《土木工程力学基础(少学时)》直梁弯曲

四、梁的正应力及其强度条件
2、常见截面的几何性质
矩形截面的形心惯性矩公式:
bh3 b3h Iz ,Iy 12 12
抗弯截面系数：
bh2 b2h Iz ,Iy 6 6
圆形截面的形心惯性矩公式:
Iz Iy
D 4
64
抗弯截面系数：
Iz Iy
D 3
32
3、最大正应力
从弯曲时应力的计算公式
y f (x)
挠度 ——梁的任一横截面的形心在垂 直于轴线方向上的位移，称为挠度，通 常用简单载荷单独作用下梁的变形y来 表示 。一般规定向上的挠度为正，向 下的为负。单位是mm.。
检测题
1.图4-28中悬臂梁的最大弯矩 。 A.Pl ； B.Pl/2； C. Pl/4； D. 2Pl
检测题
1m
VA 4.2 (kN)
4m
1m
VB
2、判断各段Q、M图形状：
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
Q
_
3
+
x=3.1m
E
_
3.8 2.2
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
M _3
(kN· m) 1.41
3、先确定各分段点的Q 、M值， 用相应形状的线条连接。
+
A B
F
h 6
C
a
b
h
l 2
l 2
h 2
c
b
Fl
a
M B ya IZ
1 h FL 2 33 bh 12
1.65MPa
1 M B FL 2
bh3 IZ 12
b 0
c
M B yc IZ
1 h FL 2 3 2 2.47MPa （压） bh 12
四、梁的正应力及其强度条件

M max y Iz
当同一截面上弯矩惯性矩都相同时，最大应力发生在y最 大的地方。 故最大应力的计算公式为：
、
上式中，如果令：WZ=IZ/ymax Wz称为抗弯截面系数，则：
max
M max Wz
例题：长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知 b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c 各点的正应力。
3、内力图规律 1）微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩 图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。
外力情况 q<0(向下) 无荷载段 集中力F作用处： 集中力偶M作用 处：
剪力图上的特 征
弯矩图上的特 征 最大弯矩可 能 的截面位置
↘(向下斜直线)
(下凸抛物线)
1 2
(0 x l ) (0 x l )
反映剪力（弯矩）随截面位置变化规律的 曲线，称作剪力（弯矩）图。
2、剪力图和弯矩图的作法： 取平行梁轴的轴线表示截面位置，规定 正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁：当x=o, Q(x)=-P, M(x)=0; x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2/2.
《土木工程力学基础》
（少学时）
直梁弯曲
本单元学习目标
一、能够认识三种单跨梁及绘制相应简图
二、能够运用截面法计算单跨梁在简单荷 载下的剪力和弯矩 三、能够绘制单跨梁在简单荷载下的内力图 四、能够运用正应力强度条件解决工程实 际中基本构件的强度校核 五、能够分析建筑物中典型构件的弯曲强 度问题
房屋内部装修工程
为避免符号出错,要求：
未知内力均按符号规定的正向假设。
。
三、梁的内力图
1、剪力图和弯矩图的概念
梁各截面的内力随截面位置而变化，其函数 关系式
Qx=Q(x),
Mx=M(x)
称作剪力方程和弯矩方程。 列内力方程即求任意截面的内力。
Q (x ) P qx
M ( x ) Px qx 2
3）外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁。
。
二、梁的内力
1、外力特征及变形特点
外力特征：垂直杆轴方向作用外力，或杆轴平面内作用外力偶；
变形特点：杆轴由直变弯。
平面弯曲—荷载与反力均作用在梁的纵向对称平面内， 梁轴线在该平面内弯成一条曲线。
F
q
Me
B
纵
向
对称面
A
x
FAy FBy
源自文库
y
2、剪力和弯矩
4）确定内力最大值及其位置。(从图上直接找 |M|max、|Q|max） 绘梁内力图的关键是：正确确定控制截面内力值（一般用截面法）；熟 记内力图的特征。
例题 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q----M图。
3kN
A C
2kN/m
6kN m
D B
解： 1、求支反力 VA 7.2kN
VB 3.8kN
2.试判断图示各梁的弯矩图是否正确。如有错误，指出 产生错误的原因并加以改正。
检测题
3.梁的横截面上，离中性轴越远的点，其正 应力越 ；某横截面上的弯矩越大， 该处梁的弯曲程度就越 。 4.WZ=IZ/ymax称为 ，它反映了 和 对弯曲强度的影响，WZ的值愈大，梁中的最 大正应力就愈 。
单元学习要求
