复变函数、场论与拉氏变换试题

在 z0
=
π 3
处所展成泰勒级数的收敛半径为
.
6.
Res[z
n
e
1 z
,
0] =
.
7.
L
−1[1
+
1 s
]
=
.
8.广义积分
+∞ 0
te−2t
cos
3t
dt
值为
.
三 计算题(第1-5小题每题6分, 其余每小题8分)
1.求函数 w
=
1 z
将z
平面上的曲线 x
=
1 映射到 w
平面上的曲线方程.
2.讨论函数 f (z) = x3 − i(y3 − 3y) 的可导性, 解析性, 并写出可导点处的导数.
在 x2 + y2 = 1 上可导, f (z) = 3x2, 处处不解析.
3.
Im(z) dz =
C
y dz =
C
y (dx + idy) =
C
C
1 2
x
dx
+
i
C
1 2
x
d(
1 2
x)
=
1 4
x2|20
+
i
1 8
x2|20
=
1+
1 2
i.
4.
Res[
z
5z−2 (z−1)2
,
0]
=
lim
z→0
5z−2 (z−1)2
二 1. 4
π 3
2.
e−(2k+
1 2
)π
3.
√ 4. {1, −1, 3} 11
5.
π 6
6.
1 (n+1)!
7. 1 + δ(t)
8.
−
5百度文库169
三1.
由 x + iy
=
z
=
1 w
=
1 u+iv
=
u u2+v2
+
−v u2+v2
i,
及
x
=
1得
u2
+ v2 − u
=
0.
2. u = x3, v = −y3 + 3y. ux = 3x2, vy = −3y2 + 3, uy = 0, vx = 0. 由 ux = vy, uy = −vx 知 f (z) 仅
9.
ez (z2+5z+6)3
dz
=
sin3 z z2+5
dz.
|z|=1
|z|=2
10.
L [(t − π)9] =
1 s10
e−πs
.
二 填空题(每小题2分)
√ 1. 复数 (− 3 − i)2 的模为 , 辐角主值为 .
2. ii =
3. 设 u(x, y, z) 为数量函数, A(x, y, z) 为矢量函数, 则下列有意义的式子的序号为
2. 设 f (z) 在 0 < |z − z0| < R 内解析且不为零, z0 是 f (z) 的 n 级极点, 试证: 中 C 为正向圆周 0 < |z − z0| < r (r < R).
C
f (z) f (z)
dz
=
−2nπi
其
1
参考答案: 一 1.√ 2.√ 3. × 4. × 5.√ 6. × 7.√ 8.√ 9.√ 10.×.
C
[
f f
(z) (z)
]2
dz
=
0.
6.已知
1 z(z−1)2
=
奇点.
∞ n=0
(−1)n (z−1)n+3
在
1
<
|z
−
1|
<
+∞
内成立,
由式中含无限个负幂项知
z
=
1
是它的本性
7.若幂级数
∞ n=1
anzn
在
z
=
2i
处收敛,
则它必在
z
=
−1
+
i
处收敛.
8.函数 u = y − x 是 v = y + x 的共轭调和函数.
为求 f (z) 的表达式,先考察 f (z) . f (z) = ux + ivx = ux − iuy = −6xy − i(3y2 − 3x2) = 3iz2. 从 而 f (z) = iz3 + iC, 其中 C 为实的常数.
说明: 此题也可这样做: 由 u 先求 f (f = ux − iuy), 求出 f 后再根据 f = u + iv 定 v . 这样定的 u, v, 由 解析函数性质,均为调和函数,且 v 为 u 的共轭调和函数. 这样做显然简单.
= {x − 4z, −y, −3}
x2 + 3y 2z2 xy − 4
grad(A · B) = grad(3x2y + 0 − 4xy) = {6xy − 4y, 3x2 − 4x, 0}
四1. ux = −6xy, uxx = −6y, uxy = −6x, uy = 3y2 − 3x2, uyx = −6x, uyy = 6y, u 的所有二阶偏导数 存在且连续, uxx + uyy = 0, u(x, y) 为调和函数. vy = ux = −6xy, v = (−6xy) dy = −3xy2 + ϕ(x). uy = 3y2 − 3x2 = −vx = 3y2 − ϕ (x), ϕ(x) = x3 + C. v = x3 − 3xy2 + C.
div(gradA); rot(rotA); div(divA); grad(gradu); grad(rotA); grad(divA)
4.函数 u = 3x2z −xy +z2 在点 P (1, −1, 0) 处沿方向
的方向导数最大, 其最大值为
.
