第四章、谓词逻辑-李娜 (1)
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（3）对于每个大于等于1的自然数n，n元函数符号：fn, gn, hn, …（可以没有） 我们用f、g、h等表示任意n元函数符号。注意每个函数符号都是有元数的。在 书写具体命题的形式时，我们根据需要来确定函数的元数。
我们也可以从函数符号复合得到新的函数符号，因此，从给定的个体词通过函 数复合可以得到新的个体词。例如，令f(x)表示“x的父亲”。那么我们有如下复合 函数：
每个项都是从个体变元和个体常元用函数符号构造起来的。最后，我们来看每个 项如何代表个体。为了谈论一些个体，首先要确定一个个体范围。这在数学中是常 见的，比如谈论实数、自然数、有理数或者整数，等等。在谈论项代表的个体时， 首先要明确所谈论的个体是取自哪个范围的。我们把这样的个体范围叫作论域，一 般地用D、W等表示论域。我们要假定论域是非空的，即每个论域至少有一个元素。
猫科动物都是哺乳动物。（p）
老虎都是猫科动物。 （q）
所以，老虎都是哺乳动物。（r）
这个推理是正确的。但是从命题逻辑的观点看，这个推理的前提和结论 分别是三个简单命题p、q和r。在命题逻辑中，从p和q不能推出r。
虽然传统三段论是有效的，但是传统三段论的推理形式是有限的，无法 处理一些更复杂的推理，比如：
这里f(x)是一个函数，它是以一些个体作为个体变元x的取值，从而得到另一个个 体作为它的函数值。像这样只有一个个体变元的函数称为一元函数。相应地还有一 些二元函数，例如：
（s1）x与y的和 （s2）中国与美国之间的最大海洋 （s3）直线x与直线y的交点 这三个表达式也都是个体词，因为它们代表唯一的个体。但是它们不是由一元 函数形成的，而是由二元函数形成的个体词。例如（s2），我们用g(x,y)表示x和y之 间的最大海洋；用a表示“中国”，用b表示“美国”，那么（s2）就写成g(a,b)。 一般地说，一个n元函数符号是带有n个个体变元的函数符号，记为f(x1, …, xn)。 这样我们得到构成第三种个体词的符号：
根据这些说明，我们来定义个体词。在谓词逻辑中我们一般把个体词称为项， 这是从代数中借用的术语。在代数中，我们从x、y、z等变元，还有个体常元2、 3.14等常元，利用加法、乘法和乘方等函数，可以构造多项式，例如x2+2x+1，这 个多项式是从x、2和1用一些函数构造起来的，这些都称为项，每个多项式都是一 个项。
f(f(x))：x的父亲的父亲（x的祖父）
f(f(f(x)))：x的父亲的父亲的父亲（x的曾祖父）
再比如，令g(x,y)代表“x+y”，令h(x)代表“x2”。那么g(h(x),g(y, h(z)))代表 “x2+(y+z2)”，这是数学中的复合函数，只要确定了个体变元的值，就能够确定复 合函数的值。
第一节 个体词、谓词和量词
在自然语言中，有一些词是代表个体的，有些词是代表性质或关系的，还 有一些词代表满足一些性质或关系的个体数量。我们区分个体词、谓词和量 词，分别加以说明，而且用符号来表示它们。
一、个体词
个体词是代表个体的词。这样的词有很多。自然语言中最容易识别的个 体词是专名（专有名词）。常见的人名、地名等都是专名。例如，北京、天 安门、太阳、长江，等等。为了最终能够写出命题的形式，我们用符号来代 表专名，这样的符号我们称之为个体常元：
有一个人所有人都爱他。
所以，对每个人来说，都有一个他所爱的人。
这个推理从直觉上看是正确的，但是却无法使用三段论来分析，也无法 在命题逻辑中证明它的有效性。为了研究简单命题的内部结构，需要对简单 命题进行进一步的分析，分离出表达个体的个体词、表达性质或关系的谓词、 表达数量的量词，从而对简单命题的逻辑结构进行描述。由此建立起来的逻 辑称为谓词逻辑，也称作一阶逻辑或者量化逻辑。
例如，考虑所有实数的集合R作为我们的论域。那么每个个体变元的取值就是R 中的元素；每个个体常元代表R中的固定元素；所有函数符号都代表R上的函数。这 样，每个项都代表R中的元素。
