空间向量的运算及应用检测题

空间向量的运算及应用检测题

（试卷满分100分，考试时间90分钟）

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．已知点A (－3,0，－4)，点A 关于原点的对称点为B ，则|AB |等于( ) A ．12 B.9 C ．25

D ．10

解析：选D 点A 关于原点对称的点B 的坐标为(3,0,4)，故|AB |＝(－3－3)2＋(0－0)2＋(－4－4)2＝10.

2．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β

B.α⊥β

C ．α，β相交但不垂直

D ．以上均不正确

解析：选C ∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n 1与n 2不垂直，又n 1，n 2不共线，∴α与β相交但不垂直．

3．在空间四边形ABCD 中，AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝( ) A ．－1 B.0 C ．1

D ．不确定

解析：选B 如图，令AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→

＝c ， 则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→ ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a )

＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.

4．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 在平面α内的是( )

A ．P (2,3,3) B.P (－2,0,1) C ．P (－4,4,0)

D ．P (3，－3,4)

解析：选A ∵n ＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n ⊥MP ―→，在选项A 中，MP ―→＝(1,4,1)，∴n ·MP ―→＝0.故选A.

5.如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，四边形CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )

A. 3

B. 2 C ．1

D.3－ 2

解析：选D ∵BD ―→＝BF ―→＋FE ―→＋ED ―→，∴|BD ―→|2＝|BF ―→|2＋|FE ―→|2＋|ED ―→|2＋2BF ―→·FE ―→

＋2FE ―→·ED ―→＋2BF ―→·ED ―→＝1＋1＋1－2＝3－2，∴|BD ―→|＝

3－ 2.

6．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且满足AB ―→·AC ―→＝0，AD ―→·AC ―→＝0，AD ―→·AB ―→

＝0，则△BCD 的形状是( )

A ．钝角三角形 B.直角三角形 C ．锐角三角形

D ．无法确定

解析：选C BC ―→·BD ―→＝(AC ―→－AB ―→)·(AD ―→－AB ―→)＝AC ―→·AD ―→－AC ―→·AB ―→－AB ―→·AD ―→＋AB 2―→＝AB 2―→>0，同理DB ―→·DC ―→ >0，CB ―→·CD ―→>0，故△BCD 为锐角三角形．故选C.

7.已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→

的夹角为120°，则λ的值为( ) A ．±66

B.66

C ．－

66

D ．±6

解析：选C OA ―→＋λOB ―→

＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝

λ＋λ

1＋2λ2×2＝－12，得λ＝±66.经

检验λ＝

66不符合题意，舍去，∴λ＝－6

6

.故选C. 8.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→

(x ，y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )

A ．必要不充分条件 B.充分不必要条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→

＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→

，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→

＋n AC ―→ (m ，n ∈R)，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→

，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2一组解．故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件． 二、填空题（每小题5分，共20分）

9.在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N ―→＝λNC ―→

，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．

解析：如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以M 为坐标原点，MC ―→，MA ―→，MP ―→

的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系．

因为底面边长为1，侧棱长为2， 所以A ⎝

⎛⎭

⎫

0，

32，0，B 1⎝⎛⎭⎫－12，0，2， C ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C 1⎝⎛⎭⎫12，0，2，M (0,0,0)，设N ⎝⎛⎭⎫1

2，0，t ， 因为C 1N ―→＝λNC ―→，所以N ⎝⎛⎭

⎫12，0，21＋λ，

所以AB 1―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－3

2，2，MN ―→＝⎝⎛⎭⎫12，0，21＋λ.

又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1―→·MN ―→

＝0. 所以－14＋41＋λ＝0，所以λ＝15.

答案：15

10．已知点P 在z 轴上，且满足|OP |＝1(O 为坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离为________．

解析：由题意知，P (0,0,1)或P (0,0，－1)．

∴|P A |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝ 2.或|P A |＝(1－0)2＋(1－0)2＋(1＋1)2＝ 6. 答案：2或 6

11.已知空间四边形OABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 的中点，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→

＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN ―→

＝________.

解析：如图，MN ―→＝12(MB ―→＋MC ―→

)

＝12[(OB ―→－OM ―→)＋(OC ―→－OM ―→)] ＝12

(OB ―→＋OC ―→－2OM ―→) ＝12(OB ―→＋OC ―→－OA ―→)＝1

2(b ＋c －a )． 答案：1

2

( b ＋c －a )

12．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA ―→·QB ―→

取最小值时，点Q 的坐标是_______．

解析：由题意，设OQ ―→＝λOP ―→，即OQ ―→＝(λ，λ，2λ)，则QA ―→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB

―→