网格图形编辑的样条方法Spline-basedmeshediting-Universityof

网格图形编辑的样条方法吴金钟1 21,3，刘学慧 ，吴恩华11,2（中国科学院 软件研究所 计算机科学重点实验室，北京 100080） （澳门大学科技学院计算机与信息科学系，澳门）3（中国科学院研究生院，北京 100039）摘要： 样条曲线和曲面由于其优越的可控性和塑造性， 在工业建模和娱乐影视界等应用领域 得到广泛的应用。

但是样条在三角网格上的应用并没有被广泛关注， 如何在复杂三维网格上 借鉴样条的优势，以便更加方便快捷地进行编辑/变形，就成为了本文研究的重点。

本文提 出的基于样条的网格图形编辑方法， 首先在网格表面附近构建近似的样条曲面， 同时预计算 网格顶点在样条上的对应点 u 处局部构架下的坐标表示，并作为不变量在变形中进行保持。

编辑样条的位置和形状， 利用局部标架和细节坐标重建变形后的网格。

同时光滑和细分网格， 改善变形效果，实现复杂模型简单快捷的编辑/变形。

本文方法在保细节的条件下允许对网 格在多个尺度下编辑。

实验表明， 融合了样条的三角网格方法较传统的样条编辑方法在保细 节的同时避免了产生过多的控制点，并大大简化了操作，使得编辑更加自由和快捷。

Spline-based mesh editingWU Jin-zhong13， Liu Xue-hui1， WU En-hua12(1State Key Lab。

of computer science， Institute of Software， Chinese Academy of Sciences， 100080，Beijing)(2Department of Computer and Information Science， University of Macau， Macao) (3 Graduate University of Chinese Academy of Sciences， 100039， Beijing) E-mail: wjz@， lxh@， ehwu@umac.moAbstract： Because of its accurate controlable property and perfect modeling power, spline plays an important rule in CAD and entertainment community. However,, little attention has been paid so far to the study of spline application on meshes. By the combination of spline and meshes together, this paper studies the spline-based editing on triangular meshes. By the approach, first a spline surface is spreaded near the mesh surface, and the coordinates of each mesh vertex by the local frame of its correspondening spline samples are pre-computed. According to the deformation of spline surface, local frames of spline samples is reconstructed, so does the deformed mesh. In comparison with the traditional spline modeling methods, mesh-based spline editing tools can preserve details and possess fewer control points. It makes the modeling work easier..一．介绍：近年来，虚拟现实和计算机图形学飞速发展，基于三维图形的应用层出不穷。

