大学物理作业2.高斯定理

《大学物理》作业 No .2 静电场中的高斯定理
班级 ___________ 学号 ___________ 姓名 ___________ 成绩 ________ 说明：字母为黑体者表示矢量
内容提要
1.电通量⎰
⋅=Φs d S E 电场强度穿过任意曲面的电通量在数值上等于穿过该面的电场线条数；对于封闭曲面，电场线穿出规定电通量为正。

2.真空中高斯定理∑⎰=⋅内q d s 01εS E
（1）.高斯定理表明穿过封闭曲面的电通量仅与面内电荷有关，面外电荷分布对该通量无贡献；(2).空间任意一点（包括高斯面上各点）的电场由高斯面内外所有场源电荷共同决定；
（3）.高斯定理是静电学的一条重要基本定理，反映了静电场的有源性，同时该定理又是从库仑定律导出的，反映了库仑平方反比律的正确性；（4）.运用高斯定理可以方便地求解具有某些对称性分布的电场，根据电场的对称性分布特点，选取恰当的高斯面，从而简化积分，求出电场。

基本要求
1.理解电通量概念，掌握电通量计算
2.理解并掌握真空中高斯定理
3.会用高斯定理计算几种典型对称电荷分布的电场
一、 选择题
1. 将一个点电荷（忽略重力）无初速地放入静电场中，关于电荷的运动情况，正确的是：
[ ] （A ）电荷一定顺着电场线加速运动；
（B ）电荷一定逆着电场线加速运动；
（C ）到底是顺着还是逆着电场线运动，由电荷的正负决定；
（D ）以上说法均不正确。

2.关于电场线，以下说法正确的是
[ ] (A) 电场线上各点的电场强度大小相等；
(B) 电场线是一条曲线，曲线上的每一点的切线方向都与该点的电场强度方向平行；
(C) 电场线是电场空间实际存在的系列曲线；
(D) 在无电荷的电场空间，电场线可以相交.
3.如图2.1，一半球面的底面圆所在的平面与均强电场E 的夹角为30° ，球面的半径为R ，球面的法线向外，则通过此半
球面的电通量为 [ ] (A) π R 2E/2 . (B) -π R 2E/2.
(C) π R 2E .
(D) -π R 2E .
4.关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是
[ ] (A) 如高斯面上E 处处为零,则该面内必无电荷；
(B) 如高斯面内无电荷,则高斯面上E 处处为零；
(C) 如高斯面上E 处处不为零,则高斯面内必有电荷；
(D) 如高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零；
(E) 高斯定理仅适用于具有高度对称的电场
5. 两个同心均匀带电球面，半径分别为a R 和b R (b a R R <) , 所带电量分别为a Q 和b Q ，设某点与球心相距r , 当b a R r R <<时， 该点的电场强度的大小为：
[ ] (A) 2b a 041
r Q Q +⋅πε (B) 2
b a 041r Q Q -⋅πε (C)
)(412b
b 2a 0R Q r Q +⋅πε (D) 2a 041r Q ⋅πε 6. 如图2.2所示，两个“无限长”的、半径分别为R 1和R 2的共轴圆柱面均匀带电，轴线方向单位长度上的带电量分别为1λ 和2λ， 则在内圆柱面里面、
距离轴
线为r 处的P 点的电场强度大小 [ ] (A) r
0212πελλ+ (B) 20210122R R πελπελ+ (C) 1014R πελ (D) 0 二、 填空题
1.将一电量为q 的点电荷置于一正方体盒子的中心，则穿过盒子六个面的电通量是多少 ,如果将点电荷置于盒子的一个顶点处，穿过盒子各个面的电通量又是多少 .
2.如图2.3所示,真空中两个正点电荷,带电量都为Q ,相距2R ,若以其中一点电荷所在处O 点为中心,以R 为半径作高斯球面S ,则通过该球面的电场强度通量Φ= ;若以r 0表示高斯面外法线方向的单位矢量,则高斯面上a 、b 两点的电场强度的矢量式分别为 ， .
三、计算题 1. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为
⎩⎨⎧><=)
(0)(R r R r Ar ρ , 其中A 为一常数，试求球体内、外的场强分布。

图2.3
2.一“无限长”的均匀带电圆柱体，半径为R，沿轴线单位长度带电量为λ，试求空间的场强分布。

3. 厚度为a2的无限大均匀带电平板，电荷体密度为ρ，试求平板内外空间的电场。

参考答案
一．选择
1. （D ）提示：当电场线为曲线时，电荷做曲线运动必受法向力，而电场力无法提供法向力。

2.（B ）
3.（A ）
4.（D ）
5.（D ）提示：用高斯定理求解
6. (D) 提示：用高斯定理求解
二．填空
1.（1）06εq ，024εq 提示：根据对称性，穿过六个面的电通量相等，为0
6εq ；（2）穿过点电荷所在的三个面的电通量为0，穿过另外三个面的电通量根据对称性相等，为
024εq 2.（1）0εQ
；（2）20185R Q πεr 0；（3）0 三．计算
1. 解：由于电荷密度只与半径有关，所以电场是球对称分布的，取高斯面为同心球面，在球体内，由高斯定理：
024ερπdr r dS E S ⎰⎰=⋅ 030244εππAdr
r r E r
⋅=⋅⎰
得到，0
2
4εAr E = 球体外：
030244εππAdr
r r E R
⋅=⋅⎰
所以，204
4r
AR E ε= 2. 解：电场是柱对称分布的，取高斯面为同轴封闭圆柱面，在柱体内由高斯定理得
λππεl R r dS E S 22
01=⋅⎰，其中l r ,分别为高斯面底面半径和长度，积分得
202
2R
r l rlE ελπ=，r R E 202πελ= 柱体外由高斯定理得
λεl dS E S 01=⋅⎰，积分得
02ελ
πl rlE =，r
E 02πελ= 3. 解：将带电平板看成无限多相互平行的均匀带电薄面组成的，则平板内外空间的电场方
向垂直于板面，且相对于平板中心面是对称的，取高斯面为轴线垂直于板面的封闭圆柱面，圆柱面两底面相对于板中心面对称，在板内，由高斯定理得
ρεxS dS E S 210=⋅⎰，其中S 为圆柱面底面积，a x ≤，为板内一点到板中心面的距离，积
分得
ρεxS SE 21
20=，x E 0
ερ= 在板外，由高斯定理得
ρεaS dS E S 210=⋅⎰，积分得
ρεaS SE 21
20=，0ερa E =。