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第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
6.4.2 定积分的分部积分法
设函数u=u(x),v=v(x)在区间[a,b]上有连续导数,则有 (uv)'=u'v+uv',即uv'=(uv)'-u'v,等式两端在[a,b]上的定积分为 ，即:
➢ 这就是定积分的分部积分公式.
06 P A R T
6.5
广义积分
前面我们是在有限区间上讨论有界函数的定积分.但是,无论在理
CHAPTER
06
第6章 定 积分
PART
06
6.1
定积分的概念
6. 1. 2 定积分的定义
➢ 定义6-1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,用点
a=x0<x1<x2<…<xn=b将区间[a,b]任意分成n个小区间[xi-
1,xi](i=1,2,…,n),其长度为Δxi=xi-xi-1,在每个小区间[xi-1,xi]上
一个有效数为6位数的近似值.
• 注意:对于分段函数不能求其积分的精确值,但可求近似值,即再
用“N”命令.
由定理可知,在运用换元法计算定积分时应注意以下两点:
用变量代换x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t 时,积分限一定要换成相应于新变量t的积分限;
求出f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数F[φ(t)]后,不需要 再把t变换成原来变量x的函数,而只需把新变量t 的上、下限分别代入F[φ(t)]中,然后求出增量即 可.
பைடு நூலகம்
的值与
被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关,而与积分变量用什么字母表
示无关,即:
➢ (2)定义中假定a<b,如果b<a,我们规定
,特
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向量与线性变换
总结词
向量是具有大小和方向的量，线性变换是向量空间中的一种变换。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，它可以用来表示经济变量，如需求量、供给量等。线性变 换是向量空间中的一种变换，它可以用来描述经济变量之间的线性关系，如价格和需求
量之间的比例关系。在经济问题中，线性变换可以用来描述经济增长、消费变化等。
06 案例分析
经济增长模型的数学分析
总结词
经济增长模型是研究一个国家或地区 在一定时期内经济增长的规律和影响 因素的数学模型。
公式和定理
经济增长模型通常使用微分方程、差 分方程等数学工具来描述经济增长的 过程，并运用数学定理和公式来求解 。
详细描述
经济增长模型通过建立数学方程来描 述一个国家或地区经济增长的过程， 并分析影响经济增长的各种因素，如 劳动力、资本、技术等。
详细描述
市场供需模型通常包括供给曲线和需求曲线，通过分析这些曲线的形 状和交点来研究市场均衡和价格形成机制。
公式和定理
市场供需模型通常使用线性方程、不等式等数学工具来描述供给和需 求的关系，并运用数学定理和公式来求解市场均衡点。
应用实例
市场供需模型可以用于分析商品或服务的价格波动、预测市场趋势以 及制定价格策略等。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。在经 济问题中，特征值和特征向量可以用来描述 经济系统的动态性质，如经济增长的稳定性 、市场波动的幅度等。通过分析特征值和特 征向量的性质，可以对经济系统的未来发展
不定积分与定积分
《经济数学基础》课件第6章
《经济数学基础》课件第6章《经济数学基础》课件第6章：微积分在经济分析中的应用一、引言微积分是现代数学的基础，它在经济学中有着广泛的应用。
本章将介绍微积分在经济分析中的基本原理和具体应用，包括导数、微分、积分等概念，以及它们在边际分析、最优化问题、消费者行为、生产者行为等方面的应用。
二、导数在经济分析中的应用1. 导数的概念导数是函数在某一点上的切线斜率，它反映了函数在某一点上的变化率。
在经济分析中，导数可以用来表示边际成本、边际收益、边际效用等边际概念。
2. 边际分析（1）边际成本边际成本（MC）是指生产一个额外单位产品所需的成本。
根据导数的定义，边际成本可以表示为产量对成本的导数。
即：MC = dC/dQ其中，C表示总成本，Q表示产量。
（2）边际收益边际收益（MR）是指销售一个额外单位产品所带来的收入。
同样地，边际收益可以表示为销售量对收入的导数。
即：MR = dR/dQ其中，R表示总收入，Q表示销售量。
（3）边际效用边际效用（MU）是指消费者消费一个额外单位商品所带来的效用。
边际效用可以表示为消费量对效用的导数。
即：MU = dU/dQ其中，U表示效用，Q表示消费量。
3. 边际分析在经济决策中的应用边际分析在经济学中具有重要作用，它可以指导企业进行生产、定价和投资等决策。
以下是一些具体应用：（1）生产决策企业在生产过程中，需要根据边际成本和边际收益来确定最优生产规模。
当边际成本等于边际收益时，企业可以实现最大利润。
（2）定价决策企业在定价时，需要考虑边际成本和边际收益。
一般来说，当边际成本小于边际收益时，企业可以提高价格；当边际成本大于边际收益时，企业需要降低价格。
（3）投资决策企业在进行投资时，需要评估投资项目的边际效益。
当投资项目的边际效益大于边际成本时，企业可以投资该项目。
三、微分在经济分析中的应用1. 微分的概念微分是导数的一种表达形式，它表示函数在某一点上的微小变化。
在经济分析中，微分可以用来表示边际变化。
《经济数学基础》课件第1章
表 1-1
存期 年利率%
三个月 2.60
六个月 2.80
一年 3.0
二年 3.75
三年 4.25
五年 4.75
4. 某城市电话局规定的市话收费标准如下：当月所打电话 次数不超过30次时，只收月租费10元，超过30次时，每次加 收0.20元， 则电话费y和用户当月所打电话次数x的关系可表 示如下：
10,
x 30,
y 10 0.20(x 30), x 30.
