可分离变量的微分方程

y ln y x y 1
(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0y x2 C
e x (e y 1)dx e y (e y 1)dy 0 e y
ex
均可化为(1)的形式.
1
ey
dy
ex
dx 1
可分离变量方程的解法—分离变量法：
将方程分离变量： g( y)dy h( x)dx
解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为
Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
S 1 cm2,
h
dV 0.62 2ghdt,
(1)
h
h dh r
100 cm
另一方面，设在微小的时间间隔 o
[t, t dt], 水面的高度由h降至 h dh,
则 dV r 2dh,
第二节 可分离变量的微分方程
讨论一阶微分方程的解法
一阶微分方程的一般形式： y f ( x, y)
对称形式： P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
（变量 x 与y 对称）
若将 y看作未知函数，则有
dy
P( x,
y) (Q( x,
y)
0)
dx Q( x, y)
若将x看作未知函数，则有
at
w0 .
当t 时，w . 身体越来越胖
危险！
w
t
a b
w0
a b
e
bt
要达到理想体重，或者限时减肥或增肥，
都可设计出a和b 的合适组合.
小结
一、可分离变量微分方程
g ydy h xdx
解法 分离变量：将不同的变量写在等式的两端， 然后两端积分.
二、微分方程的简单应用
用微分方程解决实际问题的一般步骤： 1.建立微分方程和定解条件； 数学模型
对方程两边积分： g( y)dy h( x)dx
设G( y)及 H( x) 依次为g( y)及 h( x)的原函数，
于是有 G( y) H( x) C
称为微分方程(1)的（隐式）解。
由于关系式(2)含有任意常数，故称为 （隐式）通解.
例1 求解微分方程 dy 2xy 0的通解. dx
解 分离变量： dy 2xdx, y 0 y 0
y
两端积分
dy y
2
xdx,
也是解， 可与通解 合并为
ln y x2 C1
y Cex2
y e x2 C1 Ce x2为所求通解.
记C e ， C1 仍为任意常数
例2 求解微分方程 xy y ln y 0 满足初始
条件 y x1 e 的特解.
解 (1) 建立微分方程和定解条件：
衰变速度 dM , 由题设条件，有
dt
dM dt
M
M t0 M0
( 0衰变系数)
初值问题
dM
dt
M
M t0 M0
（2）解微分方程：
M
M0
分离变量
两边积分
dM M
dt ,
O
t
ln M t lnC, 即M Cet , 代入M t0 M0 ,得 M0 Ce0 C ,
为简单计，假定增加（或减少）体重所需热量
全由脂肪提供，脂肪的含热量为 DJ/kg.
求此人体重随时间的变化规律.
解（1）建立微分方程与定解条件：
设t 时刻（d）的体重为wt .
根据热量平衡原理，在dt 时间内，
人的热量的改变量＝吸收的热量－消耗的热量
因此得 Ddw A B Cwtdt
记a A B , b C ,
dx Q( x, y) ( P( x, y) 0) dy P( x, y)
一、可分离变量的微分方程
形如： y M( x) N ( y)
y f ( x, y)
或 g( y)dy h( x)dx 1
? 问题： dy
dx
2 xy2
dy y2
2xdx
dy y2
2 xdx
例如： xy y ln y 0 dy dx 1 x2 C
w t a Cebt
a bw t ebtbC1
b 代入初值条件可得特解为
wt
a
1
e bC1
e bt
bb
wt
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a b
w0
a b
e
bt
C
wt
a b
w0
a b
e
bt
（3）由上面的结果易得如下结论：
lim wt a 随时间的增加，趋于常数
t
b
节制饮食 a A B
调节新陈代谢
2.根据方程的类型，用相应的方法求出通解， 并根据定解条件确定特解;
3.对所得结果进行具体分析，解释它的实际 意义.如果与实际相差甚远，那么就应修改 模型，重新计算.
思考题
下列微分方程是否为可分离变量方程?
1. y x x2 y2 y
不是
2. y(1 x2 ) y x 1 y2 0 是
M M0et
衰变规律
放射性物质都具有类似的衰变规律：
M M0et
利用死亡生物体内放射性同位素碳14
记作14C 的衰变规律，推测生物体的死亡
时间，用于考古、刑侦等方面.
例4（减肥问题）假设某人每天的饮食可产生
AJ 热量，用于基本新陈代谢每天所消耗的热 量为BJ ，用于锻炼所消耗的热量为 CJ/d kg.
解 分离变量： dy dx
y ln y x
两端积分：
dy y ln
y
dx x
ln ln y ln x ln C , ln y C x ,
ln y Cx是通解.
由y x1 e，得 C ln e 1,
ln y x或y e x为所求特解.
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知 M t0 M0,求衰变过程中铀含量M (t ) 随时间t 变化的规律.
bD
可以达到理想体重
wt
a b
w0
a b
e
bt
记a A B , b C ,
D
D
若a 0,即A B, 饮食量仅够维持新陈代谢
则w w0ebt .
危险！
lim w t 0
t
身体快速消瘦
若b 0,即C 0,
只吃饭、不锻炼
dw a bwt.
dt
则 方 程 变 为dw dt
a, 解得w
积分，得 t (400 h3 2 h5 ) C,
0.62 2g 3
5
h |t0 100,
C 14 105 , 0.62 2g 15
所求规律为
t (7 105 103 h3 3 h5 ). 4.65 2g
3. 2e ydx 1 xdy 0
是
作业
p.269 习题12－2 1. (3), (7); 2. (1), (4); 4; 6.
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底 部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如 图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔 流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔 口中心间的距离)随时间t的变化规律.
D
D
则得方程 dw a bwt .
dt
设开始减肥时刻为 t 0, 体重为w0，
于是初值条件为 w t t0 w0 .
（2）解微分方程：初值问题
dw
dt
a bw t
分离变量
a
dw
bw t
dt
w t t0 w0
两边积分
1 b
ln
a
bw
t
t
C1
得通解为
ln a bw t bt bC1
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)，得微分方程:
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
分离变量，得
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g