9股票价格与几何布朗运动

X ~ N(100,14.22 )
故
X −100 130 −100 P{X > 130} = P{ > } 14.2 14.2
X −100 = P{ > 2.113} 14.2
= 1−Φ(2.113) = 0.017
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3σ原则 原则
为正态随机变量X~N (µ, σ2)，则 例 设X为正态随机变量 为正态随机变量 ，
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布朗运动
1900年，法国数学家Bachelier也独立地介绍了布朗 年 法国数学家 也独立地介绍了布朗 运动， 运动，他在自己的博士论文中用此来建立股票和商品价 格运动的模型。 格运动的模型。 布朗运动：价格集合S(y)：0≤y≤+∞，若对任意非负的实 布朗运动：价格集合 ： ， 独立于时刻y及此前的所有 数y，t，随机变量 ， ，随机变量S(y+t)-S(y)独立于时刻 及此前的所有 独立于时刻 价格，并且它是一个均值为 ，方差为tσ 价格，并且它是一个均值为µt，方差为 2的正态随机变 量，则称价格集合为漂移参数为µ ，方差参数为σ2的布朗 则称价格集合为漂移参数为 方差参数为 运动。 运动。
S(2) S(2) S(1) P > 1= P > 1 S(0) S(1) S(0)
S(2) S(1) = P ln + ln > 0 S(0) S(1)
−0.0330 = P Z > 0.0730 2
σ2
2
E(Y ) = e
µ+
Var(Y) = e
2µ+2σ 2
−e
2µ+σ 2
=e
2µ+σ 2
(e −1)
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σ2
对数正态随机变量
例 给定初始时间，设S(n)为某证券在 周后的价格(n>0)， 给定初始时间， 为某证券在n周后的价格 ， 为某证券在 周后的价格 一个模拟这些价格变化的常用模型是假设价格比率 S(n)/S(n-1)是独立同分布的对数正态随机变量，设参数 是独立同分布的对数正态随机变量， 是独立同分布的对数正态随机变量 µ=0.0165，σ=0.0730，求以下事件的概率： ， ，求以下事件的概率： （1）此后两星期证券价格连续上升； ）此后两星期证券价格连续上升； （2）两周后的证券价格高于今天的价格。 ）两周后的证券价格高于今天的价格。
大量独立同分布的随机变量之和所构成的随机变量近似 于一个正态随机变量。 于一个正态随机变量。 为独立同分布的随机变量， 设X1，X2，…为独立同分布的随机变量，它们的均值皆 为独立同分布的随机变量 为µ，方差为 2，记 Sn = ∑i=1 Xi 。 ，方差为σ
n
中心极限定理 对足够大的n，Sn近似于均值为n µ ，方差 对足够大的 ， 近似于均值为 的正态随机变量， 为nσ的正态随机变量，即对任意 ，我们有 的正态随机变量 即对任意x，
X = ∑i=1 Xi
n
则X服从参数为 ，p的二项分布，且 服从参数为n， 的二项分布， 服从参数为 的二项分布
E[ X ] = np, var( X ) = np(1− p)
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中心极限定理
例：掷一均匀硬币100次，求出现正面的次数小于 的 掷一均匀硬币 次 求出现正面的次数小于40的 概率。 概率。 为出现正面的次数， 服从参数n=100，p=1/2 解：设X为出现正面的次数，则X服从参数 为出现正面的次数 服从参数 ， 的二项分布。且np=50，np(1-p)=25，故： 的二项分布。 ， ，
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几何布朗运动
用布朗运动建立的股票或商品价格运动的模型存在一些 缺陷，比如： 缺陷，比如： 1、既然股票价格是一个正态随机变量，那它在理论上就 、既然股票价格是一个正态随机变量， 可以取负值，但这与实际是不符的。 可以取负值，但这与实际是不符的。 2、在布朗运动的模型里，假定无论初始价格为何值，固 、在布朗运动的模型里，假定无论初始价格为何值， 定时间长度的价格差具有相同的正态分布。 定时间长度的价格差具有相同的正态分布。这个假设不 太合理，比如一支股票从 跌到$15的概率一般不会与 太合理，比如一支股票从$20跌到 的概率一般不会与 跌到 另一支股票在相同时间内从$10跌到 的概率相同。 跌到$5的概率相同 另一支股票在相同时间内从 跌到 的概率相同。
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对数正态随机变量
为标准正态随机变量， 解 （1）设Z为标准正态随机变量，求第一周证券价格 ） 为标准正态随机变量 上升的概率即求
S(1) S(1) P > 1 = P ln > 0 S(0) S(0)
正态概率密度函数是关于x 对称的钟形曲线 对称的钟形曲线， 正态概率密度函数是关于 =µ对称的钟形曲线，参数决定 了曲线的陡峭与舒缓程度。 了曲线的陡峭与舒缓程度。 E(X)=µ Var(X)=σ2
