实用计算方法习题2解答
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习题2
2.1 已知下，节点x 1,x 2及节点处函数值f(x 1)，f(x 2)，构造线性插值多项式p 1(x). 解：
)()
()()()
()()(212112121x f x x x x x f x x x x x p --+
--=
2.2 设f(x i )=i(i=0,1,2),构造二次式，使p 2(x)满足： p 2(x i )=f(x i )(i=0,1,2) 解： )()
)(().)(()()
)(())(()()
)(()x -)(x ()(2120210121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x p ----+
----+
---=
2.3 设节点x i =i(i=0,1,2,3),f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-7,f(3)=26,构造次数不超过3次的多项式p 3(x),满足
p 3(x i )=f(x i ),i=0,1,2,3 解：
)f (x )x -)(x x -)(x x -(x )x -)(x x -)(x x -(x )()
)()(().)()(( )
())()(())()(()()
)()(())(x -)(x ()(3
23
130321023120231013210132003020103213+
------+
------+
-----=
x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x p x
2.4已知函数y ＝f (x )的观察数据为
试构造f n 解 先构造基函数
所求三次多项式为
2.5已知函数y＝f(x)的数据如下表中第1，2列。计算它的各阶均差。
解依据均差计算公式，计算结果列下表中。
2.6 设节点x
i
=i(i=0,1,2,3),f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-7,f(3)=26,构造Newton插值多项式。解：依据均差计算公式，计算结果列下表中。
P
3
(x)=1-x-3x(x-1)+(23/3)x(x-1)(x-2)
2.7 构造三次多项式P
3（X）满足：P
3
（0）= P
3
（1）=0，P
3
’（0）=P
3
′（1）=1。
解：
构造p3(x)具如下形式：
p3(x)= p1(x)+(x-0)(x-1) q1(x)
其中p1(x)满足：P1（0）= P1（1）=0（因此p1(x)=0），q1(x)为一次多项式。
因此p3(x)也满足：P3（0）= P3（1）=0
对p3(x)求导有：p’3(x)=(2x-1)q1 (x)+x(x-1)q1’(x)
令p’3(x)满足： P3’（0）=P3′（1）=1有：q1 (0)=-1；q1 (1)=1
即：q1(x)=2x-1
所以有：p3(x)= (x-0)(x-1)(2x-1)
2.8 已知数据如下表，试用直线拟合这组数据。
解：计算结果列入下表中
.n =5.a 0,a 1满足的法方程组是 ⎩
⎨⎧5105=55+1531
=15+51010.a a a a
解得a 0=2.45, a 1=1.25.所求拟合直线方程为 y =2.45+1.25x
2.9给定数据如下表：
求形如bx y ae =的最小二乘拟合曲线。
解:提示:如例2.6。
2.10 依据本章2.1问题举例中表2-2的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录，确定该纤维的强度与其拉伸倍数的关系。
解：提示：用2.4.3最小二乘曲线拟合例程求解。