同时 3D 图形获取设备的不断发展，产生了更多基于实物的三维图形。

如在文物保护方面， 重建的 文物模型的精细程度已经达到了毫米级； 在虚拟人应用中， 对每一个毛细血管都可以进行标 识。

庞大的模型不仅占用了巨大的存储空间，给模型的编辑/变形/造型等应用也提出了严峻 挑战。

三维模型编辑/变形/造型方面的研究工作很多，包含了模型的简化、重网格、参数化、 编辑、变形、融合等各个方面，提出了针对不同模型规模的处理方法。

本文研究重点放在精 细模型的编辑变形方面， 针对样条造型以及三角网格各自的特点， 提出了基于样条的局部标 架下的模型细节表示方法以及网格图形编辑方法。

在三维图形编辑和造型中，由于样条函数的局部控制性好，造型性强，可以达到满意的光滑程度， 一致受到工业界和娱乐影视界等应用领域的青睐。

其最大特点就是优越的可控性 和塑造性。

然而，对于细节丰富的图形，需要很多控制点进行造型和编辑，编辑起来过于繁 琐；相反，较少控制点令曲面细节不够丰富，达不到应用要求。

另一方面，三角网格模型可 以通过 3D 获取设备方便得到，然而在编辑/变形方面却不如样条方法自由、直观，方法一般 都较复杂，求解耗时。

样条方法计算量少、操作反馈实时的优点是三角网格变形方法不可比 拟的。

如何能融合样条方法的编辑的优点到网格模型编辑中，取长避短，就成为本文研究的 重点。

本文提出的基于样条的网格图形编辑方法，把样条方法引入到三角网格变形中，保留 了样条优越的可控性和造型性，同时避免了产生过多的控制点。

首先我们在待编辑的三角网格表面附近构建近似的样条曲面。

由于只需要样条曲面与原 模型在一定尺度上近似， 样条的控制点数目可以远少于模型的顶点数。

同时对样条曲面在参 数空间 u=(u,w)上均匀采样，使得采样点的数目与编辑区域中的顶点数目相当。

预处理时将 模型的顶点与样条曲面上的距离最近的采样点对应起来， 并使得在模型上邻近的点， 其对应 点在样条上也是邻近的。

然后利用样条的参数化表示，构建样条采样点的局部标架，并计算 对应顶点在局部标架内的细节表示。

在变形过程中， 移动控制点的位置编辑样条曲面的位置 和形状，并根据采样点的局部标架坐标重建变形后的网格模型。

试验表明，即使在较粗糙的 样条曲面下， 原模型细节也可以在变形中得到较好的保持。

本文方法很好的融合了传统的样 条编辑和造型方法的优点， 在较少的控制点时也可很好的保持网格的细节。

同时变形可以在 不同尺度下进行，避免了传统样条方法只能在单尺度下操作的不足。

二．相关工作：结合本文的研究，本节重点分析基于几何的三维网格编辑、变形的近期发展，并介绍样 条造型的最新进展。

针对三角网格，目前编辑和变形方法主要有下面几种： 1． 基于内嵌网格的编辑和变形技术：对于上百万或上亿顶点的图形模型，直接编辑模型顶 点将是非常痛苦的事情。

一般方法都必须从原点集中抽象出少数的控制点或面片（这些 控制点可以在模型上，也可以不在模型上） ，并使控制点与模型区域对应。

在指定的变 形方案下，编辑少量的控制点，使得模型上的区域做相应的变形。

控制网格的产生可以 采取模型简化[19]等手段得到。

编辑控制网格后，根据相应的规则重建变形后的模型， [18]就采用了控制网格的三维平均值坐标的方法。

模型上任一点对于控制网格的平均值 坐标被预计算出来。

编辑时，移动控制顶点的空间位置并根据三维平均值坐标重建模型 顶点的空间坐标。

平均值坐标方法要求控制网格是空间封闭的，并且原模型镶嵌在控制 网格内部。

缺点是不能局部编辑，移动任一控制点都会改变所有顶点的位置。

2． 基于 handle 的编辑和变形技术：在自由造型中，这种方法较方法 1 可以很好的进行局部 操作， 所有的编辑和变形将被限制在以 handle 为中心的作用区域 ROI （region of interest） 内。

在 ROI 内的选择一个顶点或面片作为 handle。

编辑时移动并改变 handle 的空间位置 和旋转片面的朝向，使得在 ROI 中的顶点和面片的坐标和朝向等比例的进行变化。

ROI 可以同时存在多个 handle[16-17]。

同时 ROI 的边界达到指定的光滑条件，避免了褶皱的 出现。

这种方法虽然可以对模型进行自由编辑，但编辑和变形能力不够强大，操作起来 不够方便，特别是旋转时，更难进行模型的造型。

3． 多分辨率模型编辑和变形技术：这方面和模型的多分辨率表示结合紧密。

基本思想是在 多分辨率的不同层次上进行编辑，并使得操作结果可以传播到最精细层次上的顶点和面 片。

模型的多分辨率表示可以采用边折叠[19]或层次 chart 等多种方法。

每一次操作的结 果都存储在最精细分辨率层次的顶点上。

在对粗糙层次进行编辑时，可以保持精细层次 上的模型细节，达到较好的多层次编辑效果。

多分辨率可以对静态表面[12][13][14]或动态表面[11][15]都可以进行编辑。

但这种方法与多分辨率层次的构建关联密切。

同时不方 便在原模型上构造出新的细节，在层次的边界容易出现褶皱等。

4． 细节保持的基于微分属性的变形技术： 基于 Laplacian 或 Poisson 方程的变形技术与模型 的微分性质密切相关。

模型顶点的 x，y，z 坐标值被看作定义在模型表面的标量函数， 计算其对于参数空间的梯度并在变形中保持不变，最大程度的保持了模型原有的细节。

这类变形技术一般都可化简为求解矩阵 Ax=b 的问题，一般方法是采用共轭梯度法或矩 阵分解方法。

[7][10][5]在这方面做了系列深入的研究，并在[5]中首先提出了把问题的求 解投影到简化模型上进行的思路，大大提高了运算效率。

不仅在三维网格变形方面，基 于微分的技术在图像编辑方面的应用也表现了其优势[6]，[8][9]在这方面也做出了突出 的研究工作。

在样条造型方面，近年来又有了新的进展，层次 B 样条曲面和 T-Spline 的提出，允许了 样条的多分辨率编辑和 T 形样条节点的存在，在局部细化编辑时不需要引入过多的控制点， 都更加使得样条在造型上更加方便和快捷。

感兴趣的读者可以参见[1][2][3][4]做深入的了 解。

样条在三角网格模型的变形中已经有所应用，包括体 T-spline[21]和体 B-spline[22]。

[20] 在三维网格曲面的变形中引入层次 B 样条的保细节的方法，采用了参数化和样条拟合的方 法实现顶点对应。

虽然也采用了局部构架的方法重建模型，但提供了编辑 B 样条和操纵网 格模型顶点两种方法。