像这种在自变量的不同取值范围内，函数关系用不同的 式子来表示的函数，通常称为分段函数.分段函数是微积分中 常见的一种函数.例如，符号函数(如图1-4所示)可以表示成
1, x 0
sgn
x
0,
x0
1, x 0
注 (1) 分段函数是用几个不同解析式表示一个函数，而
(2) 图像法: 把函数关系用平面上的点集反映出来，一般 情况下，它是一条平面曲线.如图1-3所示的是气象站的自动 温度记录仪所记录的某地当天的气温变化曲线，该曲线将气 温T与时间x的函数关系清晰直观地表示出来，如x=12时， T=10℃.
图 1-3
(3) 表格法: 把变量间的函数关系通过表格形式反映出来. 如表1-1给出了2014年3月开始执行的中国银行的人民币定期 储蓄存期与年利率的函数关系.
复杂. 例如，企业的产品收入R是产量Q的函数，而产量Q又 是时间t的函数，于是时间t通过产量Q间接影响收入R，则收 入R构成时间t的函数，这种函数就是复合函数.
定义1.11 设函数y=f(u)、u=φ(x)，如果u=φ(x)的值域或 其部分包含在y=f(u)的定义域中，则y通过中间变量u构成x的 函数，称为x的复合函数，记作
例2 设f(x+1)=x2－3x，求f(x).
第五章 不定积分 《经济数学》PPT课件
【例 5-6】求不定积分 3x e xdx
解： 3x exdx (3e)x dx
(3e) x
C
ln(3e)
3x ex
C
1 ln 3
【例 5-7】求不定积分 x 4 dx
1 x2
解： x4 dx x4 1 1 dx
1 x2
1 x2
(x2 1)( x2 1) 1dx
1 x2
解：
sin 2
x 2
dx 1 2
1
cosx dx 2
dx cos
xdx
1 (x sin x) C
2
【例 5-10】求不定积分 cos2x dx sin x cosx
解： cos2x dx cos2 x sin 2 x dx
sin x cosx
sin x cos x
cos(ex )d(ex ) sin(ex ) C
注： cos(3x)dx sin(3x) C
现在我们计算 cos(3x)dx
cos(3x)dx
cos3x
1 3
1 sin u C
d (3x) 3x u
1 sin 3x
1 3
cos
C
u
du
3
3
此法就是第一类换元积分法．
定理 设 f (u)du F(u) C ， u (x) ，且u (x) 有连续导函数，则 f (x)(x)dx F(x) C ．
其中， 1 (x) 是 x (t) 的反函数．
这种方法称为第二类换元法．
注（1）第二类换元法即是：
f (x)dx 令 x (t) f (t) (t)dt
(t) C
[ 1 (x)] C
（2）选择合适的函数 x (t) 是第二类换元法
《经济数学基础》课件第3章
f(x2)－f(x1)=0 即
f(x2)=f(x1) 由于x1、x2是(a，b)内的任意两点，故证得在(a，b)内f(x)是常 函数.
