高一数学必修一函数周期性和奇偶性经典题型

函数的奇偶性与周期性 提高精讲

1. 函数f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数又是偶函数

2.奇偶函数常用结论

3.周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时， 都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．

4.周期函数常见结论：

(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a. (3)若f(x+a)=()

x f 1 (a>0),则函数的周期为2a.

(4)若f (x ＋a )＝－()

x f 1，则函数的周期为2a.

5.对称函数（引申知识点）

如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2

a b

x +=对称. 【考法一 奇偶性与不等式】

1. 若函数f (x )＝

2x ＋1

2x

－a

是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C (0,1) D ．(1，＋∞)

【考法二 求解析式】

1. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )

A ．e x －e －x B.1

2(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D 1

2(e x －e －x )

2. 若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.

3. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．

4. 设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )

A ．{x |x <－2或x >4}

B {x |x <0或x >4}

C ．{x |x <0或x >6}

D ．{x |x <－2或x >2}

【考法三 奇偶性与周期性综合】

1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( ) A 0 B ．3 C ．4 D ．6

2. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，b ＝f (2)，

c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A a >b ＝c

B ．b >a ＝c

C ．b >c >a

D ．a >c >b

3. 设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(2)>1，f(2014)＝2a－3

a＋1

，则实数a的取值范

围是________．

【考法四奇偶性、对称性、周期性】

1.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2013)＋f(2014)的值为()

A．－2 B．－1 C．0 D 1

2.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1

5

，则f(log220)

＝()

A －1 B.4

5C．1 D．－

4

5

【终极难度定义证明、赋值法、求参数】

1. 定义在R上的函数f(x)对任意a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋k(k为常数)．

(1)判断k为何值时f(x)为奇函数，并证明；

(2)设k＝－1，f(x)是R上的增函数，且f(4)＝5，若不等式f(mx2－2mx＋3)>3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

2. 已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－2.

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求证：f(x)是R上的减函数；

(3)求f(x)在区间[－3,3]上的值域；

(4)若∀x∈R，不等式f(ax2)－2f(x)

跟踪练习

1. 已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f x

x

x f 则若

A ．b

B ．－b

C ．

b 1 D ．－b

1 2. 已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，求：0

3. 定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数

a 的范围.