第四章 谓词逻辑
命题逻辑是关于命题联结词用法的逻辑理论。在命题逻辑中，简单命题 不含任何命题联结词，因此它们用字母p、q、r等表示；每个复合命题都是从 简单命题运用命题联结词构造起来的。真值表方法能够用来判定一个仅仅涉 及命题联结词的推理是否有效，命题逻辑的自然演绎系统能够证明任何命题 逻辑的有效推理形式。但是，还有一些有效的推理形式是命题逻辑不能处理 的，例如下面的三段论：
我们构造项的符号有三种：个体变元：个体常元：c0, c1, c2, …；个体常元：x0, x1, x2, …；n（1自然数）元函数符号：fn, gn, hn, …。我们用s、t等代表任何项。项是 按如下规则构造的表达式：
（T1）每个个体变元x是项。
（T2）每个个体常元c是项。
（T3）如果t1, …, tn是项并且f是一个n元函数符号，那么f(t1, …, tn)是项。 （T4）只有按照（T1）—（T3）构造的表达式才是项。
（1）个体常元：c0, c1, c2, …（可以没有） 为方便起见，我们用a、b、c等字母表示任意个体常元。
另一种个体词是在数学中常用的，称为个体变元：
（2）个体变元：x0, x1, x2, … 在数学中我们用x、y、z等表示任意变元，代表我们所谈论的范围内的数。例 如，在不等式“x > 2”中，“x”是一个变元，当它取值为3时，这个不等式就是 真的；当它取值为1时，这个不等式就是假的。
还有一种个体词是使用函数从一些个体词构造起来的。例如：
（t1）中国的首都 （t2）德国的首都 （t3）荷兰的首都 这三个表达式不是个体常元，也不是个体变元，但是它们每个都代表一个个 体。通过观察可以发现，它们有共同的结构“x的首都”，这是一个函数，当我 们以国家的名字作为个体变元x的取值，就得到相应的首都作为它的值。我们把 “x的首都”写成“f(x)”这个形式，用“a”表示“中国”，“b”表示“德国”， “c”表示“荷兰”。那么上面三个个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ词分别可以写成：f(a)、f(b)和f(c)，它们 分别代表北京、柏林和阿姆斯特丹。
我们也可以从函数符号复合得到新的函数符号，因此，从给定的个体词通过函 数复合可以得到新的个体词。例如，令f(x)表示“x的父亲”。那么我们有如下复合 函数：
每个项都是从个体变元和个体常元用函数符号构造起来的。最后，我们来看每个 项如何代表个体。为了谈论一些个体，首先要确定一个个体范围。这在数学中是常 见的，比如谈论实数、自然数、有理数或者整数，等等。在谈论项代表的个体时， 首先要明确所谈论的个体是取自哪个范围的。我们把这样的个体范围叫作论域，一 般地用D、W等表示论域。我们要假定论域是非空的，即每个论域至少有一个元素。
猫科动物都是哺乳动物。（p）
老虎都是猫科动物。 （q）
所以，老虎都是哺乳动物。（r）
这个推理是正确的。但是从命题逻辑的观点看，这个推理的前提和结论 分别是三个简单命题p、q和r。在命题逻辑中，从p和q不能推出r。
虽然传统三段论是有效的，但是传统三段论的推理形式是有限的，无法 处理一些更复杂的推理，比如：
这里f(x)是一个函数，它是以一些个体作为个体变元x的取值，从而得到另一个个 体作为它的函数值。像这样只有一个个体变元的函数称为一元函数。相应地还有一 些二元函数，例如：
（s1）x与y的和 （s2）中国与美国之间的最大海洋 （s3）直线x与直线y的交点 这三个表达式也都是个体词，因为它们代表唯一的个体。但是它们不是由一元 函数形成的，而是由二元函数形成的个体词。例如（s2），我们用g(x,y)表示x和y之 间的最大海洋；用a表示“中国”，用b表示“美国”，那么（s2）就写成g(a,b)。 一般地说，一个n元函数符号是带有n个个体变元的函数符号，记为f(x1, …, xn)。 这样我们得到构成第三种个体词的符号：
