切线的性质与判定

证明OF=OE.
切线的性质与判定
切线的性质与判定
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，
O 是BC 中点．
∴AO 平分∠BAC，
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
A
E
F
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝B
切线的性质与判定
切线的性质与判定
练习1 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，⊙O 与 AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：根据切线的判定定理， 要证明AC是⊙O的切线，只要
A
E
F
证明由点O向AC所作的垂线段
OF是⊙O的半径就可以了，而 B
O
C
OE是⊙O的半径，因此只需要
的距离是＿⊙＿O的＿半＿径＿.
O
直线L是⊙O的 切＿线＿＿ .
lL
A
切线的性质与判定
切线的性质与判定
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这
条半径的直线是圆的切线。
几何符号表达： ∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
O r
l A
切线的性质与判定
切线的性质与判定
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（× ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
一条直线是否为切线
呢？学完这节课,你
①转动雨伞时飞出的雨滴,
就都会明白.
②用砂轮磨刀时擦出的火花,
都是沿着什么方向飞出的? 都是沿切线方向飞出的.
切线的性质与判定
知识点一 切线的判定定理 在⊙O中，经过半径OA的外端
点A作直线L⊥OA,则圆心O到直线L的距 离是多少？直线L和⊙O有什么位置关系？
答：圆心O到直线L
O
C
OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
切线的性质与判定
切线的性质与判定
小结
例1与例2的证法有何不同?
O
D
B
A
O
A
C
B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半 径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直 线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直, 证半径。
归 求证：⊙O与AC相切. 纳 无交点,作垂直,证半径。
精 讲
B
D
A
O
精
E
练
C
24.2 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的性质与判定
学习目标
1.判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点）
课前回顾
直线与圆的位置 关系
公共点的个数
圆心到直线的距离d 与半径r的关系 公共点的名称
∴AB⊥OC.
A CB
∵OC是⊙O的半径, ∴AB是⊙O的切线.
切线的性质与判定
切线的性质与判定
例2 如图，⊙O的半径为r，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那
么半径OA与直线l有什么位置关系呢？说明原因？
解：OA⊥l ,理由如下： 假设OA与直线l不垂直，过点O作OM⊥l于点M, 因为直线l与⊙O相切，所以圆心O到直线l的距离OM 等于⊙O的半径，点M在⊙O 上。这样直线l与⊙O 有 两个公共点A、M。这与“直线与⊙O相切”相矛盾 ，所以l与OA垂直.
dr l
3.判定定理：经过半径的外端并且垂
O
直于这条半径的直线是圆的切线。
A
l
切线的性质与判定
切线的性质与判定
【例1】如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB，
求证：直线AB是⊙O的切线. 有交点，连半径，证垂直；
证明：连接OC.
∵OA=OB,CA=CB,
O
∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
直线名称
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r0 d
相切 1 d=r
切点 切线
r0 d
相交 2 d<r
割线
r0 d
相离 0
d>r
判定直线与圆的相切位置关系的方法有__两__种： (1)根据定义,由直线与圆的公共点只有一个来判断； (2)根据性质,d=r来判断。
判定直线与圆的相切还有什么方法？
情境导入(2分钟)
生活中常看到切
线的实例,如何判断
切线的性质与判定
练一练
1.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B， 若∠ABN=30°，则∠AOB= 60° .
2.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于
点C，∠DAC=30°， 若⊙O的半径长1cm，则CD= 3 cm.
当堂训练(4分钟)
探 3.已知：O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为 究 半径作⊙O.
o AM l
切线的性质与判定
切线的性质与判定
切线的性质定理
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的性质： 1.圆的切线与圆只有一个公共点。 2.切线与圆心的距离等于半径(d=r)。 3.圆的切线垂直于过切点的半径。 辅助线作法： 作过切点的半径（连半径，得垂直）
o
A
l
推导格式 ：
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA.
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
切线的性质与判定
切线的性质与判定
要点归纳
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共
点时，我们说这条直线是圆的切线;
l
2.数量关系法：圆心到这条直线的 距离等于半径(即d=r)时，直线与 圆相切；