推论2 如果函数f(x)和g(x)在区间(a，b)内的导数处处相 等，即f′(x)=g′(x)，则f(x)和g(x)在区间(a，b)内只相差一个常 数，即
f(x)=g(x)+C 例2 求证：在(－∞，+∞)内，arctanx+arccotx=(π/2)恒 成立. 证明 令f(x)=arctanx+arccotx，则有
而
f ( ) 1 1
1 1
已知x>0，所以ξ>0,ξ/(1+ξ)>0，从而f′(ξ)>0，且f(0)=0，于是
f(x)>0 即
x>ln(1+x)
3.1.3 定理3.3(柯西(Cauchy)定理) 如果函数f(x)与g(x)都在闭区 间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且g′(x)≠0，则在开 区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得
(2) 如果函数f(x)在区间(a，b)内的个别点的导数等于零， 在其余点的导数同号，则不影响函数在该区间内的单调性. 如： y=x3，在x=0处的导数等于零，而在其余点的导数都大于零， 故它在(－∞，+∞)内单调递增.
(3) 有的函数在整个定义域上并不具有单调性，但在其各 个子区间上却具有单调性. 如：y=x2+1，在区间(－∞，0)内单 调递减，在区间(0，+∞)内单调递增，并且分界点 x=0 处有 f′(0)=0(通常把导数为零的点称为驻点).
注 (1) 极值是一个局部概念，是相对于极值点附近的某 一邻域而言的; 最值是一个整体概念，是针对整个区间而言 的.
f(x2)=f(x1) 由于x1、x2是(a，b)内的任意两点，故证得在(a，b)内f(x)是常 函数.
推论2 如果函数f(x)和g(x)在区间(a，b)内的导数处处相 等，即f′(x)=g′(x)，则f(x)和g(x)在区间(a，b)内只相差一个常 数，即
f(x)=g(x)+C 例2 求证：在(－∞，+∞)内，arctanx+arccotx=(π/2)恒 成立. 证明 令f(x)=arctanx+arccotx，则有
而
f ( ) 1 1
1 1
已知x>0，所以ξ>0,ξ/(1+ξ)>0，从而f′(ξ)>0，且f(0)=0，于是
f(x)>0 即
x>ln(1+x)
3.1.3 定理3.3(柯西(Cauchy)定理) 如果函数f(x)与g(x)都在闭区 间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且g′(x)≠0，则在开 区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得
(2) 如果函数f(x)在区间(a，b)内的个别点的导数等于零， 在其余点的导数同号，则不影响函数在该区间内的单调性. 如： y=x3，在x=0处的导数等于零，而在其余点的导数都大于零， 故它在(－∞，+∞)内单调递增.
(3) 有的函数在整个定义域上并不具有单调性，但在其各 个子区间上却具有单调性. 如：y=x2+1，在区间(－∞，0)内单 调递减，在区间(0，+∞)内单调递增，并且分界点 x=0 处有 f′(0)=0(通常把导数为零的点称为驻点).
注 (1) 极值是一个局部概念，是相对于极值点附近的某 一邻域而言的; 最值是一个整体概念，是针对整个区间而言 的.
经济数学课件完整版
0.2.6
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
《经济数学基础》课件第6章
下面举例说明这两种方法在解题中的使用.
1201
例2 计算四阶行列式 1 3 5 0 .
0156 1234
解 利用行列式的性质，将四阶行列式化为上三角行列式，
再求值.
例3 计算四阶行列式:
解 利用行列式的性质，将此四阶行列式化为上三角行列 式，再求值.
例4 计算五阶行列式:
5 3 1 2 0 1 7 2 52 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
0 a43 0
a12a24
(1)13
a31 0
0 a43
a12a24a31a43
6.2
6.2.1 由前面的学习，大家发现按照行列式的定义，可以计算
一些特殊的行列式，但对阶数较高的行列式，其计算量很大， 为简化行列式的计算，下面先介绍行列式的性质.
定义6.5 如果把n阶行列式
a11 a12
a1n
a11 0 0 a22
00
0 0
a11a22 ann
ann
a11 0 a21 a22
an1 an2
0 0
a11a22 ann
ann
5 7 1 2
例5 写出四阶行列式
0 2
3 1
5 2
6 4
的元素a23的余子式和
代数余子式.
10 7 11 15
解 元素a23的余子式为删除第二行和第三列后，剩下的 元素按原来顺序组成的三阶行列式，而元素a23的代数余子式 为其余子式前面加一个符号因子，所以有
列式的值为零.
