优化解析几何运算一些方法论文

优化解析几何运算的一些方法
摘要：高中学生在学习解析几何知识，在解决相关的问题时感到很困难。

困难的主要原因，在知识体系中，就横向而言，解析几何本身所包含的定义、性质、解题方法繁多复杂，就纵向而言，它又和其它知识（如向量、不等式、二次函数等）之间联系很紧密，除此之外，解析几何是用代数的方法研究图像的问题，集中应用数形结合、方程思想，无论知识内容还是解题的方法，对学生而言都是很困难的。

学生普遍遇到有些解析几何题会做，但用时很多，特别是在考试中，在有限的时间，不敢做。

这是同学们很困惑的一件事，针对解析几何题目运算量大的问题，我想从以下一些试题的解法中，谈一些个人的看法。

关键词：题型、性质、方法
中图分类号：g633.63 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）10-051-05
直线和圆锥线相交的问题
平时我们经常会遇到直线和圆锥线相交的问题。

在解决这类问题时，一般是联立直线和圆锥曲线组成方程组，消x或y得到一个关于x或者y的一元二次方程组，形成两根之和，两根之积，δ＞0，再把题中告知的有关条件，转化成两根之和，两根之积的关系(一般地,由δ＞0确定范围或解决是否存在问题)，来解题。

例1：在直角坐标系中，点p到两点，的距离之和等于4，
设点p的轨迹为，直线与c交于a，b两点．（ⅰ）写出c的方程；
（ⅱ）若，求k的值；
解：（ⅰ）设p（x，y），由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线c的方程为．（ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，故．
若，即．而
于是，化简得，所以．
还有一种是不能转化为两根之和，两根之积的关系，这时要根据题目的条件找到与之间的含参关系，代入两根之积两根之和，消、得到一个关于参数的方程或不等关系解决。

例 2:已知椭圆方程为，过定点的直线交椭圆于不同两点、（点在、之间），且满足，求的取值范围.
解：当直线斜率存在时，设直线的方程为
代入椭圆方程得
由得①
设，，则，②
又，，即③
将③代入②得，
消去得
整理得
由①得
解得
又
又当直线斜率不存在时，方程为
，，
的取值范围是
应该说大多数直线与圆锥曲线相关的问题都可以解决，能掌握到这个程度，同学们的解析几何能力已经很不错了。

但有些题在后续的解决过程中，显得很繁琐。

下面我讲一些方法在解决某类问题时作用很突出。

一、设点做差法
例3：如果椭圆的弦被点平分，求这条弦所在直线方程
通法：设此直线为，这里要对斜率不存在先考虑，下一步自然
会想到：消整理得……..一个关于的一元二次方程
由题意知：可以解得，求出此直线方程为：
另解：设弦的两个端点为
①②
①—②得：整理得：
所以直线方程为：
此题解法还可以改进一些，设弦的一个端点坐标为，另一个端点坐标为
则有：①②
①—②并整理得：
从此题的解法可以看出，设计到直线与圆锥曲线相关的中点弦斜率问题都可以用设点做差的方法。

