机械优化设计课件第三章-刘宇

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区间消去法原理
基本思想
搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间，从而找 到极小点的数值近似解 在搜索区间[a, b]内任取两点a1和b1，且a1 < b1 ，计算其函数值得如 下结论 （1）f(a1 )<f(b1)，由于函数为单谷，所以极小点必在区间[a, b1]内 （2） f(a1 )>f(b1)，同理，极小点必在区间[a1, b]内 （3） f(a1 )=f(b1)，极小点在区间 极小点在区间[a1, b1]内
（1）选定初始点a1，初始步长h=h0，计算y1=f(α1)和y2=f(α1+h) （2）比较y1和y2 （a）如果y1>y2，转（3）向前探测 （b）如果y1<y2，h=-h0，将α1和α2，y1和y2的值互换。转（3）向后探测 （c）如果y1=y2，极小点在 极小点在α1和α1+h之间 （3）产生新的探测点α3= α2+h，y3=f(α3)
相同点：两种方法都是利用区间消去法原理将初始搜索区间不断 缩短，求得极小值的数值近似解 不同点：表现在试验点（插入点）位置的确定方法不同 试探法：试验点是按照某种个特定的规律确定；不考虑函数值的 试探法 试验点是按照某种个特定的规律确定 不考虑函数值的 分布 插值法：试验点是按照函数值近似分布的极小点确定；利用了函 数值本身及其导数信息；效果更好
第三章 一维搜索方法
主讲人：刘宇
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本章内容
一、一维搜索的概念 维搜索的概念 二、搜索区间的确定与区间消去法原理 三 一维搜索的试探方法 三、 维搜索的试探方法—黄金分割法 四、一维搜索的插值方法
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一维搜索的概念
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搜索区间的确定
（4）比较函数值y2和y3 （a）如果y2>y3，加大步长h=2h， α1=α2 ， α2=α3 ，转（3）继续探测 （b）如果y2<y3，则初始区间得到： a=min[α1,α3]，b=max[α1,α3]，函数 最小值所在区间为[a,b]
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一维搜索的试探方法
黄金分割法，又称 黄金分割法 又称0.618法
前提：函数在区间[a, b]上是单谷函数 是建立在区间消去法原理基础上的试探方法 在搜索区间[a, b]内适当插入两点α1、α2将区间分成三段，应用函 数的单谷性质，通过函数大小的比较，删去其中一段，使搜索区 间得以缩短。然后在保留下来的区间上做同样的处理，如此迭代 下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解
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搜索区间的确定
说明：单谷区间内，函数可以有不可微点，也可以是不连 说 单 间内 数 有 微点 也 连
续函数
f (x)
f (x)
0
α
α1 α3
0
α1
α3
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搜索区间的确定
（2）外推法 基本思想：对f(x)任选一个初始点α1及初始步长h，通过比较 这两点函数值的大小 确定第三点位置 比较这三点的函数 这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数 值大小，确定是否为“高—低—高”形态 步骤：
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牛顿法（切线法）
对于一维搜索函数 对于 维搜索函数y=f(α)，假定已经给出极小点的一个较好 假定已经给出极小点的 个较好 的近似点α0，在α0点附近用一个二次函数φ(α)来逼近函数f(α) ，即在 即在α0点将f(α)进行泰勒展开并保留到二次项，有 进行泰勒展开并保留到二次项 有 1 2 f f 0 f 0 0 f 0 0 2 然后以二次函数φ(α)的极小点作为f(α)极小点的一个新近似点 α1 。根据极值必要条件 根据极值必要条件
ln 0 . 618
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黄金分割法
也可采用迭代次数是否大于或等于 k 作终止准则。 作终止准则
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黄金分割法
例 对函数f(α)= α2+2α，当给定搜索区间 当给定搜索区间-3≤α≤5时，试用黄金 时 试用黄金 分割法求极小点α*。
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搜索区间的确定
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搜索区间的确定
例1 用外推法确定函数f(x)=3x2 – 8x + 9的一维优化初始区间 的 维优化初始区间 ，给定初始点x1=0，初始进退距h0=0.1 解： k
0 1 2 3 4 h 01 0.1 0.2 04 0.4 0.8 1.6 x1 0 y1 9 x2 y2 x3 y3
一维搜索是优化搜索方 法的基础
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一维搜索的概念
求解 元函数φ(α)的极小点α*，可用解析法 求解一元函数 可用解析法
G d f x d f x d T f x 1 2 d
T 2 T f x d T f x 1 d Gd 2
0 1 8.23 0.1 8 23 0.2 7.52 0 4 6.28 0.4 6 28 0.8 4.52 1.6 3.88
02 7 0.2 7.52 52 0.4 6.28 08 4 0.8 4.52 52 1.6 3.88 3.2 14.12
0.1 8.23 0 2 7.52 0.2 7 52 0.4 6.28 0.8 4.52
0
f 0 1 0 f 0
f k k 1 k (k 0,1, 0 1 2 ) f k
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一维搜索的插值方法
