陀螺仪随机漂移

陀螺仪随机漂移的测取 和数学模型的确立
万俊 潘鸿飞 杨柏军
（辽宁葫芦岛 91851 部队 125001）
摘要:导弹控制系统中，陀螺精度是系统精度的重要指标之一，而陀螺仪随 机漂移是影响陀螺精度的重要误差源，因而研究陀螺仪随机漂移对提高陀螺精度 有着重要意义。本文在统计分析的基础上提出了用固定方位力矩反馈法测取陀螺 仪的随机漂移，并简述了利用平稳时间法建立其数学模型的过程，对研究陀螺仪 随机漂移具有重要的参考价值。
陀螺仪随机漂移是衡量陀螺精度的最重要指标之一，它实际上是 一个随机过程。
根据随机过程的定义，陀螺仪随机漂移随机过程 x(t)可以被看成 是由依赖于时间 t 的这一族随机变量所构成的总体，因而可以借助数 理统计方法通过对大量漂移数据的统计分析，来寻求它的统计特性。
①概率分布函数（概率密度函数）---提供随机过程中各种取值 的概率特性，它可以给陀螺随机漂移以完整的描述。
AR(1)模型自相关函数为：
R(τ ) = σ 2e−β τ
⒁
式中： σ 2 为一阶马尔科夫过程的方差
β为反相关时间（β=1/τR，τR 为相关时间） 一阶马尔科夫过程自相关函数的离散形式可写为：
RK = σ 2e− β∆t K
⒂
Δt 为采样周期
同样，自相关系数的离散形式可写为：
ρK
= RK σ2
= e−β∆t K
可利用平稳时间法建立其误差模型。首先确定所要拟合的线性模型的
类别和阶数，其次估计模型参数并进行适用性检验，如发现潜周期分
量，应提取其中较大的潜周期分量，最后对去除了趋势项和潜周期分
量的残差序列进行正态性检验。
③当残差序列仍然是非平稳时间序列，则应进行差分处理，使之
成为平稳时间序列，然后再利用平稳时间法建立其误差模型。
KEY WORDS: Gyro drift, Smooth processing,Time sequence analysis method
0 引言 现代惯性系统对陀螺仪精度的要求越来越高，因而对陀螺仪随机
漂移的研究就显得越来越重要。本文从陀螺仪随机漂移的测取方法入
1
手，提出了用固定方位力矩反馈法测取陀螺仪的随机漂移，在此基础 上对陀螺随机漂移进行了理论分析，并详细探讨了陀螺仪漂移数学模 型的建立。 1 陀螺仪随机漂移的概述及其数学概率基础
⎟⎞2 ⎠
⑴
该方程实际上是有偏估计，也可写成无偏估计，则公式可写为：
∑ Λ
σ=
1 N −1
N i=1
⎜⎛ ⎝
Xi
−
Λ
µ
⎟⎞2 ⎠
⑵
当样本数 N 很大时，（N-1）与 N 的差别很小，两式计算结果近
似相等。
3 数学模型的建立
3.1 建模步骤
导弹控制系统中，可以利用卡尔曼滤波降低陀螺随机漂移对系统
精度的影响，但首先应建立陀螺随机漂移的数学模型，建模步骤大致
②均值函数和方差函数---提供随机过程中幅值方面的基本信 息，是从幅域来描述陀螺随机漂移的统计特性。
③自相关函数（自协方差函数）---反映随机过程中两个不同时 刻之间的相关度，是从时域来描述陀螺随机漂移的统计特性。
④自功率频谱密度函数---反映随机过程的平均功率按频率分布 的密度，是从频域来描述陀螺随机漂移的统计特性。
N=km，把漂移数据序列分成 k 个等时间区间的子样（子序列），每个
子样的数据个数相同，均为 m。顺序分别计算每个子样的均值μi 和
方差
α
2 i
（i=1,2,…,k）,计算各子样的均方值：
ϕi2
=
ui2
+
α
2 i
（i=1,2,…,k ）
⑶
则该子样均方值序列的中值为：
4
∑ = ϕ
2 0
1k k i−1
现的白噪声组成），按照尤尔概念，有色噪声序列可以看作是白噪声
序列经过成形滤波器变换得到的。
设{xt}表示观测到的时间序列，{ωt}表示白噪声序列，对时间序 列{xt}构造数学模型就是以白噪声{ωt}为输入，经过一个实时变换的 滤波器之后，得出时间序列{xt}的输出三者之间的关系。实际工程中， 平稳时间序列{xt}的线性模型通常可以表示成以下三种形式：滑动平 均模型 MA 模型，自回归模型 AR 模型，自回归滑动平均模型 ARMA
⑾
如果残差序列{xt}还是非平稳数据序列（主要是随机游动造成的），
一般采取差分的方法来处理，只需经过一阶差分，即可化为平稳时间
序列，对时间序列{xt}作一阶差分，
Δxt=xt-xt-1(t≥2)
⑿
对于含有趋势项的非平稳时间序列，也可直接利用差分处理，如果趋
势项中只含常数项和一次项，经过一阶差分即可使之平稳化；如果趋
验的首要问题，它是用来判别数据序列是否具有不随时间变化推移而
变化的统计特性。
平稳性检验的方法一般采用非参数检验法。非参数检验法是在未
知子样分布抽样情况下的检验方法。该方法是以轮次数这个统计量来
度量漂移数据序列与平稳随机序列之间的差异，以检验平稳性假设是
否成立。
假设随机过程 X（t）的现实序列足够长，即 N 取值足够大，令
势项中还含有二次项，则经过二阶差分就可使之平稳化。
3.3 利用时间序列分析法对平稳化的残差序列建立数学模型
时间序列分析是一种时域分析法，它不仅仅研究过程的确定性
变化，而且更着重于研究过程的随机性变化，它直接利用随机时间序