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正态随机变量
标准正态随机变量： 标准正态随机变量： µ=0， σ2=1。 ， 。 设为Z一标准正态随机变量，定义在实数域上的函数 设为 一标准正态随机变量，定义在实数域上的函数Φ(x) 一标准正态随机变量 称为标准正态分布函数， 称为标准正态分布函数，即
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正态随机变量
正态随机变量X的密度函数 由两个参数 由两个参数µ和 决定 决定， 正态随机变量 的密度函数f(x)由两个参数 和σ决定，密 的密度函数 度函数的具体形式为： 度函数的具体形式为：
1 f (x) = e 2πσ
− ( x−µ )2 2σ 2
,
−∞< x < ∞
X ~ N(100,14.22 / 4)
故
X −100 130 −100 P{X >130} = P > 14.2 14.2 4 4
≈ P{Z > 4.23}
= 1−Φ(4.23) ≈ 0.0002
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中心极限定理
几何布朗运动

南开大学数学科学学院 白晓棠
Contents
1 2
正态随机变量
对数正态随机变量
3 4
布朗运动
几何布朗运动
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正态随机变量
连续性随机变量X都对应一个函数 连续性随机变量 都对应一个函数f(x)，称为 的概率密度 都对应一个函数 ，称为X的概率密度 函数，它按下面的方式决定与 有关的概率 有关的概率： 函数，它按下面的方式决定与X有关的概率：对任意实数 a<b，曲线f(x)下方 轴上方位于区间 ，曲线 下方x轴上方位于区间 下方 轴上方位于区间[a,b]的部分的面积等 的部分的面积等 于X取值于 之间的概率。即： 取值于a,b之间的概率。 取值于 之间的概率 P(a≤X≤ b) =a与b之间 与 之间 之间f(x)与x轴所围成 与 轴所围成 的面积 即右图中阴影区域面积
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正态随机变量
例：条件与上例题同，现问从六年级学生中随机抽取4人， 条件与上例题同，现问从六年级学生中随机抽取 人 他们的平均IQ分数高于 的概率是多少？ 他们的平均 分数高于130的概率是多少？ 分数高于 的概率是多少 表示随机抽取四人的平均IQ分数 分数， 解：设 X 表示随机抽取四人的平均 分数，于是
= P{Z > −0.31965}
= P{Z < 0.31965} ≈ 0.6354
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布朗运动
1827年英国植物学家罗伯特 布朗（Robert Brown） 年英国植物学家罗伯特•布朗 年英国植物学家罗伯特 布朗（ ） 首次提出布朗运动来描述散布在液体或气体中微粒的不 规则运动。 规则运动。 1905年阿尔伯特 爱因斯坦（Albert Einstein）首次 年阿尔伯特•爱因斯坦 年阿尔伯特 爱因斯坦（ ） 给出了这种运动的解释。 给出了这种运动的解释。 1918年美国数学家诺伯特 维纳（Norbert Wiener） 年美国数学家诺伯特•维纳 年美国数学家诺伯特 维纳（ ） 发表一系列文章， 发表一系列文章，给出了布朗运动简练的数学定义以及 对它的某些数学性质的说明。 对它的某些数学性质的说明。
−0.0165 = P Z > 0.0730
= P{Z > −0.226}
= P{Z < 0.226} ≈ 0.5894
连续两周价格上升的概率为(0.5894) 连续两周价格上升的概率为(0.5894)2=0.3474.
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对数正态随机变量
（2）求两周后证券价格高于今天的价格，即求 ）求两周后证券价格高于今天的价格，
P(| X − µ |≤ aσ ) = P(|
故
P(| X − µ |≤ σ ) = P(|
P(| X − µ |≤ 2σ ) = P(|
X −µ
σ
|≤ a)
X −µ
X −µ
σ
|≤ 1) = 0.6826
P(| X − µ |≤ 3σ ) = P(|
σ X −µ
|≤ 2) = 0.9544
σ
|≤ 3) = 0.9974
X − 50 40 − 50 P{X < 40} = P{ < } 25 25
X − 50 = P{ < −2} 25
≈ Φ(−2) = 0.0228
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对数正态随机变量
是一个随机变量， 服从均值为µ，方差为σ 设Y是一个随机变量，若ln(Y)服从均值为 ，方差为 2的 是一个随机变量 服从均值为 正态分布，则称 为以 为以µ和 为参数的对数正态随机变量 为参数的对数正态随机变量。 正态分布，则称Y为以 和σ为参数的对数正态随机变量。 即如果Y为对数正态的， 即如果 为对数正态的，则它可以表示为 为对数正态的 Y=eX ，其中 其中X~N (µ, σ2) 可以证明