例如， 三阶行列式
a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1b2a3 a2b3a1 a3b1a2 a1b3a2 a2b1a3 a3b2a1 0 a1 a2 a3
第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
（２）该定理初步揭示了定积分与原函数之间的 内在联系，因此，我们就有可能通过原函数来计 算定积分．
【例 6-2】求 d x et2 dt dx 0
解： d x et2 dt ex2 dx 0
【例 6-3】若 f (x) 是连续函数，求 d
b
f (t)dt ．
dx x
解： d dx
b
f (t)dt
证：因为函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，
所以在[a,b] 上必有最大值 M 和最小值 m .
根据性质 6 有 m(b a)
b
f (x)dx M (b a)
a
即 m 1
b
f (x)dx M
ba a
由闭区间上连续函数的性质可知，在[a,b] 上至少存
在一点 ，使 1
b
f (x)dx f ( ) 成立．
关，而与积分变量用什么字母表示无关．
b
b
即 a
f (x)dx a
f (u)du
（2）定义中假定 a b，如果 b a ，我们规定
b f (x)dx a f (x)dx .
a
b
特别地，当 a b 时，规定 b f (x)dx 0 . a
（3）若函数 f (x) 在[a,b] 上连续，或 f (x)
0
0
由复合函数的求导法则，得
d x2
d(u) du
dx 0 sin tdt
du
dx
sin u 2x
2xsin x
（二）牛顿——莱布尼兹公式
定理（微积分基本定理） 设 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续， F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
b
f (x)dx F (b) F (a) ． a
【例 6-2】求 d x et2 dt dx 0
解： d x et2 dt ex2 dx 0
【例 6-3】若 f (x) 是连续函数，求 d
b
f (t)dt ．
dx x
解： d dx
b
f (t)dt
证：因为函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，
所以在[a,b] 上必有最大值 M 和最小值 m .
根据性质 6 有 m(b a)
b
f (x)dx M (b a)
a
即 m 1
b
f (x)dx M
ba a
由闭区间上连续函数的性质可知，在[a,b] 上至少存
在一点 ，使 1
b
f (x)dx f ( ) 成立．
关，而与积分变量用什么字母表示无关．
b
b
即 a
f (x)dx a
f (u)du
（2）定义中假定 a b，如果 b a ，我们规定
b f (x)dx a f (x)dx .
a
b
特别地，当 a b 时，规定 b f (x)dx 0 . a
（3）若函数 f (x) 在[a,b] 上连续，或 f (x)
0
0
由复合函数的求导法则，得
d x2
d(u) du
dx 0 sin tdt
du
dx
sin u 2x
2xsin x
（二）牛顿——莱布尼兹公式
定理（微积分基本定理） 设 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续， F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
b
f (x)dx F (b) F (a) ． a
第二章 极限与连续 《经济数学》PPT课件
由函数连续的定义可知,如果函数f(x)在点x0处满足下列条件之一: • (1)函数f(x)在点x0处无定义; • (2)lim(x→x0) f(x)不存在; • (3)lim(x→x0 ) f(x)存在,但不等于f(x0). 则点x0就是函数f(x)的间断点. 如图2-13所示的是几种在点x=x0处不连续的函数.
值无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于无穷大时的
极限.记做:
Lim（x→∞）f(x)=A 或 f(x)→A (x→∞)
• 当自变量x大于0而绝对值无限增大时,如果函数y=f(x)的对应值无限趋近于一个
确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于正无穷大时的极限.记做:
lim (x→+∞)f(x)=A 或 f(x)→A (x→+∞)
形的面积时,实际上采用的就是求极限的办法.而我国魏晋时期的大数学家刘徽(公元3世纪)就曾 用圆的内接正多边形来逼近圆的方法,计算的圆周率精确到小数点后4位的数值:3.1416. • 设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为A1;再作内接正十二边形,其面积记为A2;再作内 接正二十四边形,其面积记为A3;循此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正6×2n-1边形的面积记 为An(n∈N).这样,就得到一系列内接正多边形的面积: • A1,A2,A3,…,An,…
2.1.2 无穷小与无穷大
3)无穷小的阶 ➢ 有限个无穷小的代数和与积仍是无穷小,但是两个无穷小的商则
会出现不同的情况.例如,当x→0时,2x,x2,sin x都是无穷小,但它 们两两之比的极限会出现各种不同情况,这反映了不同的无穷小 趋向于零的快慢程度.由于两个无穷小之商一般不能立刻判断其 极限是否存在,所以我们通常称这种极限为未定式极限.
