线性卷积与圆周卷积演示程序的设计

实验一线性卷积与圆周卷积演示程序的设计

实验报告

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《数字信号处理课程设计》任务书

实验一 线性卷积与圆周卷积演示程序的设计

一、 实验目的

目的：① 熟练掌握MATLAB 工具软件在工程设计中的使用；

② 熟练掌握线性卷积与圆周卷积的关系及LSI 离散时间系统系统响应的求解方法。

要求：① 动态演示线性卷积的完整过程；

② 动态演示圆周卷积的完整过程； ③ 对比分析线性卷积与圆周卷积的结果。

步骤：① 可输入任意2待卷积序列x1(n)、x2(n)，长度不做限定。测试数据为：

x1(n)={1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0}，x2(n)={0,1,2,1,0,0,0,1,2,1,0,0}；

② 分别动态演示两序列进行线性卷积x1(n)﹡x2(n)和圆周卷积x1(n)⊙x2 (n)的

过程；要求分别动态演示翻转、移位、乘积、求和的过程；

③ 圆周卷积默认使用2序列中的最大长度，但卷积前可以指定卷积长度N 用以进行混叠分析；

④ 根据实验结果分析两类卷积的关系。

⑤ 假定时域序列x1(n)、x2(n)的长度不小于10000，序列内容自定义。利用

FFT 实现快速卷积，验证时域卷积定理，并与直接卷积进行效率对比。 二、实验原理

1、线性卷积：

线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为：

∑∞

-∞

==-=

m n h n x m n h m x n y )

(*)()()()(

或

∑+∞

-∞

==-=

m n x n h m n x m h n y )

(*)()()()(

上式称为离散卷积或线性卷积。

图1.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。

)(n δ→ L. T. I —→)(n h —→ —→

图1.1 线性时不变系统的输入、输出关系

2、圆周卷积

设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，均为N 点长

)(1n x )(1k X )(2n x )(2k X

如果

)

()()(213k X k X k X ⋅=

则)

()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑-=

[]

∑---=1

021)()(N m N m n x m x

)(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x

上式称为圆周卷积。

注：)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列；)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。

上机编程计算时，

)

(3n x 可表示如下：

∑∑-+==-++

-=1

1

2

1

213)

()()()()(N n m n

m m n N x

m x m n x m x n x

3、两个有限长序列的线性卷积

序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，)

(3n x 为这两个序列的线性卷积，

则

)

(3n x 为

∑+∞

-∞

=-=

m m n x

m x n x )

()()(2

1

3

)(n x 0

L. T. I

∑+∞

-∞

=-=m m n h m x n y )

()()(

D F T D F T

且线性卷积

)

(3n x 的最大长1-+P L ，也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时

)(3=n x 。

4、圆周卷积与线性卷积的关系

序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，若序列)(1n x 和)(2n x 进行N 点的圆周卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于圆周卷积的长度：

当1-+≥P L N 时圆周卷积等于线性卷积，即

)(1n x N )(*)()(212n x n x n x =

当1-+

⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+=∑+∞

-∞

=n

N n rN n x n x r N 其它010)

()(33

三、实验步骤

已知两个有限长序列

)4(5)3(4)2(3)1(2)()(-+-+-+-+=n n n n n n x δδδδδ )3(2)2()1(2)()(-+-+-+=n n n n N H δδδδ

1、实验前，预先笔算好这两个序列的线性卷积及下列几种情况的圆周卷积

)()1(n x ⑤)(n h )()2(n x ⑥)(n h )()3(n x ⑨)(n h )()4(n x ⑩)(n h

2、编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列)(n x 与

)(n h 的圆周卷积。

3、上机调试并打印或记录实验结果。

4、将实验结果与预先笔算的结果比较，验证其正确性。 五、实验报告

1、列出计算两种卷积的公式，列出实验程序清单（包括必要的程序说明）。