点与刚体的相互作用
与力矩作用在刚体上
力是改变物体运动状态的原因,力的大小、方向和作用点决定了力的效果。
力矩是力和力臂的乘积,用来描述力对物体转动效果的量,其方向垂直于 力和转动轴所在的平面。
在刚体上施加力或力矩,会导致刚体产生平动或转动加速度,进而改变其 运动状态。
旋转矩阵描述
旋转矩阵是一个3x3的实数矩阵,用 于描述刚体在三维空间中的旋转。
旋转矩阵描述的优点是数学表达严谨, 适用于进行复杂的坐标变换和组合旋 转。
通过给定绕着三个坐标轴的旋转角度, 可以计算出一个唯一的旋转矩阵。
四元数描述
四元数是复数的一种扩展,用于描述三维空间中 的旋转和方向。
四元数由一个实部和三个虚部组成,可以表示为 一个有序实数四元组。
2. 可描述性
点的运动可以通过数学方程进 行描述,如运动方程和轨迹方
程。
3. 受约束性
点在运动过程中可能受到某些 约束,如固定点、运动范围等
。
运动方程与轨迹
运动方程
描述点在空间中的位置随时间变化的数学表达式。
轨迹
点在空间中移动时所形成的路径。
速度与加速度分析
速度
描述点在空间中移动的快慢程度,由 方向和大小组成。
课程目标
理解点的一般运动和平动、转动的关系。 掌握刚体运动的基本定理和定理的应用。
掌握刚体的基本运动和平动、旋转、平移的关系。 了解刚体运动的实例和应用。
02 点的一般运动
定义与特性
01
02
03
04
定义
点的一般运动是指一个点在三 维空间中按照一定的规律和轨
6 刚体的基本运动

第六章 刚体的基本运动
vB = v A aB = a A
刚体的平行移动(平动 平动) §1 . 刚体的平行移动 平动 刚体平动特点总结: 刚体平动特点总结: 1、其上任一直线始终平行于它的初始位置; 、其上任一直线始终平行于它的初始位置; 2、任一点的轨迹可是直线也可是曲线; 、任一点的轨迹可是直线也可是曲线; 3、各点的运动轨迹形状相同; 、各点的运动轨迹形状相同; 4、任一瞬时各点的速度、加速度相等。 、任一瞬时各点的速度、加速度相等。 平动刚体的运动可以简化为一个点的运动 即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。 平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。
速度分布图
第六章 刚体的基本运动
加速度分布图
§3 轮系的传动比 1)齿轮传动: 传动比:
v = r1ω1 = r2ω2
ω1 r1
ω2 r2
ω1 r2 z2 i12 = = = ω2 r1 z1
2)带轮传动:
v
ω1 r1 r2 ω2
ω1 r2 i12 = = ω2 r1
第六章 刚体的基本运动
传动比? 传动比?
第六章 刚体的基本运动
§2 刚体的定轴转动 转动刚体上点的运动几何特点: 转动刚体上点的运动几何特点: 1)轨迹: 在垂直于转轴的平面内作圆周运动。 在垂直于转轴的平面内作圆周运动。 2)速度:
v= d S d (ϕ R ) = = ωR dt dt
方向沿圆周的切线与角速度转向一致。 方向沿圆周的切线与角速度转向一致。 2)加速度: dv d dω v 2 (ωR ) 2 = (ωR ) = R =α R at = an = = = Rω 2 dt d t dt R ρ
第六章 刚体的基本运动
第六章 刚体的基本运动
刚体运动知识点总结

刚体运动知识点总结刚体运动是物理学中的一个重要研究领域,它涉及到力学、动力学等多个方面的知识。
在学习刚体运动的过程中,我们需要了解刚体的运动方式、刚体的平动和转动运动、刚体的运动方程、刚体动力学等知识点。
下面将针对这些知识点进行详细的总结和讨论。
一、刚体的运动方式刚体可以进行平动运动和转动运动。
在平动运动中,刚体上所有的点都以相同的速度和相同的方向运动。
在转动运动中,刚体绕着固定轴线旋转,使得刚体上的各个点绕着这个轴线做圆周运动。
刚体的平动运动可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。
在匀速直线运动中,刚体上各个点的速度大小和方向都保持不变;在变速直线运动中,刚体上各个点的速度大小和方向都在不断地变化。
刚体的转动运动可以分为定轴转动和不定轴转动两种情况。
在定轴转动中,刚体绕着固定的轴线旋转,而在不定轴转动中,刚体绕着移动的轴线旋转。
二、刚体的平动运动在学习刚体的平动运动时,我们通常关心刚体上各点的速度、加速度和位移等动力学量。
1. 速度:刚体上任意一点的速度可以表示为该点的瞬时线速度,即该点的位矢对时间的导数。
刚体上不同点的速度大小和方向可以不同,但它们的速度矢量之间满足相对运动关系。
2. 加速度:刚体上任意一点的加速度可以表示为该点的瞬时线加速度,即该点的速度对时间的导数。
刚体上不同点的加速度大小和方向可以不同,但它们的加速度矢量之间满足相对运动关系。
3. 位移:刚体上任意一点的位移可以表示为该点的位矢的变化量。
刚体上不同点的位移可以通过相对位移关系来描述。
刚体的平动运动可以通过运动方程来描述,其中包含了刚体上不同点的速度、加速度和位移之间的关系。
在解决刚体平动问题时,我们通常会使用牛顿运动定律和动量定理等知识来进行分析和求解。
三、刚体的转动运动在学习刚体的转动运动时,我们需要了解刚体绕着固定轴线旋转的运动规律,以及刚体上各点的角速度、角加速度和角位移等动力学量。