值无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于无穷大时的
极限.记做:
Lim（x→∞）f(x)=A 或 f(x)→A (x→∞)
• 当自变量x大于0而绝对值无限增大时,如果函数y=f(x)的对应值无限趋近于一个
确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于正无穷大时的极限.记做:
lim (x→+∞)f(x)=A 或 f(x)→A (x→+∞)
形的面积时,实际上采用的就是求极限的办法.而我国魏晋时期的大数学家刘徽(公元3世纪)就曾 用圆的内接正多边形来逼近圆的方法,计算的圆周率精确到小数点后4位的数值:3.1416. • 设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为A1;再作内接正十二边形,其面积记为A2;再作内 接正二十四边形,其面积记为A3;循此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正6×2n-1边形的面积记 为An(n∈N).这样,就得到一系列内接正多边形的面积: • A1,A2,A3,…,An,…
2.1.2 无穷小与无穷大
3)无穷小的阶 ➢ 有限个无穷小的代数和与积仍是无穷小,但是两个无穷小的商则
会出现不同的情况.例如,当x→0时,2x,x2,sin x都是无穷小,但它 们两两之比的极限会出现各种不同情况,这反映了不同的无穷小 趋向于零的快慢程度.由于两个无穷小之商一般不能立刻判断其 极限是否存在,所以我们通常称这种极限为未定式极限.
第一章 函数 《经济数学》PPT课件
【例1-1】某班级的全体学生组成一个集合.该班的学生都是这个集合 的元素.
【例1-2】自然数的全体组成一个集合.每一个自然数都是这个集合的 元素.
【例1-3】直线x+3y+3=0上所有的点组成一个集合.这里直线的每个 点是这个集合的元素.
➢ 习惯上,我们用英文大写字母 A 、B、C、X、Y等表示集合,用英文小 写字母a、b、c、x、y等表示集合的元素.如果a是集合A的元素,则记 作a∈A,读作a属于A.如果a不是集合A的元素,则记作a∉A,读作a不属 于A.
1. 2. 1 函数的概念
➢ 问题3：图1-5反映了上海证券交易所的上证指数从201×年10 月1日到201×年12月31日的60个交易日的变化情形,由此图可 以看出在这段时间中上证指数随时间的变化.
➢ 从图1-5中我们可以看到,有日期t和指数I两个变量,当变量t在某 一范围内变化时(201×年第四季度有60个交易日),指数I随着日 期t的变化而变化,并且当t取某一日期时,有唯一上证指数I与之相 对应.
➢ 补集有以下性质:A∪A ̅=I;(2)A∩A ̅=Φ . 【例1-14】设全体学生为全集I,如果男生为集合A,则A ̅表示为
女生集合.
1. 1. 5 集合的运算律
1)交换律
运 算 律
3)分配律
2)结合律
4)对偶律(德•摩根公式)
1. 1. 6
实数集
人们对数的认识从自然数发展到有理数(包括正负整数,正负分 数及零),再由有理数发展到无理数(例如e,π,√3等),如果令p,q为 整数,且q≠0,则一般有理数可用p/q表示,无理数不能用p/q表示.
1},A∩B={x|0<x≤3}. 【例1-13】 设A为全体有理数集合,B为全体无理数集合,则:A∪B为全
【例1-2】自然数的全体组成一个集合.每一个自然数都是这个集合的 元素.
【例1-3】直线x+3y+3=0上所有的点组成一个集合.这里直线的每个 点是这个集合的元素.
➢ 习惯上,我们用英文大写字母 A 、B、C、X、Y等表示集合,用英文小 写字母a、b、c、x、y等表示集合的元素.如果a是集合A的元素,则记 作a∈A,读作a属于A.如果a不是集合A的元素,则记作a∉A,读作a不属 于A.
1. 2. 1 函数的概念
➢ 问题3：图1-5反映了上海证券交易所的上证指数从201×年10 月1日到201×年12月31日的60个交易日的变化情形,由此图可 以看出在这段时间中上证指数随时间的变化.
➢ 从图1-5中我们可以看到,有日期t和指数I两个变量,当变量t在某 一范围内变化时(201×年第四季度有60个交易日),指数I随着日 期t的变化而变化,并且当t取某一日期时,有唯一上证指数I与之相 对应.
