交互作用双因子方差分析
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现对因素 A、 B 的每一种不同的水平组合:
Ai , B j i 1,2, , r ; j 1,2, , s
都 安 排 t t 2 次 试 验 （ 称 为 等 重 复 试 验 ）， 假
定各次试验是相互独立的，得到如下试验结 果：
1.双因素方差分析的数据结构如表所示：
B1
B2
A1
x111, x112, , x11t
（6.29）
要 鉴 别 因 素A 与 因 素B 是 否 存 在 交 互 效 应 ， 等 价 于
检验wenku.baidu.com设
H 03 : ij i 1,2, , r; j 1,2, , s 全 相 等 是否成立。
（6.30）
r
r
由于 i
i 1
i 1
ui• u
1 s
r i 1
s
uij
j 1
ru
0，
因此，如果
u ij u （ 视 为 总 效 应 ） 是 由 如 下 四 部 分 组 成 ： （ 1） 水 平Ai 下 的 效 应 i ；
（ 2） 水 平 B j 下 的 效 应 j ；
（ 3 ） 水 平 组 合 Ai , B j 的 交 互 效 应 ij ；
（ 4 ） 随 机 因 素 引 起 的 随 机 波 动 ij .
需鉴别因素A 水平的改变是否导致试验结果的明显变
化，这等价于检验因素A 各水平的效应是否相等，即
检验假设
H01 : 1 2 r 是否成立。
（6.28）
类 似 地 ， 要 鉴 别 因 素B 是 否 对 结 果 有 显 著 影 响 ，
等价于检验假设
H 02 : 1 2 s 是否成立。
j 1
j 1
j 1
所以，如果
H
成立，那么因素
02
B
各效应的水平皆为零；
如果 H 03成立，那么 ij 0 i 1,2, , r; j 1,2, , s .
x121, x122, , x12t
A2 x211, x212, , x21t x221, x222, , x22t
……
……
Ar
xr11, xr12, , xr1t
xr21, xr22, , xr2t
…… …… …… ……
Bs x1s1, x1s2 , , x1st x2s1, x2s2, , x2st
H
成立，那么因素
01
A各水平的效应必皆为
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
一、 双因素方差分析的类型
如果在试验中有两个可控制因素 A, B ，同时发生变
化，而其它可控制因素均保持不变，这样的试验称为
双因素试验。
双因素试验方差分析的作用是同时鉴别两个因素
对结果可能产生的影响。
例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想 了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区， 销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不 同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地 区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低 的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、 接受该生产线。
记 ： i=ui•u
它是水平 A i 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平A i 下的效应；
记 ： j=u•j u
它是水平 B j 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平B j 下的效应；
记 ： rijuijui•u•ju u ij u i j
所以 r ij 是总效应 uij u 减去 A i 的效应 i 和 B j 的效应 j
i r1 i i r1ui•u1 si r1js 1uijru 0
js 1j js 1u•ju1 rjs 1i r1uijsu 0
r
r
ij uijui•u•ju=0
i1
i1
s
s
ij uij uiou•j u=0
j1
j1
因此，要鉴别因素A 是否对结果有显著影响，只
（6.19）
的t 个样本观测值.
对不同的水平组合 Ai , B j ，假定各总体的方差相
等，但均值uij 可能存在差异。
2.双因素试验的方差分析的数学模型 X iju ijij,
i 1 ,2 Lr(因 素 A 的 水 平 ） ， j 1 ,2 Ls因 素 B 的 水 平 ，
ij相 互 独 立 同 分 布 N (0,2)
后的剩余部分，称为水平组合 Ai,Bj 的交互效应。
于 是 X ij ~ N u ij , 2 可 以 等 价 的 表 示 为 ：
X ij u ij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
，
i 1,2, , r ; j 1,2, , s
这 表 明 ， 在 因 素 A, B 的 不 同 水 平 组 合 下 ， 试 验 结 果 的 相 对 差 异
……
……
xrs1, xrs2, , xrst
在水平组合Ai , B j 下的t 次试验，由于所有可控制
因素均没有发生变化，试验结果 xij1 , xij 2 , , xijt 的差异
纯粹是由随机因素引起的，故可将数据 xij1 , xij 2 , , xijt
看成是来自正态总体
X ij ~ N uij , 2
双因 素方 差分 析的 类型
无交互作用的 双因素方差分析
有交互作用的 双因素方差分析
假定因素A和因素 B的效应之间是相 互独立的，不存在 相互关系
假定因素A和因素B 的结合会产生出一 种新的效应
二、数据结构
设 因 素 A 有 r 个 不 同 的 水 平 A1 , , Ar ， 因 素 B 有s 个不同 的水平 B1 , , Bs ，
记 ： ur1si r1js1uij— — 理 论 总 均 值
记 ： u i• 1 sjs 1u ij— 因 素 A 在 i水 平 下 的 理 论 平 均
记 ： u •j 1 ri r1u ij— 因 素 B 在 j 水 平 下 的 理 论 平 均
显然
u i j u u i • u u • j u u i u j i • u • j u
Ai , B j i 1,2, , r ; j 1,2, , s
都 安 排 t t 2 次 试 验 （ 称 为 等 重 复 试 验 ）， 假
定各次试验是相互独立的，得到如下试验结 果：
1.双因素方差分析的数据结构如表所示：
B1
B2
A1
x111, x112, , x11t
（6.29）
要 鉴 别 因 素A 与 因 素B 是 否 存 在 交 互 效 应 ， 等 价 于
检验wenku.baidu.com设
H 03 : ij i 1,2, , r; j 1,2, , s 全 相 等 是否成立。
（6.30）
r
r
由于 i
i 1
i 1
ui• u
1 s
r i 1
s
uij
j 1
ru
0，
因此，如果
u ij u （ 视 为 总 效 应 ） 是 由 如 下 四 部 分 组 成 ： （ 1） 水 平Ai 下 的 效 应 i ；
（ 2） 水 平 B j 下 的 效 应 j ；
（ 3 ） 水 平 组 合 Ai , B j 的 交 互 效 应 ij ；
（ 4 ） 随 机 因 素 引 起 的 随 机 波 动 ij .
需鉴别因素A 水平的改变是否导致试验结果的明显变
化，这等价于检验因素A 各水平的效应是否相等，即
检验假设
H01 : 1 2 r 是否成立。
（6.28）
类 似 地 ， 要 鉴 别 因 素B 是 否 对 结 果 有 显 著 影 响 ，
等价于检验假设
H 02 : 1 2 s 是否成立。
j 1
j 1
j 1
所以，如果
H
成立，那么因素
02
B
各效应的水平皆为零；
如果 H 03成立，那么 ij 0 i 1,2, , r; j 1,2, , s .
x121, x122, , x12t
A2 x211, x212, , x21t x221, x222, , x22t
……
……
Ar
xr11, xr12, , xr1t
xr21, xr22, , xr2t
…… …… …… ……
Bs x1s1, x1s2 , , x1st x2s1, x2s2, , x2st
H
成立，那么因素
01
A各水平的效应必皆为
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
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r i 1
uij
su
0
r
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r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
一、 双因素方差分析的类型
如果在试验中有两个可控制因素 A, B ，同时发生变
化，而其它可控制因素均保持不变，这样的试验称为
双因素试验。
双因素试验方差分析的作用是同时鉴别两个因素
对结果可能产生的影响。
例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想 了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区， 销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不 同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地 区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低 的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、 接受该生产线。
记 ： i=ui•u
它是水平 A i 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平A i 下的效应；
记 ： j=u•j u
它是水平 B j 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平B j 下的效应；
记 ： rijuijui•u•ju u ij u i j
所以 r ij 是总效应 uij u 减去 A i 的效应 i 和 B j 的效应 j
i r1 i i r1ui•u1 si r1js 1uijru 0
js 1j js 1u•ju1 rjs 1i r1uijsu 0
r
r
ij uijui•u•ju=0
i1
i1
s
s
ij uij uiou•j u=0
j1
j1
因此，要鉴别因素A 是否对结果有显著影响，只
（6.19）
的t 个样本观测值.
对不同的水平组合 Ai , B j ，假定各总体的方差相
等，但均值uij 可能存在差异。
2.双因素试验的方差分析的数学模型 X iju ijij,
i 1 ,2 Lr(因 素 A 的 水 平 ） ， j 1 ,2 Ls因 素 B 的 水 平 ，
ij相 互 独 立 同 分 布 N (0,2)
后的剩余部分，称为水平组合 Ai,Bj 的交互效应。
于 是 X ij ~ N u ij , 2 可 以 等 价 的 表 示 为 ：
X ij u ij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
，
i 1,2, , r ; j 1,2, , s
这 表 明 ， 在 因 素 A, B 的 不 同 水 平 组 合 下 ， 试 验 结 果 的 相 对 差 异
……
……
xrs1, xrs2, , xrst
在水平组合Ai , B j 下的t 次试验，由于所有可控制
因素均没有发生变化，试验结果 xij1 , xij 2 , , xijt 的差异
纯粹是由随机因素引起的，故可将数据 xij1 , xij 2 , , xijt
看成是来自正态总体
X ij ~ N uij , 2
双因 素方 差分 析的 类型
无交互作用的 双因素方差分析
有交互作用的 双因素方差分析
假定因素A和因素 B的效应之间是相 互独立的，不存在 相互关系
假定因素A和因素B 的结合会产生出一 种新的效应
二、数据结构
设 因 素 A 有 r 个 不 同 的 水 平 A1 , , Ar ， 因 素 B 有s 个不同 的水平 B1 , , Bs ，
记 ： ur1si r1js1uij— — 理 论 总 均 值
记 ： u i• 1 sjs 1u ij— 因 素 A 在 i水 平 下 的 理 论 平 均
记 ： u •j 1 ri r1u ij— 因 素 B 在 j 水 平 下 的 理 论 平 均
显然
u i j u u i • u u • j u u i u j i • u • j u