1. 角速度:刚体上任意一点的角速度可以表示为该点的瞬时角位置对时间的导数。
刚体的基本运动

刚体的基本运动
答案:
刚体的基本运动形式包括平动、转动(分为定轴转动和非定轴转动)以及平面运动(随质心的平动、绕质心的转动)。
平动是指刚体在运动过程中,整体上以同一速度沿直线运动的现象,其特点是刚体内各点的运动轨迹完全相同。
转动则是刚体绕某一轴心进行旋转的运动,根据轴心的位置不同,可以分为定轴转动和非定轴转动。
平面运动则包括了随质心的平动和绕质心的转动,这种运动形式在工程实际中也是常见的。
复合运动,即平动和转动的组合运动,是刚体运动的一种特殊形式。
例如,自行车在平地上行驶时,既有整车质心的平动,又有轮胎相对于地面的转动。
因此,复合运动确实是刚体的基本运动形式之一。
延伸:
刚体指在运动中和受力作用后,形状和大小不变,而且内部各点相对位置不变的物体。
绝对刚体实际上只是一种理想模型,因为任何物体在受力作用后,都或多或少地变形,如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小,在研究物体运动时变形就可以忽略不计。
把许多固体视为刚体,所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。
刚体的特点:刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的。
刚体上任意质元的位置矢量不同,相差一恒矢量,但各质元的位移、速度和加速度却相同。
因此,常用“刚体的质心”来研究刚体的平动。
第六章 刚体的基本运动

z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中: dt
所以: bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得: ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数,得:
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一 、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则:右手的四指代表转动的方向,拇指代表角 速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义:
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度,引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比: i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二 、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2
刚体

牵连速度
r r r a = a'+a0
牵连 加速度
三、加利略变换 系相对于S系作匀速直线平动 若S′系相对于 系作匀速直线平动,则: 系相对于 系作匀速直线平动,
v u = 常矢量 v v du a0 = =0 dt v v a = a′
设t=0时两坐标系的原点 时两坐标系的原点 重合, 系相对于 系相对于S系以 重合,S′系相对于 系以 速率u朝 正方向运动 正方向运动,则 速率 朝x正方向运动 则
1-6
相对运动
一、运动描述具有相对性
车上的人观察
地面上的人观察
运动是相对的 静止参考系、 静止参考系、运动参考系也是相对的
二、“绝对运动”、牵连运动、相对运动 绝对运动” 牵连运动、 三者应具有如下变换关系 “绝对位矢” 绝对位矢” 绝对位矢 1、位移变换关系 相对位矢 、
v v v r = r′ + r0
A x
dy d 2 2 (2) v = = ( 8.5 + t − 8.5) dt dt t v= 8.52 + t 2
dv d t a= ) = ( dt dt 8.52 + t 2 8.52 a= (8.52 + t 2 )3 2
3、一质点在 、一质点在OXY平面内运动,运动学方程为: 平面内运动, 平面内运动 运动学方程为: X=2t, Y=19-2t2 (1) 质点的运动轨道方程 (2)写出 写出t=1s和t=2s时刻质点的位矢;并计算这一秒 时刻质点的位矢; 写出 和 时刻质点的位矢 内质点的平均速度; 内质点的平均速度; (4)在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直 ? 这 在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直? 在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直 它们的X、 分量各为多少 分量各为多少? 时,它们的 、Y分量各为多少? (3)t=1s和t=2s时刻的速度和加速度; 时刻的速度和加速度; 和 时刻的速度和加速度 (5)在什么时刻,质点离原点最近?距离是多少? 在什么时刻, 在什么时刻 质点离原点最近?距离是多少?