推广：①圆②椭圆③双曲线④抛物线
圆①
②
①②
椭圆
①②
①②
双曲线
①②
①②
抛物线
①②
①②
二、回归定义
例4：如图，已知椭圆的左右焦点分别是，q是椭圆外的动点，满足 ,点p是线段与该椭圆的交点，点t在线段上，并且满足 , ,求点t的轨迹方程
解：
又
t是的中点
t的轨迹方程为从此题可以看出两次用到定义，第一次用椭圆的第一定义，第二次用圆的定义，在高考中选择或填空题用到定义的例子很多，如：
例5：设椭圆的两个焦点分别为 ,过
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若为
等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）
a b
c d
解：
则
例6：方程表示的曲线是（）
a．椭圆 b．双曲线 c．抛物线 d．圆
例7：已知的顶点b、c在椭圆上，
顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在
bc边上，则的周长是（）
a b 6 cd12
例8：设椭圆上一点p到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足 ,则
解：
又m是的中点
三、用性质解题
1、焦点三角形的性质解题
①定义
②性质
结论结论
焦点三角形的例子
例9：已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（）
a． b．c． d．
解：
∴，
2、顶点三角形的性质
①定义：椭圆（或双曲线）上的一点和长轴（或实轴）两顶点组成的三角形叫做顶点三角形
②定理1：若和的斜率分别为，，是离心率，则
例10 ：、是双曲线的左右顶点，是双曲线上且异于、外的任意一点，和的斜率分别为和，求的取值范围.
解：由双曲线的范围知，故由基本不等式得（1）
因为等轴双曲线的离心率，由定理1得
结合（1）知，∴的取值范围是
③定理2：若或的斜率为，则
（1）对于椭圆，
（2）对于双曲线：，
例11：设是椭圆的左顶点，、是椭圆上的两点，若是以顶点为直角的等腰三角形，求的面积 .
解：由题意及对称性知，又知，
将它们代入定理2得
∴
其他圆锥曲线常用性质：
㈠、圆：
（1）、①过圆上一点的切线方程为：
②过圆上一点的切线方程：
（2）、已知点在圆的外部，过p作圆的切线，切点分别为a,b，
则切线长
（3）、过两圆与的交点的直线（公共弦）的方程为：
㈡、椭圆：
（1）、椭圆的一般式方程：
（2）、椭圆的面积公式
（3）、椭圆上一点到焦点的距离的最大值为，最小值为
㈢、双曲线
（1）、双曲线的一般式方程：
（2）、①双曲线与双曲线共渐近线为：
②渐近线为的双曲线的方程可以写成
（3）、是双曲线上任意一点，分别为左、右焦点，焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为
（4）、当时，双曲线与双曲线共焦点；
㈣、抛物线
（1）、抛物线的定义：到直线外一定点的距离等于到该直线的距离的点的轨迹；
【特别注意】定义中，定点f不在定直线上是一个重要的隐含条件，否则动点的轨迹不是抛物线。

（2）、①，特别地，当时， ,即通径长为 ;抛物线的焦点弦长中，通径最短！
②与轴不垂直也不平行时，设弦所在直线的斜率为，则方程
为，联立消去，得：，或消去，得：，有：
，（不定）
，（不定）
③若焦点弦被焦点分成长度分别为的两部分，则（定值）
④以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切；以抛物线焦半径 (或 )为直径的圆与轴相切。

㈤、圆锥曲线的一类最值问题：利用圆锥曲线的定义求最值
点为圆锥曲线内一定点，为圆锥曲线上一动点，为焦点，为离心率：
①求的最小值；（方法：利用第二定义）
②求的最大最小值；（方法：利用第一定义得 ,其中为另一个焦点。

）
【注】涉及焦半径的最值问题往往利用焦半径公式或第二义。

四、数形结合
例12：已知双曲线，直线交双曲线于a、b两点，设的面积为s（o为原点），则函数的奇偶性为
a、奇函数
b、偶函数
c、既不是奇函数也不是偶函数
d、奇偶性与有关
五、整体代换
例13：在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的
面积为
a、2
b、1
c、
d、
例14 ：已知双曲线的左、右顶点分别为、，点，是双曲线上不同的两个动点，求直线与交点的轨迹的方程.
解析：由、为双曲线的左右顶点知，，，则由“点斜式”可得直线与的方程为
，
两式相乘得
因为点在双曲线上
所以即故
当时，直线与重合，这与“，是双曲线上不同的两个动点”矛盾，故直线与交点的轨迹的方程为
以上内容是我在对高三学生复习时用到的案例，从学生学习效果来看比较好，又不当之处，敬请指正。

参考资料
[1] 李治国.也谈点差法的改进.[m].例1的思考,2010.7
[6] 方志平.抛物线过焦点弦的两个性[j].中学数学研
究,2010.5.。