电磁学与电动力学(下)

第五章 电磁波的辐射

5.1 对时谐场(t

i e

ω-~),证明电场的计算公式ϕω∇-=A E i 和ωμ/j B E )(02-⨯∇=ic 等

效.

【证】 由A B ⨯∇=得

ωμωμ/j A A /j A E ])([])([02202-∇-⋅∇∇=-⨯∇⨯∇=ic ic

ϕωϕω∇-=∂∂-∂∂-∇=A A

i t

c t c ic ]1)1([22222

, 利用delta = ik ，a/at = -iw 证毕.

5.2 从三维波动方程

),(412222

t f t

c r πψ

ψ-=∂∂-∇

的推迟势解

c

t t V d t f t |

r r |r r ,r r '--='''-''=

⎰|,|)(),(ψ 出发,计算脉冲式点激发源)()()()(),(t z y x t f ''''=''δδδδr 、无穷长直线脉冲式激发源)()()(),(t y x t f '''=''δδδr 和无限大平面脉冲式激发源)()(),(t x t f ''=''δδr 的推迟势解.你会发现,三维推迟势解的扰动仅限于半径为ct 的球面,而二维和一维解则在波前下游长期

维持扰动状态.试对此作出物理解释. 【解】 对脉冲式点激发源有

)(1|)

()()()(),(c

r

t r z d y d x d t z y x t -=''''-''''=⎰

δδδδδψ|r r r ,

迟势解的扰动仅限于半径为ct 的球面.

对长直线脉冲式激发源有

V d t y x t ''-'''=⎰

|

r r r |)

()()(),(δδδψ

⎰

∞

∞

-''-++'-++-=

z d z z y x c z z y x t 2

/122

2

222])([(}

/])([{δ.

利用δ函数的如下性质

∑-=-=i

i x

x x x dx df x f i

)()/())((1

δδ,

可将上述积分化为

∑⎰

∞∞--'=''-++'

'-''

'=i i i z z z z y x z d z z z d z df t y x i 2

/122

2

1

]

)([()()

(),,(δψ,

式中

c z z y x t z f /])([)(2/1222'-++-=', 0/])([)(2/1222='-++-='c z z y x t z f i i ,

t

c y x t c z z y x c z z z

d df i i z z i 22

/122222/1222][])([||--=

'-++'-=''='. 注意,)(z f '存在两个零点,对积分的贡献相同,总贡献为

2

/122

22/1222222][)

(2][)(2),,(ρρΘΘψ--=--+-=t c ct c y x t c y x ct c t y x , 式中Θ为单位阶跃函数,2

/122)(y x +=ρ.

无限面源可由上述线源结果叠加求得:

⎰⎰∞

∞

-∞∞---+-==dy y x t c y x ct c dy t y x t x 2

/1222222][)

(2),,(),(Θψψ |)|(2][|)

|(22

222

222/12222x ct c y x t c dy

x ct c x t c x t c -=---=⎰---

ΘπΘ. 由线源和面源的结果可见,线源的波前为以源为轴、半径为ct 的圆柱面,面源的波前为与源

面平行、距离为ct 的平面.对于这两种情况,波前下游长期维持扰动状态.理由在于,源的尺寸无限,在任意时刻t ,总会有扰动信号抵达波前下游的任意位置.

5.3 半径为R 的理想导电球壳,为过球心的平面切成两半,分别加上交变电势t V ωcos ±.在长波近似(c R <<ω)下,求辐射功率角分布和总辐射功率. 【解】 在长波近似下,只需给出系统最低阶矩对辐射场的贡献.由2.9题之结果,系统的最低阶非零矩为偶极矩,且

z t V a e p ωπεcos 620=,

式中z e 为垂直于切割面的单位矢量.经写成复数形式有

z t i Ve a e p ωπε-=206.

将上述偶极矩代入偶极子辐射功率角分布和总辐射功率公式得

θωεθπμΩ22

p sin 89sin 32||32440220c

V a c d dP == , 3

2440302312||c

V a c P ωπεπε==p

. 5.4 对纯偶极矩电荷系统,其电偶极矩为)(t p ,电四极矩和更高阶矩,以及各阶磁矩均为零,

其矢势为

t

c r t c r t r c r t t ∂-∂≡--=

)

/()/(,4)/(),(0p p p r A πμ.

(1由洛伦斯规范条件0/2

=∂∂+⋅∇t c ϕA ,求对应的标势ϕ;

(2)计算对应的磁场和电场（不作任何近似）;

(3)求时谐偶极子t i e t ω-=0)(p p 的矢势、磁场和电场表达式. 【解】 (1) 由洛伦斯规范条件求标势

⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅∇+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅∇-=⋅∇-=∂∂c r t r c r t r c c t p p A 1)1(4202

π

μϕ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=c r t cr c r t r r p

p e 1141

20πε. 将上式对时间积分得

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=

c r t cr c r t r r p

p e 1141

20πεϕ. (2)由电磁势求电场和磁场

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⋅∇+⋅∇+⋅∇+⋅∇=

∇22330)()()()(41cr cr r r r p p r r p p r πεϕ ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⋅-⋅⋅-+⋅⋅-=r r r r r r cr cr r e p e e p e p e p e p )(1)(3)(3412230 πε, p

p A r c r t 20041

4πεπμ==∂∂,