数理方程重点总结

3
3
再 另 附 ：求 偏 微 分 方 程 的 通 解
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
将积分结果作为 e 的幂， 这就是积分因子。
这里，大可不必去考虑它了。
a
2
(

2u x2

2u y2

2u z2 )

2u t2

E
u

H
a2 1

—— 三维波动方程
四. 热传导方程 u u( x, y, z, t) (场点 t 时刻的温度分布)
a
2
(

2u x2

2u y2

2u z2 )

u t
a2 k c
2） 边 界 条 件 ：u x
u
0,
x0
x
0
xl
（小心，全是第二类！） 号 ， 表 示 界 面 法 向 但是，都是齐次边界。 与梯度方向的一致取
3） 泛定方程：ut a2uxx 0 (0 x l , t 0)
正；相反取负。
一、提出分离变量的试探解，令u( x, t) X ( x)T (t)，得到两个常微（分离变量）
和 电 导 的 分 布 参 数 。 求以 后 的 电 压 分 布 。
R
L
对象：高频传输线
C
G
模型：分布参数电路 解: 如图建立坐标系，
dx
0
l
x
设在 x 0 处短路封闭; 在 x l 处保持断开。
解 1） 边 界 条 件: ——对电压而言，可以考虑的方案
u(0, t) 0
t 0 之瞬间，所定义的始端被一条导线短路，在此之后， 允许电流通过，但这两点间的电压为零。
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
由 边 界 条 件u
0， 得
x x0
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
3
3
数学物理方法
第三讲
分离变量法
( Method of Separate Variable )
例 长度为l 的均匀细杆，两端点的坐标如图示，设其侧面与两端面都绝热， 设杆的初始温度分布为x(l x) .试写出其空间变量与时间变量所满足的微分
2 方程；并求解空间变量的本征值问题。

0n l
l
n
(5)
因此有
u( x, y) 1 x3 y2 H ( y) x2 H (0)
(6)
6
又 依 据 u(1, y) cos y， 代 入 （6） 式 ， 有
cos y 1 y2 H ( y) 1 H (0) 6
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(1)

u( x,0) x2
(2)
u(1, y) cos y
(3)
解 把（1）式写成

u ()

x2
y
x y
然后，对x 积分，得
u 1 x3 y F( y) y 3
再将上式对y 积分，得
这里，F ( y) 为任意函数。
u 1 x3 y2 F ( y)dy G( x) 6
u
t
(
x
,
0)


0 k
,
2
, xc
初始条件（3）
受冲击时的 初速度
最后可得定解问题

2u t2

a2
2u x2
; 0 xl
,
t0
u (0 , t) 0 ; u (l , t) 0
u(x ,0) 0 , x c

u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或

u t( x , 0)

0 k
,
2
, xc
泛定方程（1） 边界条件（2） 初始条件（3）
例 把均匀高频传输线充电到具有电压E ，然后左端短路封闭，另一端保持断开，
如 图 所 示 ， 其 中R、L、C 和 G 分 别 表 示 在d x 区 间 内 ， 电 阻 、 电 感 、电 容
边界条件（2）
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
u (x,t)
k
c
c
0
c
u ( x , 0) 0
由开初时，在 x c 处受到冲量 k 的作用知
对于c 点周围足够小的 0 ，弦段 c , c
x
上的动量改变，即为冲量，于是有
第2 题
u (x,t)
如 果 给 出 了 函 数f ( x) 的 具 体 形 式 ， 两 个 积 分常 数 C1 、C2 ，
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x

W (x)

1 6a 2
x3
C1 x C2

W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
或
u 2u x2 F (t)
t t
t
这 是 一 个 线 性 方 程 ， 有积 分 因 子
(1)
e

2 t
d
t
e 2ln t

e ln t 2

t2
因此，（1）式还可以写成
(t 2u) x2t 2 t F (t) t
再对t 积分，得
t 2u 1 x2t 3 t F (t)d t H ( x) 1 x2t 3 G(t) H ( x)
依据换路定理。
R
L
C
G
3）因此，电压u( x, t) 应满足的定解问题为：
dx
x
0
ut t ( x, t ) a2ux x ( x, t ) 0

u(0, t) 0,
ux(l,t) 0
u( x,0) E, ut ( x,0) 0
泛定方程 边 界 条 件 （ 第 一 类 、 第二 类 ！ ！ ！ ） 初始条件
a2
2i x 2