5.函数 f (z)
=
tan z
=
−
1 6
e−t
−
4 3
e2t
+
7 2
e3t.
9. A × B = {−8z2, x3y + 12y, −2x2y2}
div(A × B)
=
∂ ∂x
(−8z
2
)
+
∂ ∂y
(x3y
+
12y)
+
∂ ∂z
(−2x2z2)
=
x3 − 4x2z + 12.
i
jk
rot(A + B) =
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
复变函数、场论与拉氏变换试卷2005.6
一 判断题(每小题1分)
1.函数 w = arg(z)在z = −1处不连续.
2.Re(5e
π 6
i)
>
Im(7e
π 6
i
)
3.函数 f (z) 在 z0 点不解析是在 z0 点不可导的充分条件.
4.函数 cos z 的模的最大值为 1.
5.设函数 f (z) 在单连域 B 内处处解析, 且不为零, C 为 B 内的任意一条正向简单闭曲线, 则
9.设向量场 A = {3y, 2z2, xy}, B = {x2, 0, −4}, 求div(A × B); rot(A + B); grad(A · B).
四 证明题(12分)
1. 证明 u(x, y) = y3 − 3x2y为调和函数,再求其共轭调和函数v(x, y),并写出f (z) = u + iv关于z的表达式.
n=0 (z−1)n+3
8. 设L [y] = Y (s), 方程两边取 Laplace 变换, 得 s2Y (s) − 2s − 8 − 2[sY (s) − 2] − 3Y (s) =
4 s−2
Y (s) =
4 (s+1)(s−2)(s−3)
+
2s+4 (s+1)(s−3)
y
=
L
−1[Y
(s)]
= 1 + 2z + · · · + nzn−1 + · · ·
f (z) =
1 z(1−z)2
=
+∞ n=1
nz
n−2.
在 1 < |z − 1| < +∞ 内 f (z) =
1 z(1−z)2
=
1
1
(z−1)3
1+
1 z−1
=
1 (z−1)3
= +∞ (−1)n
n=0 (z−1)n
. +∞ (−1)n
dz,
(1)当点0在C 内,
点1在C 外;(2)当点1在C 内,
点0在C 外;
(3)当点0,
1均在C 内;(4)当
点0, 1均在C外.
7. f (z)
=
1 z(1−z)2
分别在圆环域
0
<
|z|
<
1和1
<
|z
−
1|
<
+∞ 内展成洛朗级数.
8.利用 Laplace 变换求方程 y − 2y − 3y = 4e2t 满足条件 y(0) = 2, y (0) = 8 的解.
−16i.
6.
(1)
I
=
1 2πi
ez
C
(1−z)3
z
dz
=
| ez
(1−z)3 z=0
= 1.
(2)
I
=
−1 2πi
C
ez z
(z−1)3
dz
=
−1 2!
(
ez z
)
|z=1
=
−
e 2
.
(3)1 −
e 2
.
(4)0.
7.
在 0 < |z| < 1 内,
1 (z−1)2
=
(
1 1−z
)
= (1 + z + z2 + · · · + zn + · · · )
=
−2,
Res[
5z−2 z(z−1)2
,
1]
=
lim
z→1
d dz
5z−2 z
=
lim
z→1
2 z2
=
2.
5.
C
内 zk
=
±
1 2
,
±
3 2
,
±
5 2
,
±
7 2
均为一阶极点,
tan πz dz = 2πi
C
8 k=1
Res[tan
πz,
zk]
=
2πi
8 k=1
sin πz (cos πz)
|zk
=
另外，由 f (x) = f (x + i0) = u(x, 0) + iv(x, 0) = i(x3 + C), 得 f (z) = i(z3 + C). (为什么？解析函数的
惟一性定理)
2.
设 f (z)
=
, ϕ(z)
(z−z0)n
其中 ϕ(z) 在 z0
解析且 ϕ(z0)
=
0.
f
(z)
=
ϕ (z)(z−z0)−nϕ(z) (z −z0 )n+1
C
f (z) f (z)
dz
=
C
ϕ (z)(z−z0)−nϕ(z) (z−z0)ϕ(z)
dz
=
2πi lim
z→z0
ϕ
(z)(z−z0)−nϕ(z) ϕ(z)
=
−2nπi.
2
3.设 C 为从 z1 = 0 到 z2 = 2 + i 的直线段, 求
Im(z) dz.
C
4.计算留数
Res[
5z−2 z(z−1)2
,
0],
Res[
5z−2 z(z−1)2
,
1].
5.计算积分 tan πz dz , 其中 C 为正向圆周 |z| = 4.
C
6.计算积分
1 2πi
C
ez z(1−z)3