两角和与差的余弦公式经典习题课
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思路分析：可先求 cos(α－β)的值，再求角 α－β.
解：∵α、β 均为锐角，
且 sinα＝ 55，cosβ＝ 1100，∴cosα＝25 5，sinβ＝31010.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝2 5
5×
1100＋
55×3 1010＝
2 2.
又∵0<α<π2，0<β<π2.∴－π2<α－β<π2.
＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)
＝45×(－153)＋(－35)×1123＝－5665.
答案：－5665
感悟提升
1．公式的理解 (1)该公式是用 α，β 的正、余弦值之间的关系来表示其 差角的余弦值．公式右端的两部分为同名三角函数的积的和， 左端为两角差的余弦．
答案：cosβ
5．设 α∈(0，π2)，若 sinα＝35，求 2cos(α－π4)的值．
解：∵α∈(0，2π)，sinα＝35，∴cosα＝45， ∴ 2cos(α－π4) ＝ 2(cosαcosπ4＋sinαsin4π)＝cosα＋sinα＝35＋45＝75.
利用差角余弦公式直接求值 【例 1】 求－sin167°sin223°＋sin257°sin313°的值．
两角和与差的余弦公式精讲精练
目标简述
目标要求 1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程，进一步体会向量方法的作用． 2．能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换(包括 化简、求值、证明等)，尤其要注意公式的灵活运用，如逆用、 角度变换等． 3．三角恒等变换是高考必考内容，而两角差的余弦公 式是最基本的公式之一，在考题中一定会涉及，各类题型均 会出现.
B．2cos(π3－α) D．2cos(π6－α)
解析：原式＝2(12cosα＋ 23sinα)＝2(cosαcos3π＋sinαsin3π) ＝2cos(α－π3)＝2cos(π3－α)，∴应选 B.
答案：B
6．已知 cos(θ＋π6)＝153，0<θ<π3，则 cosθ 等于( )
5 3＋12 A. 26
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∴β＝π3.
两角差的余弦公式的综合应用
【例 4】 设 cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，其中 α∈(π2，
π)，β∈(0，2π)，求
α＋β cos 2 .
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①条件中的角与待求结论中的角存在关系(α－β2)－(α2－ β)＝α＋2 β；
规律归纳
三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、 函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是 最基本的变换．常见的有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α ＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．
4 已知 α、β∈(34π，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝ 1123，则 cos(α＋4π)＝________.
12－5 3 5＋12 3
●想一想：用向量法证明公式 Cα－β 的过程中角 α，β 的 终边与单位圆分别相交于点 A、B，向量O→A、O→B的坐标是如 何得到的？
提示：由于向量O→A的起点为原点，所以向量O→A的坐标 就是点 A 的坐标，又因为点 A 在角 α 的终边上且|OA|＝1，由
任意角正弦、余弦函数的定义知 sinα＝y1A，cosα＝x1A，因此 xA＝cosα，yA＝sinα，即有O→A＝(cosα，sinα)，同理可求向量O→B 的坐标．
②由 α、β 的范围可确定 α－β2，α2－β 的范围，从而求出
sin(α－β2)、cos(α2－β)．
解答本题可先用同角三角函数关系求 sin(α－2β)，cos(α2－
β)．然后利用两角差的余弦公式求
α＋β cos 2 .
解：∵α∈(2π，π)，β∈(0，π2)，
∴α－β2∈(π4，π)，α2－β∈(－π4，π2)，
解：由
cosα＝17，0<α<π2，得
sinα＝4
7
3 .
由 0<β<α<π2，得 0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1134，
∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－11342＝3143. 由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
1 A.2
3 B. 2
3 C. 4
D．1
解 析 ： 将 已 知 两 等 式 平 方 并 相 加 得 2 － 2sinαsinβ －
2cosαcosβ＝1－
3＋43＋41，即
cos(α－β)＝
3 2.