2i t 2
a2
2
x 2

2
t 2
a2uxx utt
a2 T

—— 一维波动方程
i i( x, t) , v v( x, t) (电流、电压)
a2i xx i tt a2 xx tt
a2 1 LC
—— 高频传输线方程
三. 电磁场方程
数数学学物理物方程理与方特殊法函数
第一讲（基础）
一些典型方程和定解条件
Caculations of Some Typical Eqations with Difinitec Conditions
一. 均匀弦的横振动方程
u u( x, t) (振幅)
a2
2u x 2

2u t 2
二. 传输线方程(电报方程)
Baidu Nhomakorabea
数学物理方法
第二讲
直接积分法
( Method of Direcit Integration )
另附：直接积分法 解微分方程边值问题

a2
d 2W ( x) d x2
f (x)
0
(5)

W ( x) x0 M（1 常数），W ( x) xl M（2 常数） , t 0
u(l, t) ? ux(l,t) 0
无 法 确 定 。 由 于R 、L 、C 电 路 放 电 期 间 ， uR 、uL 或 uC 处 于 瞬 态 。 保 持 断开 ， 电 压 的改 变du , 不 依 赖于dx 的 改 变。
2） 初 始 条 件 ：
u( x,0) E ut ( x,0) 0
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2

M1

l3 6a 2
l

M2
l
M1

l2 6a 2
W (x)


1 6a 2
x3
(M2
l
M1

l2 6a 2
)x
M1
再附：直接积分法 解偏微分方程的边值问题

2u x2 y x y
冲量：力的时间作用效应 。
2 u( x , 0) k , (c x c )
t
动量定理
I mv2 mv1
质量
速度
受冲击时的
动量定理：动量的改变=冲量的作用。
初位移
由此可见：初始条件为
u( x ,0) 0 , x c

—— 三维热传导方程
三类边界条件
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S

f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法 向微商在边界上的值，如
u n
f2
S
第三类边界条件：物理条件规定了 u 与un 在边界上值之间的某个线性关系，如
( u u)
x
端点 x 0 处绝热。从“绝热”这个条件看，并不能推断在该端点温度u 的值，
但是，绝热意味着进出该点的热流强度为零。而沿 x 方向的热流强度等于热
传
导系
数k
与温
度
梯 度ux
的
乘积
，
因 此u( x, x
t)
1）初始条件：u x(l x)
t0
2
0.
x0
热流强度 q k u x
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
或
u 2u x2 F (t)
t t
t
上式还可以写成
(t 2u) x2t 2 t F (t) t
再对t 积分，得
t 2u 1 x2t 3 t F (t)d t H ( x) 1 x2t 3 G(t) H ( x)
X X 0 （空间变量的微分方程）
二 、 空 间 变 量 常 微 与 边界 条 件 捆 绑 ， 构 成 本 征值 问 题 。 （ 解 本 征 值 问题 ）
X X 0
(1)

u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
上式的结果还可以写成
这里，G( x) 为任意函数。
u 1 x3 y2 H( y) G(x)
(4)
6
这 里 ， 有 两 个 本 质 上 的任 意 函 数 ， 因 而 它 是 方程 的 通 解 。

2u x2 y x y
(1)

u( x,0) x2
(2)
u(1, y) cos y
k
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
c
c
x
0
c
动量
P

mv
动量：质量与速度的乘积 。
u ( x , 0) 0
由开初时，在 x c 处受到冲量 k 的作用知
对于c 点周围足够小的 0 ，弦段 c , c
冲量
I
t2
Fd t
t1
上的动量改变，即为冲量，于是有
n
f3
S
例. 设长为l 的均匀细弦，两端固定，初始位移为 0 。开始时，在 x c
处受到冲量为 k 的作用，试写出其定解问题。
解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。
其一维波动方程为： 2u t2

a2
2u x2
; 0 xl
,
t 0 泛定方程（1）
由两端固定，知： u (0 , t) 0 ; u (l , t) 0
将其带入原泛定方程：ut a2uxx 0 得 X T a2 X T 0
分离变量，得
T X a2T X
令

于 是 ， 得 到 了 两 个 常 微分 方 程
注意：a2 跟着时间变量T 跑。 为 的 是 让 空 间 变 量 尽 可能 简 单 化 。
T a2T 0 （ 时 间 变 量 的 微 分方 程）
(3)
u( x, y) 1 x3 y2 H ( y) G( x)
(4)
6
以 下 ， 依 据 边 界 条 件 2（） 、 （3） 定 解 。
依 据 u( x,0) x2， 代 入 （4） 式 ， 有
x2 H (0) G( x)
据此，解得G( x)
G( x) x2 H (0)