数学期望

13.数学期望

【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第四章第§1数学期望

【教材分析】：本节是讨论描述随机变量的数字特征，数学期望是随机变量的很重要的一类数字特征，它较集中的反应了随机变量变化的一些平均特征，容易求的，有良好的性质，因此它在概率论与数理统计中有很重要的地位。

【学情分析】：

1、知识经验分析

上一章已经学习了随机变量的分布函数、概率密度、分布律，清楚地知道都能完整地描述随机变量。

2、学习能力分析

学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。

【教学目标】：

1、知识与技能目标

使学生掌握数学期望的概念、性质及实际问题中相应的数学期望。

2、过程与方法

根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，通过生活中常见的实际问题引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，期望的概念，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。

3、情感态度与价值观

学生通过期望的学习，可以更好的理解随机变量的取值特点。科学地分析、解释生活中的一些现象，养成严谨的科学态度。

【教学重点、难点】：

重点：数学期望的概念、数学期望的性质及应用。

难点：数学期望的性质。

【教学方法】：讲授法启发式教学法

【教学课时】：1个课时

【教学过程】：

一、问题引入

例1 分赌本问题(产生背景)

甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元。无平局，谁先赢3局，则获全部赌注。当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博。问如何分赌本? 解：1. 按已赌局数分：

则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙

所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4

若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为：

甲的“期望” 所得是：0⨯1/4 +100 ⨯ 3/4 = 75。 例2 射击问题

设某射击手在同样的条件下，瞄准靶子相继射击90次，(命中的环数是一个随机变量)。 射中次数记录如下

试问：该射手每次射击平均命中靶多少环? 解：平均射中环数=

射中靶的总环数射击次数 02113215310420530

90

⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=

5

021*********

012345909090909090

=3.37

k

k n k n ==⨯

+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⋅∑ 【设计意图】：问题生活化，此时就把学生对期望的认识定位在这个平均值上，使得

这个陌生的概念与平均值联系起来，并揭示了期望的实际含义。

二、离散型随机变量的数学期望

定义1 设离散随机变量X 的分布律为

(),1,2,......i i P X x p i ===

若级数1

i i i x p ∞=∑绝对收敛，则称该级数为X 的数学期望，记为1

()i i i E X x p ∞

==∑。

分赌本问题：A 期望所得的赌金即为X 的数学期望31

()100075().44

E X =⨯+⨯=元 射击问题：“平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望

012345

21315

102030

21315909090

10209090

3090

命中环数 k 命中次数 频率

k n k n n

012345()012345.

E Y p p p p p p =

⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

【设计意图】：()E X 是一个实数，而非变量，它是一种加权平均，与一般的平均值不同 ， 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值， 也称均值。 例1 设随机变量X 的分布律为

x -1 0 1 2 p 0.2

0.1

0.4

0.3

求()E X 。

解： =-10.2+00.1+10.4+20.3=0.8()E X ⨯⨯⨯⨯ 例2 如何确定投资决策方向?

某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资? 解：设 X 为投资利润，则

()80.320.71(),E X =⨯-⨯=万元存入银行的利息：1050.5(),%⨯=万元故应选择投资。

【设计意图】：通过这两个例子，数学期望简称为期望，数学期望又称为均值，数学期

望是一种加权平均。

三、连续型随机变量的数学期望

定义2 设连续随机变量X 的密度函数为()f x 若积分

()-xf x dx ∞

∞

⎰

绝对收敛，则称该积分为X 的数学期望，记为()()-=E X xf x dx ∞

∞

⎰

例3设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分计)服从指数分布，其概率密度为

1e ,0,

()5

0,0.

x x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩试求顾客等待服务的平均时间? 解：50

1

()()d e d 5().5

x E X x f x x x x +∞

+∞

--∞

=

=⋅=⎰

⎰

分钟 因此， 顾客平均等待5分钟就可得到服务。

【设计意图】：通过这个例子，使学生掌握连续型随机变量的期望的求法。

.四、思考与提问：

X p

8

-20.3

0.7