浅谈中学数学中的化归思想

浅谈中学数学中的化归思想

作者：中原中学刘继华

不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，

直到最后成功地找到某些有用的东西为止。

————波利亚化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。”路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。

—、化归方法的基本思想

1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容

易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法．

2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映

数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式．

化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映．

3、化归方法的作用

我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一．

例如 (1)代数中解一般方程(或不等式)的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归．

(2)基本运算中也凝结着化归的思想：减法向加法化归，除法向乘法化归；幂的运算化归为指数的相加或相减；对数运算把乘法或除

法运算化归为加法或减法运算．

(3)利用三角诱导公式可以化任意角的三角函数为锐角三角函数；化不同名(或角)的三角函数为同名(或角)的三角函数．

(4)处理立体几何问题可以采用把空间问题化归为平面问题，复杂的图形化归为简单的图形．

(5)解析几何在于把几何问题化归为代数问题来研究，而函数图象在于把代数问题化归为几何图形来讨论．

在中学数学教学中，这样的例子很多，只要教师具有化归的思想意识深入钻研教材，挖掘和提炼中学数学内容的转化矛盾思想，有意识地加强化归方法的教学，对于改革目前重知识轻方法、重结论轻思想的教学现状，对于培养造就“发现”、“创造”型人材都具有十分深远的意义．

二、化归方法的基本原则

数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单，化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单—”；化“高维”为“低维”等。

为了更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则．化归方法的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、和谐化原则。

1、熟悉化原则

熟悉化是把我们遇到的“生疏”的问题转化为我们比较“熟

悉”的问题，以便充分利用我们已知的知识和经验，使原问题得以解决．这里的“熟悉”，指的是已经能解决或具有既定解决问题的方法与程序．

例1：证明不等式：(x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2)2≤（x 12+y 12+z 12）(x 22+y 22+z 22) 【思路】本题直接证明比较麻烦，从不等式的形式上可以观察出（x 12+y 12+z 12）,(x 22+y 22+z 22)是空间两点分别到原点的距离的平方，(x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2)则具备了空间两向量内积的形式，这二者之间能否挂上钩呢？

【解】设向量a =｛x 1,y 1,z 1｝,b =｛x 2,y 2,z 2｝，a 与b 的夹角为α，又

a ·

b =

a ·

b ·cos α=2

1

2

1

21z y

x ++·222222z y x ++·cos α

∴(x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2)2

=（x 12+y 12+z 12）(x 22+y 22+z 22)·cos 2α≤（x 12+y 12+z 12）

(x 22+y 22+z 22)

这里采用构造两个空间向量把问题转化为向量的内积运算使问题顺利解决。学生如在平时的练习中多加注意的话，上述问题就在高二教

材配套的练习册P 28的第10题：原题为“若a ，b 是非零向量，a =x 1i+y 1j, b =x 2i+y 2j, a 与b 的夹角为θ。（1）求cos θ； （2）证明（x 1x 2+y 1y 2）

2

≤（x 12+y 12）(x 22+y 22)；（3）若a 与b 为空间向量，你能推出怎样的不

等式？”

例2、已知λ是非零常数，对x ∈R 成立f(x+λ)=

)

(1)

(1x f x f -+,问：f(x)是

否为周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，请说明理由。