列来建立差分方程，把一个高度相关的平稳随机时间序列表示成一种
数字递推的形式（即看作是由各时刻相关的随机时间序列和各时刻出
模型。
本文着重讨论自回归模型 AR 模型（自回归模型, p 代表 AR 模型
的阶数）,适用于动力调谐陀螺仪，以一阶自回归模型 AR(1)为例，其
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结构式为：
xt = b1xt-1+ωt
⒀
该模型代表“一阶马尔科夫”过程的平稳随机过程，这种随机过
程的特点是：随机过程在 t 时刻的观测值 xt 仅与相邻的前一时刻（t-1） 时刻的观测值 xt-1 存在相关性。
立。
“平稳性假设”是否成立，是在显著性水平α（一般取 0.05）
之下作出的，判别置信度为 1-α（当α取 0.05 置信度为为 95%）。
实际工程中，陀螺漂移测试所得到的数据序列可能是非平稳随机
序列，对于此类序列则应设法去掉其中的有规律部分和趋势项以实现
数据的平稳化处理。
对于一个非平稳时间序列{yt}，可以看成由一个确定性的趋势项
以上是描述陀螺仪随机漂移过程中的几个重要统计特征函数，均 值反映了随机过程在各个时刻取值的分布中心；方差反映了随机过程 在各个时刻取值相对均值的离散程度；自相关函数反映了随机过程在 两个不同时刻取值之间的相关程度；自功率频谱密度函数反映了随机 过程的平均功率按频率分布的密度。
上述描述平稳随机过程统计特性的数学估计式只对平稳正态随 机过程才适用；如果含有趋势项随机漂移数据序列，必须经过平稳化 处理才可应用上述数学估计式进行计算。 2 陀螺仪随机漂移率的测取
X t − X t −1 = − β∆tX t −1 + ωt
⒆
如此一来，我们就可以把离散差分方程化为连续型微分方程，对
上式两边同时除以Δt 并取极限，则为：
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lim X t
∆t →0
− X t −1 ∆t
=
lX t −1 ∆t
+
ωt
•
⇒ X (t ) = − β ( X )t + ω(t )
⒃
由 AR(1)模型的性质可知 Rt = b1Rt-1，带入上式可得自回归系数的
表达式：
b1 = e − β∆t
⒄
则，AR(1)模型的表达式：
X t = e−β∆t X t−1 + ωt
⒅
把 e−β∆t 展开级数，并忽略二阶及二阶以上的小量，则得：
X t = (1− β∆t )X t−1 + ωt ⇒
ϕ i2
⑷
把它作为真实均方值的估计值。如果陀螺漂移数据序列是平稳随
机序列，每个子样均方值 相对与子样均方值中值 的变化是随机
的，不应存在共同的确定趋势项。子样均方值序列中
ϕ
2 i
≥
ϕ
2 0
（记为
“+”号）的子样数为
k1
和 ϕ i2
<ϕ
2 0
（记为“-”号）的子样数为
k2
应相
等，都应等于 k/2，
n=k1=k2=k/2
随机漂移率是衡量陀螺仪精度的最重要指标，在一定的测试条件 下，陀螺漂移率是指在某一均值水平上随时间作无规律变化的随机变 量，其均值μ代表了系统性漂移，而随机漂移则以均方根值或标准偏 差σ来表示，陀螺仪漂移随机过程满足各态遍历性条件时，随机漂移 的数学估计为：
∑ Λ
σ
=
1 N
N i=1
⎜⎝⎛
Xi
−
Λ
µ
如下：
①对陀螺漂移测试所得到的样本数据序列（随机时间序列）进行
统计检验。首先进行平稳性检验，如发现为非平稳的随机时间序列，
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应提取其中确定性的趋势项，其次进行周期性检验，如发现潜周期分
量，应提取其中能量较大的潜周期分量，最后对除了趋势项和潜周期
分量的残差序列进行正态性检验。
②如果经过检验的陀螺漂移数据的残差序列是平稳时间序列，则
关键词: 陀螺漂移;平稳化处理;时间序列分析法
Measurement of Random Drift of Gyro and Establishment of Mathematical Model
ABSTRACT : The precision of gyro is one of the most important points to decide precision of missile control system and it is mostly effected by the gyro random drift.On basis of statistics analysis, the fixed-azimuths-moment feedback method for measurement of random drift is put forward in the paper, and the mathematical model is established by means of stabilization time method，with greatreference to study of gyro random drift。