答案：B
5．cosα＋ 3sinα 化简的结果可以是( )
A.12cos(π6－α) C.21cos(π3－α)
自我测评
1．cos345°的值等于( )
2－ 6 A. 4
6－ 2 B. 4
2＋ 6 C. 4
D．－
2＋ 4
6
解析：cos345°＝cos(－15°＋360°)＝cos(－15°)＝cos15°
＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝
22×
23＋
2 2
×12＝
解析：51＝cosαcosβ－sinαsinβ，① 53＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，② ①×3－②，得 0＝2cosαcosβ－4sinαsinβ，∴csoinsααcsionsββ＝21.
答案：21
由三角函数值求角问题 【例 3】 已知 α、β 均为锐角，且 sinα＝ 55，cosβ＝ 1100， 求 α－β 的值．
2在应用差角的余弦公式求值时，逆用公式是十分常见 的，要注意培养这种能力.
规律归纳 求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路 是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求 值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
1 求下列三角函数的值： (1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°.
思路分析：将两式平方相加，再利用两角差的余弦公 式．
解：由 sinα＋sinβ＝35，两边平方，得 sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝295.①
由 cosα＋cosβ＝45，两边平方，得 cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝1265.② ①＋②，得 2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1. ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－12.
知识要点
1．在平面直角坐标系中作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 α、β， 它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B，则O→A＝(cosα，sinα)， O→B＝(cosβ，sinβ)；O→A·O→B＝O→AO→B
cos(α－β)＝cos(α－β)．
2．cos(α－β)பைடு நூலகம்cosαcosβ＋sinαsinβ.
解：原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋ 77°)sin(360°－47°)
＝sin13°sin43°＋sin77°sin47° ＝sin13°sin43°＋cos13°cos43° ＝cos(13°－43°) ＝cos(－30°)
＝
3 2.
温馨提示： 1对于角度大的式子的化简问题，应先根据诱导公式将 角度化小一般是化成锐角.
思路分析：考查三角函数求值以及角的变换． 利用 α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)来求值．
解析：∵α、β∈(34π，π)，∴(α＋β)∈(32π，2π)．
∴cos(α＋β)＝ 1－sin2α＋β＝45.
又(β－π4)∈(π2，34π)，∴cos(β－π4)＝－153.
∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]
∴sin(α－β2)＝
1－cos2α－β2＝
1－811＝4
5 9.
cos(α2－β)＝
1－sin2α2－β＝
1－94＝
5 3.
∴cosα＋2 β＝cos[(α－2β)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19× 35＋495×23＝7275.
解析：原式＝cos20°cos(－40°)＋sin20°sin(－40°) ＝cos[20°－(－40°)]＝cos60°＝12.
答案：21
4．cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 等于________．
解析：cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝cos(α＋β－α)＝ cosβ.
6＋ 4
2 .
答案：C
2．cos60°cos15°＋sin60°sin15°等于( ) A．cos30° B．sin60° C．cos45° D．cos60° 解析：原式＝cos(60°－15°)＝cos45°. 答案：C
3．cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.
解：原式＝cos80°·cos35°＋sin80°·sin35°＝cos(80°－35°)
＝cos45°＝
2 2.
(2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)．
附条件的求值问题 【例 2】 已知 sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝54，求 cos(α －β)的值．
(2)公式中的角 α，β 为任意角．
2．角的代换 (1)将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式， 像这样的代换方法就是角的代换．如 α＝(α＋β)－β，α＝β－(β －α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋2 β＝(α－β2)－(α2－β)等．
(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，在三角变换中， 角的变换是基本变换，必须引起足够重视．在解题中要善于 抓住角的联系，即用已知角表示所求角，使问题容易解决．
能力提升
基础达标
一、选择题
1．cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为( )
A．0
1 B.2
3 C. 2
D．－12
解 析 ： 原 式 ＝ cos75°cos15°－ sin75°sin(180°＋ 15°) ＝ cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.