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第三章 刚体力学§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组dr ij =0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n 个变量?否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量,由于两点间的距离保持不变,所以共需9-3=6个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动,描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动:刚体在运动过程中,刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动,通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.刚体在dt 时间内转过的角位移为d n ,则角速度定义为0limt d t dt ∆→∆==∆n nω角速度反映刚体转动的快慢。
线速度与角速度的关系:,t d d d d =⨯⨯∴==rv r n r ωr Q§3.3 刚体运动微分方程 一、 基础知识1.力系:作用于刚体上里的集合。
平衡系:使静止刚体不产生任何运动的力系。
等效系:二力系对刚体产生的运动效果相同。
力系的简化:用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成。
二、公理:1)二力平衡原理:自由刚体在等大、反向、共线二力作用下必呈平衡。
2)加减平衡力学原理:任意力系加减平衡体系,不改变原力系的运动效应。
3)力的可传性原理:力沿作用线滑移,并不改变其作用效果,F 与F `等效。
三、力偶力偶矩1. 力偶:等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力偶所在平面叫力偶面。
2. 力偶矩: 力F 对任意一点O 的位置矢量为r ,则力偶矩为 =⨯M r F ,其大小为 M=Fd ,d 为力偶臂。
上式表明:1) 力偶矩与矩心无关,故M 可画在过力偶面任意点且与力偶面垂直的直线上,它是一自由矢量;2) M 的唯一效果是引起转动效应;3) 力偶不能与一力等效.(因为若等效,则可取其作用线上任意一点为矩心,则有M=0, 发生矛盾). 3. 等效力偶:(1)力偶可在力偶面内任意般动, M 不变时等效; (2)可使M 不变,改变F,d, 与原力偶等效。
四、力的平移定理若将作用于刚体上的力F ϖ平移至同一刚体上不在力F ϖ的作用线上的其它点O ,则必须相应增加一个附加力偶,其力偶矩M ϖ等于原力F ϖ对平移点O 的矩,才能保证原力对刚体的作用效果。
这一结论称为力的平移定理。
显然M ϖ垂直于由点O 与原力F ϖ的作用线所作出的平面。
上述定理的逆定理也成立,即当作用于刚体上某点O 的某个力1F ϖ与作用于同一刚体上的某个力偶的力偶矩M ϖ垂直时,则该力和力偶可以合成为一个力F ϖ,其力矢与原长1F ϖ相同,平移的垂直方向为M F ϖϖ⨯1方向,平移和垂直距离为M / F 1 。
力的平移定理表明,一个力可以等效于一个力和一个力偶。
而其逆定理则表明,可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。
力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础。
五、空间任意力系的简化空间任意力系向任一点O (称为简化中心)简化后,一般可得一个力和一个力偶。
其中这个力的作用线过简化中心,其力矢与该力系主矢R ϖ相同,这个力偶的力偶矩与该力系对简化中心的主矩O M ϖ相同。
上表说明,力系的主矢R ϖ和主矩O M ϖ完全确定了力系的最简简化结果,由此也就不难理解力系的主矢和主矩为什么是力系两个极其重要的特征量了。
六、平行力系平行力系中心若平行力系存在合力,当平行力系的各力保持其大小和作用点不变,而将它们的作用线沿相同方向转过任意相同角度,所得到的所有平行力系的合力作用线始终通过的那个唯一确定的点C ,称为平行力系中心。
取力的作用线的某一方向为正向,其单位矢量为e ϖ,则平行力系中各力可表示为),...,2,1(n i e F F i i==ϖϖ,若它们的作用点相对于空间某一确定点O 的矢径为),...,2,1(n i r =ϖ,则平行力系中心相对于点O 的矢径公式为∑∑=iii C Fr F r ϖϖ例 沿图示长方体三个互不相交且互不平行的棱边分别作用着力1F ϖ、2F ϖ和3F ϖ,它们的大小均等于F ,当它们能简化为一合力时,长方体的长、宽、高的尺寸a 、b 、c 之间的关系如何? 