专题2.6 对数与对数函数(2021年高考数学一轮复习对点提分)
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第二篇 函数及其性质 专题2.06 对数与对数函数
【考试要求】
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；
2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3.知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)． 【知识梳理】 1.对数的概念
如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M
N ＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝n
m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).
(3)换底公式：log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质
a >1
0 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0) 4.反函数 指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 【微点提醒】 1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n ＝n m log a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R . 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1 a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a (2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错. (4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错. 【教材衍化】 2.(必修1P73T3改编)已知a ＝1 3 2-，b ＝log 213，c ＝log 121 3 ，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >b >a D.c >a >b 【解析】 ∵0 3 ＝log 23>1.∴c >a >b . 3.(必修1P74A7改编)函数y ＝ log 23 (2x －1)的定义域是________. 【解析】 由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴1 2 log 23 (2x －1)的定义域是⎝⎛⎦⎤ 12，1. 【真题体验】 4.(2019·杭州检测)计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.6 【解析】 原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25)＝4＋log 525＝4＋2＝6. 5.(2019·上海静安区检测)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a >1，c >1 B.a >1，0 C.01