m
n
中性层 中性层
平面假设： 变形前杆件的横截面变形后 仍为平面。 中性轴：
m
n
o1
m
中性层与横截面的交线称为中性轴。
o2
n
中性轴 中性轴
四、梁的正应力及其强度条件
正应力计算公式
梁发生纯弯曲时，横截面上的某点处正应力计算公式为：
Mzy Iz
式中：M——表示横截面上的弯矩 y——表示横截面上该点到中性轴的距离 IZ——表示横截面对中性轴的惯性矩
水平线
斜直线
突变，突变值 为F
有尖点
不变
有突变，突变值 为M 弯矩突变的某一 侧
剪力为零的截面
剪力突变的截 面
2）内力FQ 、M 的变化规律,归纳如下：
荷载
q ( x) 0
qC 0 qC 0
F
MO
水平直线 Q-图 + or 斜直线 M-图
or F
上斜直线 下斜直线
(剪力图 无突变)
下凸 抛物线
Y
0
RA Q 0
Mo R A x 0
Q RA
Mo R A x
若取右半段梁为研究对象,可得：
Q ' Q
Mo ' Mo
2）剪力和弯矩的符号规定
a)剪力Q：截面上的剪力Q使所取脱离
体产生顺时针转动趋势时（或者左上右 下）为正，反之为负。 b)弯矩M：截面上的弯矩M使所取脱离 体产生下边凸出的变形时（或者左顺右 逆）为正，反之为负。
3.8
。
四、梁的正应力及其强度条件
1、梁的正应力
a
A
C
F
F
D
a
B
F
纯弯曲——梁受力弯 曲后，如其横截面上只有 弯矩而无剪力，这种弯曲 称为纯弯曲。
F
Fa
F
F
m n
a、变形前互相平行的纵向直线、 变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。 b、变形前垂直于纵向线的横向 线,变形后仍为直线，且仍与弯 曲了的纵向线正交，但两条横向 线间相对转动了一个角度。
1.能够认识三种单跨梁及绘制相应简图 2.能够运用截面法计算单跨梁在简单荷载下的剪力 和弯矩 3.能够绘制单跨梁在简单荷载下的内力图 4.能够运用正应力强度条件解决工程实际中基本构 件的强度校核 5.会叙述挠度的定义 6.能够分析建筑物中典型构件的弯曲强度问题 7.具备严谨细致的工作作风和安全意识
4、正应力强度条件 要使梁有足够的强度，必须使梁内的最大的工作应力不超 过材料的许用应力。即
max
M max [ ] Wz
注意: 1.当材料的抗拉和抗压能力不同时，应分对最大拉应力 和最大压应力建立强度条件，而当材料的抗拉和抗压能力 相同时，不需要分开考虑。 2.利用梁弯曲时的强度条件也可以解决校核强度、设计 截面尺和确定许可载荷三类问题。
M max ql 2 Pl 48.4KN m 2
2、计算Wz 对工字钢的抗弯截面系数，可查附表得：Wz=309cm 3、校核强度
max
M max 48.4 106 157MPa [ ] 3 Wz 309 10
即梁的正应力强度合格。
。
五、梁的变形
梁弯曲时，它的轴线由直线变为曲线，我们把这曲线称为挠曲 线，或弹性曲线。挠曲线可表示为：
4、控制截面法作梁的内力图 1）求支座反力；（注意校核！悬臂梁可省略。） 2）将梁分段；（以梁上荷载变化处为界，包括：P、m作用点，q的起 止点，梁的支座和端点等）
3）绘内力图；（先确定控制截面内力值，再按内力图特征绘图，最后 | Q |max , | M |max 用内力图特征检验。控制截面即梁分界截面。注意P、m作用处应取两侧 截面。）
上凸 抛物线
F处有尖角
MO o
3）其它规律： ①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； ②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点； ③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称 ；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称
例题：如图所示，一悬臂梁长l=1.5m，自由段受集中力P=32 kN的作用，梁由22a工字钢制成，梁自重由=0.33kN/m计算， 材料的许用应力[σ]=160MPa，试校核梁的正应力强度。
解：要校核强度，须先求出最大正应力， 为此须先求出最大的弯矩Mmax。 1、计算Mmax 悬臂梁的最大弯矩在固定端A截面。
1）剪力和弯矩的概念 图示简支梁在荷载及支座反力共同作用 下处于平衡状态。 求距支座A为x的横截面m-m.上的内力。 用截面法求内力。 步骤：1)截开 2)代替 剪力Q——限制梁段上下移动的内力; 弯矩M——限制梁段转动的内力偶。
单位：剪力Q
3)平衡
KN, N；弯矩M
KN.m ， N.m
Mo 0
吊顶中的木方 属于梁结构、 发生弯曲变形
水电安装时的水管也 应简化为梁，发生弯 曲变形
？
从以上图片中，我们可以清晰的看到在装饰和水电施工中，会有 很多的梁，那么对于这类构件如果确定其强度，怎么可提高其强度?
。
一、梁的形式
1）简支梁：一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座。
2）悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁。