图论期末论文

浅谈图论四色问题及其应用

摘要：在地图上，相邻的国家涂不同的颜色，最少需要多少种颜色？100多年前有人提出了“四色猜想”，即只要用四种颜色就能做到。本文通过对图论中图的基本概念以及四色问题的简单证明，通过分析实际问题，利用C程序进行编译，来解决实例地图的染色问题。

关键词：图论；四色问题；染色；C程序

0 引言

我们必须承认，有很多优美的数学问题都是来自于最日常的生活，比如在一张世界地图上，最少需要用几种颜色去给每个国家着色，才能使得任何两个相邻的国家的颜色不同？在学习图论这门课之前，我从来没有思考过这个问题，更不知道它是一个非常著名的数学难题。所以我想，也许有的人能成为伟大的数学家不仅依靠天分，更重要的是善于观察和思考生活中蕴涵数学思想的细节，这恰恰是我们这样的学生所缺少的。

1 图论的起源

1736年是图论的历史元年。这一年，图论之父欧拉解决了哥斯尼堡城的七桥问题，发表了图论的首篇论文。美丽的哥尼斯堡始建于1308年，是东普鲁氏王朝的都市，城内的一条河的两条支流绕过一个岛，有七座桥横跨这两支流。脚下的七座桥触发了人们的灵感，人们有一项消遣活动，就是试图将河上的每座桥恰好走过一遍并回到原出发点，然而吸引了人们无数次的尝试却没人成功。问题看起来不复杂，但谁也解决不了，说不出其所以然来。直到1736年，欧拉解决了这一问题。他将这个问题转化为图论问题，即把每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两个点的一条线来代替，从而得到一个点线图。欧拉只用了一步就证明了哥尼斯堡的七桥问题没有解，并且推广了这个问题，给出了任意一种河桥图能否全部不重复、不遗漏地走一次的判定法则：如果通过奇数座桥连接的地方不止两个，满足要求的路线不存在；如果只有两个地方通过奇数座桥连接，则可从其中任一地方出发找到所要求的路线；如果没有一个地方通过奇数座

桥连接，则从任一地出发，所求路线都能实现。他还说明怎样快速找到所要的路线，并为此设计了一个15座桥的问题。欧拉的论文在圣彼得堡科学院作了报告，成为图论历史上第一篇重要文献。这项工作使欧拉成为图论（及拓扑学）的创始人。

1750年，欧拉和他的一个朋友哥德巴赫(C. Goldbach)通信时说发现了多面体的一个公式：设多面体的顶点数为Nv，棱数为Ne，面数为Nf，则有Nv-Ne+Nf= 2。这类问题成为19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。欧拉多面体公式表述了几何图形的一个基本组合性质，其目的是利用这一关系将多面体进行分类。图论的发展从19世纪中叶开始，图论进入第二个发展阶段。这一时期图论问题大量出现，诸如关于地图染色的四色问题、由“周游世界”游戏发展起来的哈密顿问题等。进入20世纪，图论仍然得以继续快速发展，科学家们通过计算机技术对四色猜想进行了证明等。

2 图论基本概念

2. 1 图的定义

有序二元组G = < V(G)，E(G) >称为一个图，其中：

（1）V(G) = {v1，v2，…，v n}是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点；

（2）E(G) = { e1，e2，…，e n}称为边集，其元素叫做图的边。

2. 2 图的分类

在图G中，与V中的有序偶（v i，v j）对应的边e称为图的有向边（或弧），而与V中顶点的无序偶对应的边e称为图形的无向边，每一条边都是无向边的图，叫做无向图，记为G =（V，E）；每一条边都是有向边的图叫做有向图，记为D =（V，E）；既有无向边又有有向边的图叫做混合图。

2. 3 权

如果图G中任意一条边（v i，v j）上都附有一个数W ij，则称这样的图G为赋权图，W ij称为边（v i，v j）上的权（weight）。

2. 4 平面图和欧拉公式

定义 2.4.1：设一个无向图G(V, E) (V中的元素称为顶点，E 中的元素称为

边)，如果能把它画在平面上，且除了V中的顶点外，任意两条边均不相交，则称该图为平面图。如果一个图和一个平面图同构，就称它为可平面图。

一个平面图将平面分成若干个部分，每个部分称为一个区域（又称面）；一个平面图所划分的区域中，总有一个区域是无界的，称其为外部区域，其他的称为内部区域。

定义 2.4.2：任何两个顶点之间总可以通过若干条边相连，这样的图称为连通图。

定理 2.4.3（Euler 公式）：设G是一个连通平面图，具有n 个顶点，m 条边及l 个区域，那么有n−m+l = 2 。

推论 2.4.4：具有n≥3个顶点的平面图至多有3n−6 条边。

推论 2.4.5：每个平面图必含有一个度小于或等于 5 的顶点。

定义 2.4.6：设有平面图G(V, E) ，满足下列条件的图G'(V ',E') 称为图G 的对偶图：G 的任一区域 R i内有且仅有一点v i'；对G的区域R i和R j的共同边界e k，画一条边e k' = (v i', v j')且只与e k交于一点；若e k完全处于R i中，则v i'有一自环e k'。我们容易知道一个平面图的对偶图还是平面图。下图G'是G的对偶图：

3 着色问题

定义3.1（顶点着色）：给图G的每个顶点指定一种颜色，使得任何两个相邻的

顶点颜色均不同。如果用k 中颜色对图G进行顶点着色，就称对图G 进行了k 着色，也称G是k -可着色的，若G 是k -可着色的，但不是(k−1) -可着色的，则称G是k 色图，称这样的k 为图G的色数，记为χ(G)。

定义3.2（边着色）：给图G的每条边指定一种颜色，使得任何两条相邻的边颜色均不同。如果用k 中颜色对图G进行边着色，就称对图G进行了k 边着色，也称G 是k -边可着色的，若G是k -边可着色的，但不是(k-1) -边可着色的，则称G是k 边色图，称这样的k 为图G的边色数，记为χ'(G) 。

定义3.3（平面图的面着色）：对平面图G来说，它将平面分为r 个区域，现对每个区域染色，使得有公共边的区域颜色均不同，这种染色称为平面图的面着色，如果能用k 种颜色给平面图G进行面着色，则称G是k -面可着色的，进行面着色时，所用的最少颜色数称为平面图的面色数，记为χ*(G)。

4 四色定理的证明

四色定理：每个可平面图是4-可着色的。

证明：设有一个连通图，有n 个顶点，如果这个图每个顶点都与除了自身以外的其他顶点相邻，则边的总数达到最大值。由于每个顶点的度是n−1，所以包括重复计算的边总共有n(n−1) 条边。因为每条边连着两个顶点，所以每条边都被重复计算两次，所以实际上边的总数是 E = n(n−1) ∕2。由于图中任意两个顶点都相邻，如果相邻的顶点用不同的颜色，则图中n 个顶点都必须要用不同的颜色去着色，所以总共需要n 中颜色。如果任意去掉一条边，那么原来这条边所连接的两个顶点可以同色，所以去掉一条边可以少用一种颜色。此时如果再去掉一条边，就不一定会又减少一种颜色了，比如第一次去掉的边是e1,2，第二次去掉的边是e1,3，虽然 1 和2,1 和 3 可以分别着相同颜色，但是由于 2 和3 相连，所以这3个点还是需要2 种颜色。为了保证能再减少一种颜色，第二次至少要去掉 2 条边。同理为了保证再去掉一种颜色，下一次至少需要去掉三条边。由此，如果希望用m 种颜色给图着色，至少要减少n −m 种颜色，则应该去掉的边数为1+2+⋯+(n−m) = (n−m)(n−m+1) ∕2；留下的边数为(m−1)(n−m∕2) 。