又∵sinα<sinβ，∴α<β，即 α－β<0.∴－π2<α－β<0.
∴α－β＝－π4.
规律归纳
解这类问题一般分三步：第一步：求角的某一三角函数 值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写 出所求角．
3 已知 cosα＝17，cos(α－β)＝1134，且 0<β<α<π2.求 β.
答案：B
2．已知 cosα＝153，α∈(32π，2π)，则 cos(α－4π)的值等于
()
52 A. 26
B．－2132
C．－7262
32 D. 13
解析：∵cosα＝153，α∈(32π，2π)，
∴sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－1532＝－1123.
∴
cos(α
－
π 4
)
＝
cosαcos
π 4
＋
sinαsin
π 4
＝
5 13
×
2 2
＋
(
－
1123)× 22＝－7262.
答案：C
3．若 sinα·sinβ＝1，则 cos(α－β)的值为( ) A．0 B．1 C．±1 D．－1 解析：由 sinα·sinβ＝1，则 cosα＝cosβ＝0 可得。 答案：B
4．若 sinα－sinβ＝1－ 23，cosα－cosβ＝12，则 cos(α－β) 的值为( )
热点提示 1.两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他一系 列公式都可以通过诱导公式、同角关系或变形得到，因此应 理解该公式的证明过程，要记住这一公式． 2．进行三角函数式的求值，要特别注意角的范围的讨论， 以决定函数值的符号． 3．本节主要应用了角度的变换技巧，如 β＝(α＋β)－α 等． 4．要注意灵活运用公式，对公式进行变形.
温馨提示：整体思考，“凑”出组合式，使解题过程简明.
规律归纳
解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪 些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角 函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．
其次需掌握常见的角的变换技巧：拆角、拼角等，将未 知角用已知角表示出来．
2 若 cosαcosβ－sinαsinβ＝15，cos(α－β)＝35，则 tanα·tanβ ＝________.
解：∵α、β 均为锐角，
且 sinα＝ 55，cosβ＝ 1100，∴cosα＝25 5，sinβ＝31010.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝2 5
5×
1100＋
55×3 1010＝
2 2.
又∵0<α<π2，0<β<π2.∴－π2<α－β<π2.
＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)
＝45×(－153)＋(－35)×1123＝－5665.
答案：－5665
感悟提升
1．公式的理解 (1)该公式是用 α，β 的正、余弦值之间的关系来表示其 差角的余弦值．公式右端的两部分为同名三角函数的积的和， 左端为两角差的余弦．
答案：cosβ
5．设 α∈(0，π2)，若 sinα＝35，求 2cos(α－π4)的值．
解：∵α∈(0，2π)，sinα＝35，∴cosα＝45， ∴ 2cos(α－π4) ＝ 2(cosαcosπ4＋sinαsin4π)＝cosα＋sinα＝35＋45＝75.
利用差角余弦公式直接求值 【例 1】 求－sin167°sin223°＋sin257°sin313°的值．
两角和与差的余弦公式精讲精练
目标简述
目标要求 1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程，进一步体会向量方法的作用． 2．能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换(包括 化简、求值、证明等)，尤其要注意公式的灵活运用，如逆用、 角度变换等． 3．三角恒等变换是高考必考内容，而两角差的余弦公 式是最基本的公式之一，在考题中一定会涉及，各类题型均 会出现.
B．2cos(π3－α) D．2cos(π6－α)
解析：原式＝2(12cosα＋ 23sinα)＝2(cosαcos3π＋sinαsin3π) ＝2cos(α－π3)＝2cos(π3－α)，∴应选 B.
答案：B
6．已知 cos(θ＋π6)＝153，0<θ<π3，则 cosθ 等于( )
5 3＋12 A. 26
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∴β＝π3.
两角差的余弦公式的综合应用
【例 4】 设 cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，其中 α∈(π2，
π)，β∈(0，2π)，求
α＋β cos 2 .