➢ 补集有以下性质:A∪A ̅=I;(2)A∩A ̅=Φ . 【例1-14】设全体学生为全集I,如果男生为集合A,则A ̅表示为
女生集合.
1. 1. 5 集合的运算律
1)交换律
运 算 律
3)分配律
2)结合律
4)对偶律(德•摩根公式)
1. 1. 6
实数集
人们对数的认识从自然数发展到有理数(包括正负整数,正负分 数及零),再由有理数发展到无理数(例如e,π,√3等),如果令p,q为 整数,且q≠0,则一般有理数可用p/q表示,无理数不能用p/q表示.
1},A∩B={x|0<x≤3}. 【例1-13】 设A为全体有理数集合,B为全体无理数集合,则:A∪B为全
《经济数学》教学课件 第一章 函数
（四）函数的有界性
设函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义．若存在一个正数 M ，使得对于区间 (a ，b) 内的一切 x 值， 恒有 | f (x) | M ，则称函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是有界函数，否则称函数 f (x) 为无界函数．
1.4 函数的性质
例 3 判断函数 f (x) ln(x x2 1) 的奇偶性．
(
x)=
4
1
x2
x 2 的定义域．
解 要使函数有意义，则有
4 x2 0 x2 0 成立，所以函数 f (x) 的定义域为 x (2 ，2) (2 ， ) ．
1.3 函数的表示法
常用的函数表示方法有三种：解析法、表格法和图形法．
解析法：也称公式法，是指将自变量和因变量之间的关系用数学式子来表示的方法．这些数 学式子称为解析表达式．根据解析表达式表示方法的不同，相应的函数可分为显函数、 隐函数和分段函数．
轴为渐近线，如图 1-2 所示
图 1-2
基本初等函数
（3）指数函数 y ax (a 0且a 1) 的定义域是 ( ， ) ．由于无论 x 取何值，总有 ax 0 且 a0 1 ，所以它的图形全部在 x 轴上方，通过点 (0 ，1) ，即值域是 (0， ) ．
当 a 1 时，函数单调增加且无界，曲线以 x 轴负半轴为渐近线． 当 0 a 1 时，函数单调减少且无界，曲线以 x 轴正半轴为渐近线，如图 1-3 所示．
定义 1-1 设 x 和 y 是两个变量， D 是给定的数集，如果对于每个 x D ，变量 y 按照某个 对应法则 f 总有一个唯一确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ．
这里，x 称为自变量，y 称为因变量或 x 的函数，数集 D 称为函数的定义域．当 x 取值 x0 时， 与 x0 对应的 y 的数值称为函数在点 x0 处的函数值，记作 f (x0 ) 或 y xx0 ．当 x 取遍 D 的各个数值 时，对应函数值的集合 Z {y | y f (x)，x D} 称为函数的值域．
设函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义．若存在一个正数 M ，使得对于区间 (a ，b) 内的一切 x 值， 恒有 | f (x) | M ，则称函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是有界函数，否则称函数 f (x) 为无界函数．
1.4 函数的性质
例 3 判断函数 f (x) ln(x x2 1) 的奇偶性．
(
x)=
4
1
x2
x 2 的定义域．
解 要使函数有意义，则有
4 x2 0 x2 0 成立，所以函数 f (x) 的定义域为 x (2 ，2) (2 ， ) ．
1.3 函数的表示法
常用的函数表示方法有三种：解析法、表格法和图形法．
解析法：也称公式法，是指将自变量和因变量之间的关系用数学式子来表示的方法．这些数 学式子称为解析表达式．根据解析表达式表示方法的不同，相应的函数可分为显函数、 隐函数和分段函数．
轴为渐近线，如图 1-2 所示
图 1-2
基本初等函数
（3）指数函数 y ax (a 0且a 1) 的定义域是 ( ， ) ．由于无论 x 取何值，总有 ax 0 且 a0 1 ，所以它的图形全部在 x 轴上方，通过点 (0 ，1) ，即值域是 (0， ) ．
当 a 1 时，函数单调增加且无界，曲线以 x 轴负半轴为渐近线． 当 0 a 1 时，函数单调减少且无界，曲线以 x 轴正半轴为渐近线，如图 1-3 所示．
定义 1-1 设 x 和 y 是两个变量， D 是给定的数集，如果对于每个 x D ，变量 y 按照某个 对应法则 f 总有一个唯一确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ．
