系统数学模型的两种模式
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8.1 状态空间法的基本概念 经典控制理论 单输入单输出系统 外部特性 线性定常 现代控制理论：状态空间方法 单变量、多变量，外部特性和内部结构特性 线性定常、线性时变系统、非线性系统
1
状态与状态变量 状态：时间域中运动信息的集合 状态变量：描述系统时域行为的独立、数目最少的变量
N阶微分方程、状态变量数N、独立储能元件的个数
• 周五 5、6节 测控0501后半个班 • 周五 7、8节 测控0502后半个班
11
1 系统工作原理建立 例8-2-1
4）
x1
1 C
idt
Ri,
x2
1 C
idt
x2
1 C
i
u2
1 C
x1 x2 R
1 RC
x1
1 RC
x2
y u2(t) x2
12
x1
0 0
8 x1 15
14
x2
8
u
x3 0 1 7 x3 1
x1
y 0
0
1
x2
x3
5
d
结构图 u(t)
x·(t)
b+
∫
x(t) C
y(t)
+
A
6
2.多变量系统状态方程一般形式：（MIMO）
x Ax Bu
y Cx Du
1，状态方程具有相同形式。 2，状态变量个数由系统阶数决定，
但状态变量不唯一。
u1
u
u2
u
p
y1
0 1 0 an2
0
0
0
0
x u
1
0
a1nn 1n1
y [bn,bn1b2,b1]1n x
16
（2）第二种实现： 可观测规范型(SISO系统）
•
x• 1 x2
•
0 1
1 RC
x2
R L
u1 (t )
13
2. 实现： 给定一个系统的传递函数，求系统的状态方程
可实现的条件：传递函数为真有理函数（n≥m)
传递函数的实现不是唯一的。
例：
G(
s
)
Y( U(
s s
) )
S3
S2 8S 15 7S2 14S
8
SISO系统
（1）第一种实现：引入中间变量V(s)，使
y Cx du
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
an1
an2
ann nn
n×n方阵:内部状态
关系的系数矩阵
b b1
b2
bT n n1
n×1列向量：输入对状态作用
cT c1 c2 cn 1n 1×n行向量:输出与状态关系
x•1 = x2 x•2 = x3 x•3 = x4=-8x1-14x2-7x3+u
•
x• 1 x2
0 0
1 0
0 x1 0
1
x2
0
u
x•3 8 14 7 x3 1
x1
y 15
8
1
x2
x3
15
可控规范（标准）型 (SISO系统)
G(s)
Y (s) U (s)
b0sn b1sn1 bn1s bn sn a1sn1 an1s an
0
.
0
x
0
an
1 0 0 an1
x
R L
1
0
1 LC
x1 x2
0L1u1
y 0
1 x1
C
x2
10
第十三周实验安排
• 周二 7、8节 测控0501前半个班 • 周四 5、6节 测控0502前半个班
• 周四 7、8节 测控0503前半个班 • 周五 1、2节 测控0503后半个班
状态变量选取不是唯一的、不一定是可测的量
状态向量
x1(t)
x(t)
x2 (t)
x1 (t )
x2 (t)
xn (t)T
xn (t)
2
状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n维空间。 状态方程：输入量和状态变量间的一阶微分方程组。 输出方程：输出变量与状态变量间函数关系的代数方程 状态空间表达式：输出方程与状态方程的组合
9
1 系统工作原理建立 例8-2-1 x2 x1
3） x1 i, x2 idt
1
1
y u2(t) C idt C x2
x1
i
1 L
u2 (t)
R L
i(t)
1 L
u1 (t )
1 L
1 C
idt
R L
i(t)
1 L
u1 (t )
1
R1
LC x2 L x1 L u1(t)
x2
Ri
x2
R
[
1 L
u2 (t)
R L
i(t)
1 L
u1(t)]
x2
R L
1 C
idt
R2 L
i(t)
R L
u1(t)
x2
R L
x2
R2 L
x1
x2 R
R L u1(t)
x2
R L
x1
R L
u1(t)
(1 RC
R L
) x1
(t )
3
1.单变量单输入单输出系统：(SISO)
.
x Ax bu 传递函数——输入输出模式
y Cx du 状态方程——状态变量模式
u，y为标量。d 输入量与输出量的直接传递系数
x1
x
x2
x1
x2
xn T
xn
n×1列向量
4
.
x Ax bu
G(
s
)
Y V
( (
s s
) )
V U
( (
s s
) )
令
V( U(
s s
) )
s3
1 7s2 14s
8
..
.