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①条件中的角与待求结论中的角存在关系(α－β2)－(α2－ β)＝α＋2 β；
规律归纳
三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、 函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是 最基本的变换．常见的有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α ＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．
4 已知 α、β∈(34π，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝ 1123，则 cos(α＋4π)＝________.
12－5 3 5＋12 3
●想一想：用向量法证明公式 Cα－β 的过程中角 α，β 的 终边与单位圆分别相交于点 A、B，向量O→A、O→B的坐标是如 何得到的？
提示：由于向量O→A的起点为原点，所以向量O→A的坐标 就是点 A 的坐标，又因为点 A 在角 α 的终边上且|OA|＝1，由
任意角正弦、余弦函数的定义知 sinα＝y1A，cosα＝x1A，因此 xA＝cosα，yA＝sinα，即有O→A＝(cosα，sinα)，同理可求向量O→B 的坐标．
②由 α、β 的范围可确定 α－β2，α2－β 的范围，从而求出
sin(α－β2)、cos(α2－β)．
解答本题可先用同角三角函数关系求 sin(α－2β)，cos(α2－
β)．然后利用两角差的余弦公式求
α＋β cos 2 .
解：∵α∈(2π，π)，β∈(0，π2)，
∴α－β2∈(π4，π)，α2－β∈(－π4，π2)，
解：由
cosα＝17，0<α<π2，得
sinα＝4
7
3 .
由 0<β<α<π2，得 0<α－β<π2. 又∵cos(α－β)＝1134，
∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝ 1－11342＝3143. 由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
1 A.2
3 B. 2
3 C. 4
D．1
解 析 ： 将 已 知 两 等 式 平 方 并 相 加 得 2 － 2sinαsinβ －
2cosαcosβ＝1－
3＋43＋41，即
cos(α－β)＝
3 2.
答案：B
5．cosα＋ 3sinα 化简的结果可以是( )
A.12cos(π6－α) C.21cos(π3－α)
自我测评
1．cos345°的值等于( )
2－ 6 A. 4
6－ 2 B. 4
2＋ 6 C. 4
D．－
2＋ 4
6
解析：cos345°＝cos(－15°＋360°)＝cos(－15°)＝cos15°
＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝
22×
23＋
2 2
×12＝
解析：51＝cosαcosβ－sinαsinβ，① 53＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，② ①×3－②，得 0＝2cosαcosβ－4sinαsinβ，∴csoinsααcsionsββ＝21.
答案：21
由三角函数值求角问题 【例 3】 已知 α、β 均为锐角，且 sinα＝ 55，cosβ＝ 1100， 求 α－β 的值．
2在应用差角的余弦公式求值时，逆用公式是十分常见 的，要注意培养这种能力.
规律归纳 求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路 是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求 值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余 弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
1 求下列三角函数的值： (1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°.
思路分析：将两式平方相加，再利用两角差的余弦公 式．
解：由 sinα＋sinβ＝35，两边平方，得 sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝295.①
由 cosα＋cosβ＝45，两边平方，得 cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝1265.② ①＋②，得 2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1. ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－12.
知识要点
1．在平面直角坐标系中作单位圆 O，以 Ox 为始边作角 α、β， 它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B，则O→A＝(cosα，sinα)， O→B＝(cosβ，sinβ)；O→A·O→B＝O→AO→B
cos(α－β)＝cos(α－β)．
2．cos(α－β)பைடு நூலகம்cosαcosβ＋sinαsinβ.
解：原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋ 77°)sin(360°－47°)
＝sin13°sin43°＋sin77°sin47° ＝sin13°sin43°＋cos13°cos43° ＝cos(13°－43°) ＝cos(－30°)
＝
3 2.
温馨提示： 1对于角度大的式子的化简问题，应先根据诱导公式将 角度化小一般是化成锐角.