解 1) 建立图示直角坐标系oxyz2) k F F j F F i F F ϖϖϖϖϖϖ===321,, 于是力系的主矢为∑=++==31i i kF j F i F F R ϖϖϖϖϖ3) 取点O 为简化中心,各力对点O 的矩为0)(1=F m O ϖϖ, iFc F m O ϖϖϖ-=)(2 ,j Fa i Fb F m O ϖϖϖϖ-=)(3于是力系对点O 的主矩为jFa i Fc Fb F m M i i O O ρρρρρ--==∑=)()(314) 显然0,0≠≠O M R ρρ,因此,该力系要简化为一个合力,则必须0=⋅O M R ρρ,即0)()(=-+-Fa F Fc Fb F 于是有 c b a -= 七、刚体运动微分方程取刚体的质心为简化中心,把质点组的质心运动定理和对质心的动量矩定理应用到刚体上,就是刚体运动微分方程,即,c d m dt ''==J a FM ,在直角坐标系中为cx x cy ycy yma F ma F ma F === ''''''yx z x yz dJ dJ dJ M MM dtdtdt ===对保守力系,机械能守恒定律成立,即有 T + V = E §3.4 刚体平衡方程一、刚体的平衡刚体相对于惯性参考系处于静止或匀速直线平动状态,称为物体的平衡。
物体在平衡力系的作用下不一定处于平衡状态,这一点将在动力学中看到,但物体若平衡,则作用于其上的力系必为平衡力系,即力系的平衡仅是物体的平衡的必要条件,而非充分条件。
二、平面任意力系的平衡方程 1)一矩式)(,0,0111===∑∑∑===ni i A ni iy ni ix F m F F ρ其中x 、y 轴不平行,可以是正交的,也可以是斜交的。
2)二矩式0,0)(,0)(111===∑∑∑===n i il n i i B n i i A F F m F m ρρ其中A 、B 两点的连线不与投影轴l 垂直,il F 表示i F ρ在l 轴上的投影。
3) 三矩式0)(,0)(,0)(111===∑∑∑===n i i C n i i B n i i A F m F m F m ρρρ其中A 、B 、C 三点不共线。
三、平面特殊力系的平衡方程 1) 平面汇交力系(1),011==∑∑==ni iy ni ixF F(其中x 、y 轴不平行)(2))(,011==∑∑==ni i A ni ix F m F ρ(其中点A 与汇交点的连线不与x 轴垂直)(3)0)(,0)(11==∑∑==n i i B ni i A F m F m ρρ (其中点A 、B 与汇交点不共线)2) 平面力偶系1=∑=ni iM(i M 为平面力偶系中第i 个力偶的力偶矩,它为一个代数量)3) 平面平行力系(1))(,011==∑∑==ni i A ni ix F m F ρ (其中x 轴不与各力的作用线垂直)(2)0)(,0)(11==∑∑==n i i B n i i A F m F m ρρ (其中A 、B 两点的连线不与各力的作用线平行)四、空间任意力系的平衡方程的基本形式0)(,0)(,0)(,0,0,0111111======∑∑∑∑∑∑======n i i z n i i y ni i x ni iz ni iy ni ix F m F m F m F F F ρρρ空间力系的平衡方程还有其它形式的方程组及相应的附加条件,但讨论起来比较麻烦,一般不作教学要求。
§3.5 转动惯量一、转动动能22222111111()()sin 222n n n i i i i i i i i i i i T m r r m r m ωωωθωρ====⨯⨯==∑∑∑g 令21ni i i I m ρ==∑ 则转动动能为212T I ω=二、转动惯量转动惯量计算公式为:21ni i i I m ρ==∑对刚体可用积分形式 dmr I m z 2⎰=式中i ρ是质点)(dm m i 到z 轴距离,dm 是微元体的质量。
转动惯量反映物体转动时惯性的大小。
物体的转动惯量,一方面决定于物体的形状,另一方面又决定于转动轴的位置。
平行轴定理 2md I I c z +=z 轴与c z 轴平行,两者之间的距离为d ,C 为刚体的质心。
三、惯量张量刚体对坐标轴的轴转动惯量222222(),(),()xx yy zz I y z dm I z x dm I x y dm=+=+=+⎰⎰⎰惯量积的定义为,,xy yx yz zy zx zx I I xydm I I yzdm I I zxdm======⎰⎰⎰若刚体绕任一转动轴转动,其相对于坐标轴的方向余弦为α、β、γ ,则刚体绕此转动轴的转动惯量为222222xx yy zz xy yz zx I I I I I I I αβγαββγγα=++---3个轴转动惯量和6个惯量积作为统一的一个物理量,来代表刚体转动时惯性的量度,可以排成一个矩阵形式,我们把它叫惯量张量xx xy xz yxyy yz zx zyzzI I I I I I I I I ⎛⎫--⎪-- ⎪⎪--⎝⎭刚体的转动惯量可表示为 I =(α β γ)xx xy xz yxyy yz zx zyzzI I I I I I I I I ⎛⎫--⎪-- ⎪⎪--⎝⎭αβγ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭四、惯量主轴选择适当的坐标轴,可以使惯量积等于零。