得 v 7 v14v 8v u
Y ( s ) s2 8s 15
.. .
v 8v15v y
V(s)
14
设 x1= v x2= v• x3= •v•
Pห้องสมุดไป่ตู้输入向量
y
y2
Q维输出向量
yn
7
b11 b12 b1p
B
b21
b22
b2
p
bn1
bn2
bnp n p
输入矩阵
8
8.2 线性定常系统状态空间表达式的建立
1 系统工作原理建立 例8-2-1 2 微分方程和传递函数建立
1
状态与状态变量 状态：时间域中运动信息的集合 状态变量：描述系统时域行为的独立、数目最少的变量
N阶微分方程、状态变量数N、独立储能元件的个数
• 周五 5、6节 测控0501后半个班 • 周五 7、8节 测控0502后半个班
11
1 系统工作原理建立 例8-2-1
4）
x1
1 C
idt
Ri,
x2
1 C
idt
x2
1 C
i
u2
1 C
x1 x2 R
1 RC
x1
1 RC
x2
y u2(t) x2
12
x1
0 0
8 x1 15
14
x2
8
u
x3 0 1 7 x3 1
x1
y 0
0
1
x2
x3
5
d
结构图 u(t)
x·(t)
b+
∫
x(t) C
y(t)
+
A
6
2.多变量系统状态方程一般形式：（MIMO）
x Ax Bu
y Cx Du
1，状态方程具有相同形式。 2，状态变量个数由系统阶数决定，
但状态变量不唯一。
u1
u
u2
u
p
y1
0 1 0 an2
0
0
0
0
x u
1
0
a1nn 1n1
y [bn,bn1b2,b1]1n x
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（2）第二种实现： 可观测规范型(SISO系统）
•
x• 1 x2
•
0 1
1 RC
x2
R L
u1 (t )
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2. 实现： 给定一个系统的传递函数，求系统的状态方程
可实现的条件：传递函数为真有理函数（n≥m)
传递函数的实现不是唯一的。
例：
G(
s
)
Y( U(
s s
) )
S3
S2 8S 15 7S2 14S
8
SISO系统
（1）第一种实现：引入中间变量V(s)，使
y Cx du
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
an1
an2
ann nn
n×n方阵:内部状态
关系的系数矩阵
b b1
b2
bT n n1
n×1列向量：输入对状态作用
cT c1 c2 cn 1n 1×n行向量:输出与状态关系
x•1 = x2 x•2 = x3 x•3 = x4=-8x1-14x2-7x3+u
•
x• 1 x2
0 0
1 0
0 x1 0
1
x2
0
u
x•3 8 14 7 x3 1
x1
y 15
8
1
x2
x3
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可控规范（标准）型 (SISO系统)
G(s)
Y (s) U (s)
b0sn b1sn1 bn1s bn sn a1sn1 an1s an
0
.
0
x
0
an
1 0 0 an1
x
R L
1
0
1 LC
x1 x2
0L1u1
y 0
1 x1
C
x2
10
第十三周实验安排
• 周二 7、8节 测控0501前半个班 • 周四 5、6节 测控0502前半个班
• 周四 7、8节 测控0503前半个班 • 周五 1、2节 测控0503后半个班
状态变量选取不是唯一的、不一定是可测的量
状态向量
x1(t)
x(t)
x2 (t)
x1 (t )
x2 (t)
xn (t)T
xn (t)
2
状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n维空间。 状态方程：输入量和状态变量间的一阶微分方程组。 输出方程：输出变量与状态变量间函数关系的代数方程 状态空间表达式：输出方程与状态方程的组合
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1 系统工作原理建立 例8-2-1 x2 x1
3） x1 i, x2 idt
1
1
y u2(t) C idt C x2
x1
i
1 L
u2 (t)
R L
i(t)
1 L
u1 (t )
1 L
1 C
idt
R L
i(t)
1 L
u1 (t )
1
R1
LC x2 L x1 L u1(t)
x2
Ri
x2
R
[
1 L
u2 (t)
R L
i(t)
1 L
u1(t)]
x2
R L
1 C
idt
R2 L
i(t)
R L
u1(t)
x2
R L
x2
R2 L
x1
x2 R
R L u1(t)
x2
R L
x1
R L
u1(t)
(1 RC
R L
) x1
(t )
3
1.单变量单输入单输出系统：(SISO)
.
x Ax bu 传递函数——输入输出模式
y Cx du 状态方程——状态变量模式
u，y为标量。d 输入量与输出量的直接传递系数
x1
x
x2
x1
x2
xn T
xn
n×1列向量
4
.
x Ax bu
G(
s
)
Y V
( (
s s
) )
V U
( (
s s
) )
令
V( U(
s s
) )
s3
1 7s2 14s
8
..
.
得 v 7 v14v 8v u
Y ( s ) s2 8s 15
.. .
v 8v15v y
V(s)
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设 x1= v x2= v• x3= •v•
Pห้องสมุดไป่ตู้输入向量
y
y2
Q维输出向量
yn
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b11 b12 b1p
B
b21
b22
b2
p
bn1
bn2
bnp n p
输入矩阵
8
8.2 线性定常系统状态空间表达式的建立
1 系统工作原理建立 例8-2-1 2 微分方程和传递函数建立