第10章期权定价模型

➢ 当存在一个严格正值的概率使得 严格小于k时，不用 执行购买的选择权就具有严格正的价值。
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从纯粹市场套利的观点来讨论的期权 价格的一些性质
➢ 一支期权的价格是其执行价格的凸函数。可以证明，这个 性质在更加一般的条件下也成立，也即
➢ 一支标的资产为正值权重的证券组合，执行价格为k的期 权，其价值要小于以组合中的证券为标的资产，执行价格 同样为k 的相同权重的期权组合的价值。
补偿成比例。其比例系数等于rj和
的协方差与rm和
的协方差之比
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效用函数为幂函数时的定价关系
➢假设经济行为主体在时期1的效用函数为幂函数
➢当B = -1时，经济行为主体的效用函数为二次效 用函数，上式变为我们所熟悉的CAPM关系式。
➢当B = -1/2时，代表性的经济行为主体时期1的消 费的效用函数为三次函数
➢ 均衡方法为分析市场和证券定价提供了更一般的框架，也是一 以贯之地在本书中得到体现和强调的思想逻辑主线。该方法把 证券的价格更多地与基本经济概念联系起来，即使是最简单的 确定性模型，也可导出资产价格关于经济参数的表达式。正是 在这种意义上，均衡方法比无套利方法更基本，因为后者假定 价格是给定的，而均衡方法则可以说明价格的起因。
函数
➢ 进一步假设 和
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服从二维对数正态分布。
➢ 求得布莱克-舒尔斯(Black-Scholes)期权定价公式 如下：
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几点说明：
➢ 期权定价公式是在一种特定假设的经济中推导的，在这种经济 中，经济行为主体的效用函数是具有相同谨慎度B的线性风险容 忍效用函数，并且假定经济行为主体的初始收入只是交易证券 。
➢ 无套利方法是基于无套利原理──在没有套利机会的金融市场中 ，两个期末收益相同的证券在任一时刻的交易价格应该相等。 它只对价格进行比较，所以与行为主体效用函数无关。不管什 么样的效用主体，只要市场是完全和有效的，则其价格关系必 须满足无套利原理。
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➢ 无套利原理的核心思想是我们能用交易的证券完全复制一个证 券，并因此给该证券定价。但无套利方法并不总是可以使用， 有时我们无法使用无套利方法。但却可以使用均衡方法。
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10.2 Baidu Nhomakorabea莱克-舒尔斯期权定价公式
➢ 这里我们将首先证明，在标的证券或标的资产的未来收 益率分布业已固定的情况下，一个买入期权的价格是其 标的证券或标的资产的价格的增函数和凸函数。 ➢ 第一个证明是：看涨期权的价格vj (pj, k)是pj的增函数 ，并且如果 >k的概率严格为正，则vj (pj, k)是pj的严 格增函数。
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10.3 期权定价公式的应用
➢ 期权定价公式的一个比较典型的应用是对于有风险 的公司债券的定价研究。
➢ 前提假设
➢ 假设公司j 有１个单位的普通股股票和一支面值为k 的贴现 债券在外流通。
➢ 股票和债券的价格分别为Sj和Dj，贴现公债在时期１到期。 ➢公司j 在时期１的总收入为 ，我们假设 与时期１的总
第10章期权定价模型
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2020年4月9日星期四
本章大纲
➢ 复合证券和衍生证券的定价原则 ➢ 布莱克—舒尔斯(Black-Scholes)期权定价公式 ➢ 期权定价公式的应用
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10.1 复合证券和衍生证券的定价原则
➢ 前提假设： ➢ 经济行为主体及其效用函数的假设 ➢ 证券市场组成的假设 ➢ 证券市场的均衡消费配置是帕累托最优的
➢ 第二个证明是：vj (pj, k)是pj的凸函数。
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布莱克-舒尔斯(Black-Scholes)期权定价公式 的推导
➢ 前提假设
➢ 两期的证券市场经济 ➢ 经济行为主体的效用函数如关系式(10.12)所定义 ➢ ➢ 在时期０，我们赋予经济行为主体消费物品和市场交
易证券 ➢ 选择一个代表性的经济行为主体，使其效用函数为幂
消费 构成联合对数正态分布，并且这个分部的参数和我 们上一节的讨论相同。 ➢ 的现值是该公司在时期０的价值，我们用Vj来表示，因 此，Vj = Sj+Dj。
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从纯粹市场套利的观点来讨论的期权 价格的一些性质
➢ 由期权的性质我们可以判断期权的现时价格
并不依赖于经济行为主体的效用函数和标的证券的未来收 益分布。 ➢ 以上严格不等式背后隐含的直观经济含义如下：
➢ 一个必须执行的，以执行价格k在时期1购买1个单位的 标的证券j的义务，其现值为pj – k /(1+rf)。
➢ 在以上假设下，我们可以构建一个具有严格凹的增效用函数 u补0 偿和均u1衡的关代系表：性经济行为主体。并由此推导出证券的风险
利用效用函 数的特点
也即风险证券j的风险补偿为正值的充分必要条件是其时期1 的随机收益与时期1的总财富正相关。
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➢
+ (10.9)
即在证券市场均衡时，证券j 的风险补偿和市场组合的风险
➢ 期权的定价使得在均衡时的经济中没有一个行为主体对其有所 需求。在这样的背景下，期权在经济均衡时就没有配置资源的 作用，因而有时就被称为多余证券或资产。
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证券定价的两个基本方法： 均衡方法和无套利方法
➢ 均衡是从相互作用的经济行为主体的活动中产生，所以需要对 经济主体效用函数作出假设。经济行为主体的效用函数被假定 为是具有相同谨慎度B的线性风险容忍效用函数，并且假定经济 行为主体的初始收入只是交易证券。
➢ 在市场均衡时，每个经济行为主体都持有一支无风险证券和市 场组合构成的线性组合，并且实现了帕累托最优。这样，如果 一个以某支证券为标的的买入期权被引入经济中，在市场均衡 时就没有人需要这支期权。
➢ 这就是说，只要期权是按照关系式(10.32)和(10.35)式定价的，那 么，在经济处于均衡时，引入一个买入期权，初始的均衡就不 会遭到破坏。