交错级数与任意项级数

(2n)2 (2n 1)3
分析
lim
n
un

0
的敛散性 .
a2n

1 (2n)2

1 (2n 1)3

a2n1
a2n1

1 (2n 1)3

(2n
1
2)2

a2n2
Lebnitze条件是充分的不是必要的
判别下列级数收敛的是:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1
注(1) 积分判别法
正项级数
比值法
பைடு நூலகம்
1
根值法
1
1
发散
收敛
比较法极限形式
比较法
a2 b2 2ab, a,b R
sin x x, x 0 ex 1 x, x 0
x ln(1 x) x, x 0 1 x
部分和数列有界
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2,,
例１. 讨论级数

sin(
n1
#2014022502
n2 a2 ) 的敛散性 .
（A）收敛
（B）发散
sin( n2 a2 ) (1)n sin
a 2
n2 a2 n
例2. 讨论级数
1 1 1 1 1 1 1 1 1
22 33 42 53 62 73
(2) 再证{S }收敛于S。 2 n1
又
lim
n
S2n1

lim (
n
S2n
u2n1)
故级数收敛于S, 且 S u1, (3) 考查余项的性质。
(un1 un2 ) rn un1 un2 un1
使用注意
u 与u 的大小
n
n1
234
n
#2014022503
2) 1 1 1 1 (1)n1 1
2! 3! 4!
n!
3)
1 10

2 102

3 103

4 104

(1)
n1
n 10n

判别下列级数各项取绝对值后级数收敛的是: #2014022504
1) 1 1 1 1 (1)n1 1
(1) 只能借助于定义证明部分和收敛。
(2) {S }收敛 {S }{S }都收敛到同一值。
n
2n
2 n1
(3) {S }单调有界则收敛。 2n
证: (1) 先证{S }收敛。 2n S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n ) S2n u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1) u2n 是单调递增有界数列, 故
s 1, 绝对收敛.
n1(ns)n 发散.
1 s 0, 条件收敛.
思考： 下列命题是否正确.
#2014022506
对一个收敛级数的和s来说它是无穷多个数的 “和”，也可以按照有限个数求和的运算规律进行， 比如可以交换各项的顺序。
（A）正确
（B）不正确
（C）不确定
绝对收敛级数与条件收敛级数的区别.
n1
n1

un 也收敛
n1
例3. 讨论级数 n1sinnn4 的敛散性.
解:

sin n
n4

1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,

n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n n1 n4
绝对收敛 .
例4. 讨论级数 n1(ns)n (s 0, 0) 的敛散性 .
234
n
2) 1 1 1 1 (1)n1 1
2! 3! 4!
n!
3)
1 10

2 102

3 103

4 104

(1)
n1
n 10n

用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
则各项符号正负相间的级数 形如
或
称为交错级数 .
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2, );
2) lim un 0,
n

则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1, 其余项满足
n1
注意到
rn un1 .
(1) 比值法：un1 与1的关系； u
n
(2) 差值法：u u 与0的关系；
n 1
n
(3) 利用导数： 由u 构造一可导函数f（x），
n
使f（n） u ，利用f （x）与0关系。 n
例１.
讨论级数

(1)n
ln(1
n)
#2014022501
的敛散性 .
n1
1 n
（A）收敛 （B）发散
收敛
2)
1

2 1 2!
3 1
3!
4
1 4!



un1 n (u1n)n1
(n10n1)1!
1 n!
1n01n!n
1 1n 1 10n 收1n敛
3)
1 10

2 102

3 103

4 104

(1)n1
n 10n
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
*定理8..
设pn

un
un 2
, qn

un
un 2
绝对收敛 ，则
收敛的（ ）条件。
（A）充分 （C）充要
（B）必要 （D）不确定
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设
收敛 , 令
vn

1 2
(
un

un
)
( n 1, 2 , )

显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
un 2vn un
n1


un , 2vn 收敛
解： 交错级数
un


n
n s
0
un1 un

n1
(n 1)s

ns
n

n
s
n 1

(n )
(1)当 1时,


n1
( )n
ns
收敛， n1(ns)n绝对收敛.
(2)当 1时,


n1
( )n
ns
发散，
(3)当 1时, n1(n1s)n 交错级数，
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!
3)
n n110n
.
发散
收敛
收敛
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
思考： 级数
绝对收敛 ，是级数
#2014022505