一道课本例题结论求证方法与拓展

一道课本例题结论的求证方法探究与拓展

一、引题

普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）北京师范大学出版社p72页例7结论：

一般地，设a、b为正实数，且a0，则 > .

倘若该结论得出之后就弃之不管，无异于“入宝山而空返”，笔者认为，合理地对教材实施“二次开发”，充分挖掘蕴涵在题目中的数学思想方法，将最大限度地发挥该题的教学功能，这也体现了“用教材教”，而不是去“教教材”的新课程理念。

下面是笔者在一节高三复习课中对该进行适当的分析及改编，通过研究性教学，以求达到拓展“双基”、迁移能力的目的。

二、分析及改编

分析1：由于待证式中的字母均为正数，容易看出，它等价于更简单的下述问题：

问题1：已知a、b，m∈r+，且a（b+m）a

分析2：待证式还等价于 - >0，因此它相当于更开放的下述问题：问题2：已知00，比较与的大小.

分析3：由待证式 > 的两边取倒数，则有，若设两个点a（b，a）及m（m，m），则am的中点坐标为n（，），则原问题就转化为证明斜率kon>koa，因此原问题可变换为下述问题

问题4：已知a、b，m∈r+且0求证：kon>koa

它的证明揭示了原问题中不等式的几何本质。

由于点m（m，m）在直线y=x上，又b>a>0，故点a（b，a）在直线om的下方，从而am的中点n落在直线oa的上方，所以必有kon>koa.

分析5：若把待证式看成 > ，更一般化地看成 > ，其中x2>x1≥0，则原问题的较强命题就是下述问题：

问题5：证明函数f（x）= ，0x1≥0的情况下，验算

f（x2）-f（x1）= - =- >0即可.

三、应用及拓展

我们再来看上述问题的几个应用与推广。

应用与推广问题1：已知：a、b、c、d、e、f、g均为正数，求证：

+ >

分析1：若用通分化简计算就较繁杂，但若运用本题结论视c+d 为m，则原式左边> + > + = >原式右边

应用与推广问题2：已知：a1，a2，b1，b2∈r+，且②

①?坩 0a1b2②?坩 > ?坩 0a1b2上述命题不难进一步推广到一般情形，即：

应用与推广问题3：已知：ai，bi∈r+，（i=1，2，…n）且四、教学后记

说句实在话，本文选取的这道课本试题并不难，这堂课的容量也不大，不过我们数学教学的目的既不是要通过解决所谓的难题向学生展示多么高超的解题技巧，也不是要通过课堂的大容量向学生灌

输一些缺乏思维含量的机械、呆板的学科知识，而是试图通过变更问题形式适当推广及拓展，让学生拓宽解题思路，优化数学思维，进而大幅提升他们的数学素养。

参考资料：

［1］普通高中课程标准实验教科书［m］.数学（必修5）.北京师范大学出版社，2010（5）.

［2］江西省普通高中新课程学科教学指导意见（数学）.

（作者单位江西省瑞金第一中学）

“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以pdf格式阅读”