在某一确定的区间内寻求函数的极小点位置，虽然没有函 在某 确定的 间内 求 数的极小点位 然 有
数表达式，但能够给出若干点处的函数值。可以根据这些 点处的函数值 利用插值方法建立函数的某种近似表达式 点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式 ，进而求出函数的极小点，并用它作为原来函数极小点的 最小值 最小值，这种方法称作插值方法，又叫函数逼近法 种方法称作插值方法 又叫函数 法 试探法（如黄金分割法）与插值法的比较
当方向dk给定 给定，求最佳步长 求最佳步长αk就是求 就是求一元函数 元函数
的极值问题 这 过程被称为 维搜索 的极值问题。这一过程被称为一维搜索
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一维搜索的概念
f (x (k+1) ) = min. f (x (k) + αs(k)) = f ( x (k ) + α (k ) s (k ) )
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黄金分割法
两内分点值
1 b b a b 0.618b a 2 a b a a 0.618b a
结论：所谓黄金分割是指将一线段分成两段的方法，使整
段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值 即1: 1 λ=λ:(1 (1 – λ)
可得初始搜索区间[a, b] ]=[0.8, [ , 3.2] ]
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搜索区间的确定
练习 用外推法确定函数f(x)=3x2 – 8x + 9的一维优化初始区间 练 的 维优化初始区间 ，给定初始点x1=1.8，初始进退距h0=0.1
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-1.832 -1.111 0.056 -0.306
-1.832 1 832 -1.111 1 111 -0.665 0 665 0.056 0 056 -0.987 0 987 -1.832 -1.386 -1.111 -0.665 -0.851 -1 386 -1.111 -1.386 -1 111 -0.940 -0 940 -0.665 -0 665
在实际优化设计中，数值解法的应用更为有效，且适合计 算机的运算特点 数值解法基本思路
先确定αk所在的搜索区间，然后根据区间消去法原理不断缩小此 所在的搜索区间 然后根据区间消去法原理不断缩小此 区间，从而获得αk的数值近似解 一维搜索一般分为两大步骤 （1）确定初始搜索区间[a，b]，该区间应是包括一维函数极小点在 内的单谷区间 （2）在单谷区间[a,b]内通过缩小区间寻找极小点 一维搜索也称直线搜索。这种方法不仅对于解决一维最优化本身 具有实际意义，而且也是解多维最优化问题的重要支柱
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一维搜索方法分类
根据插入点位置的确定方法，可以把一维搜索法分成两大 根据插 点位 的确定 法 把 维搜索法分 大
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类
试探法 试探法：即按照某种规律来确定区间内插入点的位置，如黄金分 即按照某种规律来确定区间内插入点的位置 如黄金分 割法，裴波纳契法等。裴波纳契数列：1、1、2、3、5、8、13、 21、34、55、89、144 插值法（函数逼近法）：通过构造插值函数来逼近原函数，用插 值函数的极小点作为区间的插入点，如二次插值法，三次插值法 等
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搜索区间的确定
确定搜索区间的外推法 （1）单谷（峰）区间 在给定区间内仅有一个谷值（或有唯一的极小点）的函数称 为单谷函数，其区间称为单谷区间 函数值：“大—小—大” 图形：“高—低—高” 单谷区间中 定能求得 个极小点 单谷区间中一定能求得一个极小点
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黄金分割法
黄金分割法搜索过程
（1）给出初始搜索区间[a, b]及收敛精度ε，将λ赋以0.618 （2）按坐标点计算公式计算α1和α2并计算其对应的函数值f(α1)和f(α2) （3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的坐标点计 算公式，进行区间名称的代换，并在保留区间中计算一个新的试 验点及其函数值 （4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件 不满足返回到步骤（2） （5）如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值 近似解 ln[ /( b a )] 缩短区间的总次数（迭代次数）: k
当采用数学规划法寻求多元函数的极值点时，一般要进行 当采 数学规划法 求多 数的极值点时 般 行 一系列如下格式的迭代计算
X k 1 X k k d k ( k 0,1, 0 1 2 )
f x k 1 f x k k d k k
表3-1 黄金分割法的搜索过程 迭代序 号 0 1 2 3 4 5 a -3 -3 -3 a1 0.056 a2 1.944 b 5 y1 0.115 比 较 < < > < > y2 7.667 0.115 -0.987 -0.888 0 888 -0.987
22
-1.111 0.056
1.944 -0.987
上式对 式对α进行微分并令其等于零 行微分并令其等于零
d T f x *d T Gd 0
从而求得
T d f x * T d Gd
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一维搜索的概念
解析解法对于函数关系复杂、求导困难等情况难以实现。 解析解法 数关系复杂 求 难等情 难 实
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黄金分割法
点的插入原则
（1）要求插入点α1和α2的位置相对于区间[a, b]两端点具有对称性
1 b (b a ) 2 a (b a )
（2）要求保留下来的区间内再插入一点所形成的新三段具有相同的 比例分布
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