定积分的换元和分部积分法

a
计算
0 x
1
dx.
a2 x2
(a 0)
解
令 x a sint,
x a t ,
0 t
2
dx a cos tdt,
x 0 t 0, 换元要换限
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
)
212
(1 t
1
1
t
)dt
2[ln t ln(1 t )]12
2ln 4 3
例4 2)计算 01 x 1 xdx
换元要换限
解: 令 t 1 x , x 1 t 2 , dx 2tdt
原式
0 t(1 t2 )(2t)dt
1
01(2t 2
4t4 )dt
4 15
Page 13
例5
关键在于 x (t)的构造。这与积分的上下限
以及被积函数的形式有关。
Page 7
例1 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0,
2
2 cos5 x sin xdx 0
x 0 t 1,
0
1
t
5dt
t6 1 1.
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
2
2
sin
x
5
2
4.
5
05
5
2
Page 10
换元要换限
例2 计算 sin3 x sin5 xdx. 令: x=-t 0
0 / 2 sin3 x sin5 xdx / 2 sin 3 x sin 5 xdx
0
sin3 t sin5 tdt
6 0
6
Page 8
换 元 要 换 限t
凑 元 不 换 限
例1 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解
2 cos5 x sin xdx
0
2 cos5 xd (cos x) 0
1 6
cos6
x
|0
/2
1 (0 1) 1
6
6
Page 9
换 元 要 换 限
凑 元 不 换 限x
例2
Page 18
也相应的改变.
换元要换限
(2) 求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t )后，
不必还原成变量x 的函数，只要把 t 的上、下限 分别代入(t )然后相减就行了.
换元不还原
Page 6
应用换元公式时应注意: （3） x (t )要求是单值函数。
（4） 定积分换元法可以用来证明积分等式，
/2
20 / 2 sin3 x sin5 xdx,
令 : sin x u, dx du 1 u2
201 u3 u5
du 1 u2
201u3 / 2du
4 5
u
1 0
4 5
Page 11
3
e4
dx
例3
计算 e x
. ln x(1 ln x)
凑元不换限
3
解
原式 e4 e
d(ln x) ln x(1 ln x)
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
2 0
. 4
Page 14
性质
例 6 当 f ( x)在[a, a]上连续，则
(1)
a
f ( x)dx
a
a f ( x) f ( x)dx
0
(2) f (x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
a
20
f
( x)dx；
(3)
f
(
x
)为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
Page 15
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a
a
0
在 0 a
f
( x)dx 中令x
t ,
0
a
f
( x)dx
0
a
f
( t )dt
a
0
f
( t )dt ,
Page 16
0
a
f
( x)dx
3
3
e4
e
d(ln x)
e4
ln x (1 ln x) 2 e
3
2 arcsin(
ln x)
e4 e
. 6
d ln x 1 ( ln x)2
Page 12
例4 1)计算
14
x(1
dx
x)
换元要换限
解 令 t x, 则 x t 2 , dx 2tdt,
原式
12
2dt t(1
t
例7 计算 1 2 x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40
(1 1Leabharlann x2)dx4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
f
[(t )](t )dt
()
(),
Page 4
( ) a、( ) b,
( ) ( ) F[( )] F[( )]
F(b) F(a),
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
(
)
(
)
f [ (t)](t)dt.
注意 当 时，换元公式仍成立.
Page 5
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量x 换成新变量 t 时，积分限
计算
sin3 x sin5 xdx.
0
凑元不换限
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
则
有 b a
f
(
x )dx
f [ (t )] (t )dt .
Page 3
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
(t) F[(t)],
(t) dF dx f ( x) (t) f [(t )](t),
dx dt
(t)是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
第三节 换元法和分部积分法
1. 定积分的换元积分法 2. 定积分的分部积分法
Page 2
一、换元公式
定理 假设（1）f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t) 的值 在[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b ，
0
a
f
( t )dt
a
0
f
( t )dt ,
① f ( x)为偶函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
Page 17