根据这些说明，我们来定义个体词。在谓词逻辑中我们一般把个体词称为项， 这是从代数中借用的术语。在代数中，我们从x、y、z等变元，还有个体常元2、 3.14等常元，利用加法、乘法和乘方等函数，可以构造多项式，例如x2+2x+1，这 个多项式是从x、2和1用一些函数构造起来的，这些都称为项，每个多项式都是一 个项。
f(f(x))：x的父亲的父亲（x的祖父）
f(f(f(x)))：x的父亲的父亲的父亲（x的曾祖父）
再比如，令g(x,y)代表“x+y”，令h(x)代表“x2”。那么g(h(x),g(y, h(z)))代表 “x2+(y+z2)”，这是数学中的复合函数，只要确定了个体变元的值，就能够确定复 合函数的值。
第一节 个体词、谓词和量词
在自然语言中，有一些词是代表个体的，有些词是代表性质或关系的，还 有一些词代表满足一些性质或关系的个体数量。我们区分个体词、谓词和量 词，分别加以说明，而且用符号来表示它们。
一、个体词
个体词是代表个体的词。这样的词有很多。自然语言中最容易识别的个 体词是专名（专有名词）。常见的人名、地名等都是专名。例如，北京、天 安门、太阳、长江，等等。为了最终能够写出命题的形式，我们用符号来代 表专名，这样的符号我们称之为个体常元：
有一个人所有人都爱他。
所以，对每个人来说，都有一个他所爱的人。
这个推理从直觉上看是正确的，但是却无法使用三段论来分析，也无法 在命题逻辑中证明它的有效性。为了研究简单命题的内部结构，需要对简单 命题进行进一步的分析，分离出表达个体的个体词、表达性质或关系的谓词、 表达数量的量词，从而对简单命题的逻辑结构进行描述。由此建立起来的逻 辑称为谓词逻辑，也称作一阶逻辑或者量化逻辑。
例如，考虑所有实数的集合R作为我们的论域。那么每个个体变元的取值就是R 中的元素；每个个体常元代表R中的固定元素；所有函数符号都代表R上的函数。这 样，每个项都代表R中的元素。
第四章 谓词逻辑
命题逻辑是关于命题联结词用法的逻辑理论。在命题逻辑中，简单命题 不含任何命题联结词，因此它们用字母p、q、r等表示；每个复合命题都是从 简单命题运用命题联结词构造起来的。真值表方法能够用来判定一个仅仅涉 及命题联结词的推理是否有效，命题逻辑的自然演绎系统能够证明任何命题 逻辑的有效推理形式。但是，还有一些有效的推理形式是命题逻辑不能处理 的，例如下面的三段论：
我们构造项的符号有三种：个体变元：个体常元：c0, c1, c2, …；个体常元：x0, x1, x2, …；n（1自然数）元函数符号：fn, gn, hn, …。我们用s、t等代表任何项。项是 按如下规则构造的表达式：
（T1）每个个体变元x是项。
（T2）每个个体常元c是项。
（T3）如果t1, …, tn是项并且f是一个n元函数符号，那么f(t1, …, tn)是项。 （T4）只有按照（T1）—（T3）构造的表达式才是项。
（1）个体常元：c0, c1, c2, …（可以没有） 为方便起见，我们用a、b、c等字母表示任意个体常元。
另一种个体词是在数学中常用的，称为个体变元：
（2）个体变元：x0, x1, x2, … 在数学中我们用x、y、z等表示任意变元，代表我们所谈论的范围内的数。例 如，在不等式“x > 2”中，“x”是一个变元，当它取值为3时，这个不等式就是 真的；当它取值为1时，这个不等式就是假的。
还有一种个体词是使用函数从一些个体词构造起来的。例如：
（t1）中国的首都 （t2）德国的首都 （t3）荷兰的首都 这三个表达式不是个体常元，也不是个体变元，但是它们每个都代表一个个 体。通过观察可以发现，它们有共同的结构“x的首都”，这是一个函数，当我 们以国家的名字作为个体变元x的取值，就得到相应的首都作为它的值。我们把 “x的首都”写成“f(x)”这个形式，用“a”表示“中国”，“b”表示“德国”， “c”表示“荷兰”。那么上面三个个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ词分别可以写成：f(a)、f(b)和f(c)，它们 分别代表北京、柏林和阿姆斯特丹。