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一元函数微分学

第2章一元函数微分学

教学耍求

1・知道极限概念数列极限、函数极限、左右极限知道极限存在的充分必耍条件

2•了解无穷小量概念了解无穷小量与无穷大量的关系知道无穷小量的性

质如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量

3•掌握极限的四则运算法则掌握两个重要极限掌握求极限的一般方法

4•了解函数在一点连续的概念知道左连续和右连续的概念知道函数在一点间断的概念会求函数的间断点

5•理解导数定义会求曲线的切线知道可导与连续的关系

6•熟练掌握导数基木公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则掌握

求简单隐函数的导数

7 •了解微分概念会求函数的微分

&知道高阶导数概念会求函数的二阶导数

本章重点极限的计算导数的概念导数、微分的计算

木章难点极限的概念复合函数导数的计算

内容结构课堂教学-经济数学基础

教学设计

一、极限的概念 附课件演示极限一教师主页—电大在线

3、函数极限二 xfxx 01im=A 1 当x Ox 吋有Axf )(记作

xf )(记作xfxx Olim=A

3 当xOx

吋有Axf )(记作xfxxOlim 二A

注意 1 当xOx

时极限存在的充要条件是左、右极限相等

即x

fxxOlim 二 A xfxx 01im= xfxx Olim二A

这充要条件常用于讨论分段函数在分段点处的极限是否存

在例题3 另见导学17页跟我练习

2 极限存在的两个前提条件①确定自变量的变化过程

②在这一变化过程中函数

值f(x)无限地逼近于一确定的常数A

4、常用的一些基本极限详见导学16页附0

二、无穷小量详见导学17页

1、定义极限为零的量必须注明自变量的变化过程跟我练习

2、性质①有限个无穷小量的代数和、乘积仍是无穷小量

②无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量

3、无穷小量的倒数——无穷大量内容讲解*无穷小量

三、函数的连续与间断

1、定义内容讲解*函数的连续性设函数

xf在点Ox的邻域内有定义若

满足001 imx

fxfxx

则称函数

xf在点Ox处连续.点Ox是xf的连续点.

函数f (x)在Ox处连续等价于f (x)在Ox处左、右都连续

2、初等函数在其定义域内都连续其极限值等于函数值即

OOlimx

fxfxx

跟我练习3、分段函数的连续性的判断根据分段点处是否左右都连续例题1例题2跟

我练习

四、求极限的方法

1、极限的四则运算内容讲解*极限的四则运算法则例题1

2、利用连续性求极限)

(limOxfx = f(Ox)例题 3

3、

0型或

型极限的计算详见导学19页

1

0型极限的计算方法用分解因式或分式有理化等方法消去极限为零的因子再取极限例题2例题4

型极限的计算方法分子、分母同吋除以分母的最高次项不包括系数例题3 导学练习

4、利用两个重要的极限求极限详见导学20页

⑴X

xxsin

limO

二 1 （0

0型）可推广成

中心sin

limO

0二1 “即三个括号填的代

数式必须一致”例题1

2

xlim 1+x

1 x二 e 或Olim

1二e 都是1型可推广成

e

中心

11 lim 或 e

lllim 屮心例题2

3

5、课后练习连接网页

五、导数与微分的概念

1、导数的定义 内容讲解*引例2

内容讲解*引例3

解*引例1

内容讲解*导数定义

函数y 二f (x)在点Ox 处的导数 是函数在点Ox 处的变化率 数的改变量 y

与自变量改变量 x 的比值的极限

x 0 跟我练习

例题

内容讲

①用定义计算函数导数的步骤是第一步自变量改变量

Ox+ x -Ox时计算函数的改变量y二"0x+ x)

-f (Ox)它是x的函数

第二步计算比值X

y

第三步求极限Olim

XX

y

当极限存在时其极限就是导数值0 /X

f 当极限

②左、右导数左导数00

值不存在吋函数f(x)在点Ox处不可导。附加导数课件

0 x

右导数00

/

xf 二Olimxx

y

0 x

小结导数存在的充要条件是00

xf与

00

xf存在而且相等

利用定义可得一些基本初等函数的导数公式如

/c 二0 /

X二 1

x aaaxxln/ 如I xxee / ax xaln

1

log/ 如x

x

1

In/

xxc o ssi n/ xxsincos/

注用定义求导数的计算比较繁琐一般不要用这种方法求导书只用于推导基

本导数公式或讨论函数特别是分段函数的可导性。

③可导与连续的关系可导连续见导学22页例5

跟我练习

④导函数定义见课本80页

2、导数的儿何意义

函数y二f (x)在点Ox处的导数0

/x

f等于曲线y二f (x)在点00, yx处的切线的斜率。

切线的斜率k二0

/x

f 切线的方程y-Oy二0

/x

f Oxx 练习导学

39 页12、13、14 题

3、微分的定义内容讲解*微分定义六、熟记基木初等函数的导数公式按函数类别记忆内容讲解*导