分形几何中的数列问题

分形几何中的数列问题

发表时间：2011-02-22T10:43:53.960Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2011年第3期供稿作者：李玲

[导读] 本文借助简单分形几何图形总结求数列通项公式的常用方法，从而培养学生观察、发现、归纳、总结的能力

李玲

摘要：本文借助简单分形几何图形总结求数列通项公式的常用方法，从而培养学生观察、发现、归纳、总结的能力。

关键词：分形几何；欧氏几何；数列

作者简介：李玲，任教于甘肃兰州兰炼三中。

通俗一点说，分形几何就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学，与欧氏几何学在研究对象等诸多方面迥然不同。数列与分形的结合，就是把抽象的符号语言转换为直观的图形语言，把数量关系问题转化为图形性质去讨论，形成“以形助数，数形结合”的数学思想。分形与数列的结合，不仅为我们解决数列问题提供了一种新的思路，而且对发展学生的实践能力，拓展学生的几何思维有很大帮助。

在一些综合性比较强的数列问题中，通项公式的求解往往是解决数列难题的瓶颈,如何让学生熟练掌握常用的求通项公式的方法如累积法、累加法等，是教学中必须思考的问题。下面通过几个例题对简单分形几何图形中的数列问题展开研究。

1. 曲线“生长”过程中有哪些数量特征可以研究？

边数、边长、周长、顶点数、尖角的个数、面积等变化规律。

2. 应用的知识与方法：

（1）公式法（适合于等差、等比数列）；

（2）差项法；

（3）观察、归纳、猜想、证明（数学归纳法）

例1、下列四个图形中，小三角形(小正方形)的个数依次构成一个数列的前四项，则这个数列的一个通项公式是什么？

例2、Cantor集—— Cantor在1883年构造了如下一类集合：取一段欧式长度为1的直线段，将该线段三等分，去掉中间的一段，剩下两段。再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间的一段，剩下四段。将这个操作进行下去，直至无穷，可得到一个离散的点集，点数趋于无穷多，而长度趋于零。经无限次操作所得到的离散点集称为Cantor集。在这个操作中，可以形成哪些数列，并找出它们的通项公式。

例4、Koch雪花曲线

设等边三角形的边长为1，经过n次分形后，曲线的边数、边长、尖角、周长，依次构成如下数列。

曲线的边数由3开始增加，各边每次增加为4条边,以此类推,直至无穷；边长由1开始减少，后面的边长都是前面边长的三分?之一；尖角数等于边数加前一次的尖角数，由3开始递增；周长等于边数乘以边长，递增至无穷大。