第三章 水动力学基础7-8

ρu1dtdA1 • u1
对断面A1积分有 M11' A1 ρ u1 u1dtdA1 ρdt A1 u1 u1dA1
同理
M 22' A2 ρ u2 u2dtdA2 ρdt A2 u2 u2dA2
采用断面平均流速v代替u，有
M11 dt A1u1u1dA1 dt1v1Q1
M 22 dt A2 u2u2dA2 dt 2v2Q2
第三章 水动力学基础
本章学习基本要求：
➢了解描述流体运动的两种方法； ➢理解流动类型和流束与总流等相关概念； ➢掌握总流连续性方程、能量方程和动量方程及其应用； ➢理解量纲分析法。
第三章 水动力学基础
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 液体运动的基本概念 3.3 恒定总流的连续性方程 3.4 恒定元流的能量方程 3.5 恒定总流的能量方程 3.6 能量方程的应用 3.7 恒定总流的动量方程
应用动量方程时要注意以下各点：
1．建立坐标系：动量方程式是向量式，因此，必须首先选 定投影轴，标明正方向，其选择以计算方便为宜。
FR
z
FP1
2
2
x
FG
y
2．取脱离控制体：控制体一般取整个总流的边界作为F控P2 制 体边界，横向边界一般都是取过水断面。
3．动量方程式的左（右）端，必须是输出的动量减去输入的 动量，不可颠倒。 或（下游断面的动量）-（上游断面的动量）
作V2用 于u2总dt流dA流2 段上V1所 有u1dtdA1
A2外力的矢量和 A1
下2游V2断d面t 流U出2d的A2动量与1V1上d游t 断U1d A1
面流入的动量之差
2 dtQ2V2 1dtQ1V1 dtQ(2V2 1V1)
代入动量定律，整理得：
F Q(2V2 1V1)
F z
恒定总流动量方程建 立了流出与流进控制体 的动量流量之差与控制 体内流体所受外力之间 的关系，避开了这段流 动内部的细节。对于有 些水力学问题，能量损 失事先难以确定，用动 量方程来进行分析常常 是方便的。
水排
水排简介
东汉初（公元31年）杜诗制造的 “水排”，利用溪水流作原动力， 转动鼓风机械供冶炼和铸造铁器农具。这种水平装置的转轮，利 用水流动量原理，是近代水轮机的先驱。水排主体包括装在同 一主轴上的两个水平木轮，将装有叶板的下轮放在河中，水流 冲击叶板即使下轮转动，上轮也同时转动，再带动旁边的绳轮 和连杆、平轴等传动机械，使鼓风的皮囊一开一合地连续运动， 即可把空气送到炼铁炉内。这种利用水流作用力推动轮叶的作 法，是完全和现代水力学的理论相符的，用于冶金、筛面、舂 米、磨面、纺纱和提水扬水工具。
u udA u2dA
其中 β A
A
vvA
v2 A
动能修正系数是表示单位时间内通过断面的实际动量 与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。
常采用 1.0 ，因为 Q1 Q2 Q
故有：ΔM ρQdt(β2 v2 β1 v1 )
于是得恒定总流的动量方程为：
ρQ(β2 v2 β1 v1 ) F
即为实际液体恒定总流的动量方程式
Fx Q(2V2x 1V1x ) 动量方程的投影表达式： Fy Q(2V2y 1V1y )
Fz Q(2V2z 1V1z )
适用条件：不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或 渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。
如图所示的一分叉管路，动量
ρQ1
1
方程式应为：
1
v1
2
v2
ρQ2
v3
F Q22V2 Q33V3 Q11V1 3
2
3
ρQ3
一维化的恒定总流动量方程
( 2v2v2 A2 1v1 v1A1 ) F 或 Q( 2v2 1v1 ) F
F 上游水流作用于断
面A1上的动水压力P1，下 游水流作用于断面A2上的 动水压力P2，重力G和总 流侧壁边界对这段水流的
总作用力R’。其中只有重 力是质量力，其它都是表
面力。
*************
R’ P1 v1
P2 v2
A2
G
水流对侧
壁的作用力
R 是 R’ 的
反作用力
恒定总流动量方程是矢 量方程，实际使用时一般 都要写成分量形式
Q( 2v2x 1v1x )
F x
Q( 2v2y 1v1y )
F y
Q( 2v2z 1v1z )
总流的动量方程是一个矢量方程式。为了计算方便，在直角 坐标系中的投影为：
ρQ(β2ν2x β1ν1x ) ρQ(β2ν2 y β1ν1y )
Fx Fy
ρQ(β2ν2z β1ν1z )
Fz
实际液体恒定总流的动量方程式
依动量定律：
F
M t
1′ t+△t时刻2
2′
1 t时刻
即：单位时间内，物体动量
应用动量方程时要注意以下各点：
FR
z
FP1
2
2
x y
FG
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FP2
4．正确分析受力，未知力设定方向：对欲求的未知力，可以
暂时假定一个方向，若求得的该力的计算值为正，表明原假定
方向正确，若所求得的值为负，表明与原假定方向相反。
５．设β１≈1，β２≈1。
6．动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时， 必须借助于和其他方程式（如连续性方程、能量方程）联合求 解。
的增量等于物体所受的合外力
u1
u2
dA2
2
2′
△t时段内，动量的增量：
dA1
1
M M M
M 1 2
M 1 2
22
11
1′ dm u1dtdA1 dM u1 dm u1 u1dtdA1
在均匀流或渐变流过水断面上
u2 u2dtdA2 u1 u1dtdA1
A2
A1
单位时间内，u 通V 过所研究流段
段1-2移至新的位置1′-2′。 3.流段内动量的变化ΔM 应 等于1′-2′与1-2流段内液体 的动量 M1′-2′和 M1-2之差。
有 ΔM M12 M12
而 M12 M11 M12
M12 M12 M 22
故有 ΔM M 22 M11
任取一微小流束MN，微小流束1-1′流段内液体的动量
3.8 量纲分析与 定 理
3.7 恒定总流的动量方程
质点系运动的动量定律：质点系的动 量在某一方向的变化，等于作用于该质点 系上所有外力的冲量在同一方向上投影的 代数和。
3.7.1 恒定总流动量方程
1.在恒定总流中，取出某 一流段来研究。该流段两 端过水断面为1-1及2-2。
2.经微小时段 dt后，设原流