思路分析：考查三角函数求值以及角的变换． 利用 α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)来求值．
解析：∵α、β∈(34π，π)，∴(α＋β)∈(32π，2π)．
∴cos(α＋β)＝ 1－sin2α＋β＝45.
又(β－π4)∈(π2，34π)，∴cos(β－π4)＝－153.
∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]
∴sin(α－β2)＝
1－cos2α－β2＝
1－811＝4
5 9.
cos(α2－β)＝
1－sin2α2－β＝
1－94＝
5 3.
∴cosα＋2 β＝cos[(α－2β)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19× 35＋495×23＝7275.
解析：原式＝cos20°cos(－40°)＋sin20°sin(－40°) ＝cos[20°－(－40°)]＝cos60°＝12.
答案：21
4．cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 等于________．
解析：cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝cos(α＋β－α)＝ cosβ.
6＋ 4
2 .
答案：C
2．cos60°cos15°＋sin60°sin15°等于( ) A．cos30° B．sin60° C．cos45° D．cos60° 解析：原式＝cos(60°－15°)＝cos45°. 答案：C
3．cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.
解：原式＝cos80°·cos35°＋sin80°·sin35°＝cos(80°－35°)
＝cos45°＝
2 2.
(2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)．
附条件的求值问题 【例 2】 已知 sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝54，求 cos(α －β)的值．
(2)公式中的角 α，β 为任意角．
2．角的代换 (1)将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式， 像这样的代换方法就是角的代换．如 α＝(α＋β)－β，α＝β－(β －α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋2 β＝(α－β2)－(α2－β)等．
(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，在三角变换中， 角的变换是基本变换，必须引起足够重视．在解题中要善于 抓住角的联系，即用已知角表示所求角，使问题容易解决．
能力提升
基础达标
一、选择题
1．cos75°cos15°－sin75°sin195°的值为( )
A．0
1 B.2
3 C. 2
D．－12
解 析 ： 原 式 ＝ cos75°cos15°－ sin75°sin(180°＋ 15°) ＝ cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.
又∵sinα<sinβ，∴α<β，即 α－β<0.∴－π2<α－β<0.
∴α－β＝－π4.
规律归纳
解这类问题一般分三步：第一步：求角的某一三角函数 值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写 出所求角．
3 已知 cosα＝17，cos(α－β)＝1134，且 0<β<α<π2.求 β.
答案：B
2．已知 cosα＝153，α∈(32π，2π)，则 cos(α－4π)的值等于
()
52 A. 26
B．－2132
C．－7262
32 D. 13
解析：∵cosα＝153，α∈(32π，2π)，
∴sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－1532＝－1123.
∴
cos(α
－
π 4
)
＝
cosαcos
π 4
＋
sinαsin
π 4
＝
5 13
×
2 2
＋
(
－
1123)× 22＝－7262.
答案：C
3．若 sinα·sinβ＝1，则 cos(α－β)的值为( ) A．0 B．1 C．±1 D．－1 解析：由 sinα·sinβ＝1，则 cosα＝cosβ＝0 可得。 答案：B
4．若 sinα－sinβ＝1－ 23，cosα－cosβ＝12，则 cos(α－β) 的值为( )
热点提示 1.两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他一系 列公式都可以通过诱导公式、同角关系或变形得到，因此应 理解该公式的证明过程，要记住这一公式． 2．进行三角函数式的求值，要特别注意角的范围的讨论， 以决定函数值的符号． 3．本节主要应用了角度的变换技巧，如 β＝(α＋β)－α 等． 4．要注意灵活运用公式，对公式进行变形.
温馨提示：整体思考，“凑”出组合式，使解题过程简明.
规律归纳
解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪 些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角 函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．
其次需掌握常见的角的变换技巧：拆角、拼角等，将未 知角用已知角表示出来．
2 若 cosαcosβ－sinαsinβ＝15，cos(α－β)＝35，则 tanα·tanβ ＝________.