这里，x 称为自变量，y 称为因变量或 x 的函数，数集 D 称为函数的定义域．当 x 取值 x0 时， 与 x0 对应的 y 的数值称为函数在点 x0 处的函数值，记作 f (x0 ) 或 y xx0 ．当 x 取遍 D 的各个数值 时，对应函数值的集合 Z {y | y f (x)，x D} 称为函数的值域．
全套电子课件：经济数学
1.1 函数的概念
函数的定义
定义1 设x，y是同一变化过程中的两个变量，若当x取其变化范围内任 一值时，按照某种对应规则，总能唯一确定变量y的一个值与之对应，则 称y是x的函数，记作
y＝f（x）
x 叫做自变量，y 叫做因变量．X 的取值范围叫做函数的定义域，与x 的值对应的y的值的集合叫做函数的值域．
1.1 函数的概念
例1
互换字母x，y得所求反函数为
1.1.4 函数的性质
1. 函数的奇偶性
定义２ 设函数y＝f(x)的定义域D关于原点对称，即x∈D<=>-x∈D
若f(-x)＝f(x)，x∈D，则称f（x）为偶函数； 若f(-x)＝-f(x)，x∈D，则称f（x）为奇函数．
3. 贴现 债券或其他票据的持有人，为了在票据到期以前获得资金， 从票面金额中扣除未 到期期间的利息后，得到所余金额的现金，这就是贴现． 假设未来n年复利年利率r不变，n年后到期价值R的票据现值为P，则由复利计算 公式（1.2）可得
例如，复利年利率为５％，５年后到期价值是1000元的票据的现值为
1.3.2 需求函数与供给函数
1.1 函数的概念
例1.5 判断下列函数的奇偶性．
解（１）因为 即 所以
f (x) (x)4 (x)2 8 x4 x2 8 f (x) f (x) f (x)
是偶函数。
所以，
即 所以
1.1 函数的概念
2. 函数的周期性
定义3 给定函数y＝f（x），x∈D，若存在常数T使得x∈D<=>x＋T∈D且f（x ＋T）＝f（x），x∈D，则称f（x）为周期函数，常数T称为周期．满足条件的 最小正数T称为f（x）的最小正周期，通常所说的周期函数的周期是指它的最小 正周期．例sinx，cosx是周期为２π的函数，tanx，cotx是周期为π的函数．以 T为周期的函数图像沿x轴方向左右平移T的整数倍，图像将重合．
经济数学第四章ppt课件
第一 lim ln(cot x) . x0 ln x
解
lim
ln(cot
x)
lim
1 cot
x
( csc2
x)
lim
x
( lim x )( lim 1 ) 1
x0 ln x
x0
1
x0 sin x cos x
x0 sin x x0 cos x
x
关于 x→∞时的未定式 型，上述洛比达法则同样适合.
f (x x) f (x) f / (x x)x. 这里 是介于 0 与 1 之间的一个数，也就是说，函数 f(x)在 x 处的改变量 y f / (x x)x ， 0＜ ＜1.（微分中值定理.）
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
页码：11
例 3 求 lim sin mx . x0 sin nx
解 lim sin mx lim m cos mx m . x0 sin nx x0 n cos nx n
上述关于
x
x0
时未定式
0 0
型的洛比达法则，对于
x→∞时未定式
0 0
型同样适合.
关于
x
x0
时未定式
型的情形，有如下定理.
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
(3) f (a) f (b) .
那么在(a，b)内至少存在一点ξ(a＜ξ＜b)，使得 f / ( ) 0 图 4-1
证明从略.
页码：1
罗尔定理的几何意义：如果函数 y f (x) 在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且在曲线段 AB 两端点的纵坐标相等，即 f (a) f (b) ，那么在曲线段 AB 上至少有一点 C( ， f / ( ) )，使得过该点的 切线平行于 x 轴(如图 4－1).
第四章 导数的应用 《经济数学》PPT课件
4.3.1
函数的极值
1) 极值的定义 ➢ 如图所示,函数f(x)有两个极大值f(x2),f(x4),三个极小值
f(x1),f(x3),f(x5),但这并不意味着f(x2)或f(x1)是函数f(x)在定义 域中的最大值或最小值,而只是对xi附近局部范围来说的,如图42所示的函数f(x),其极小值f(x5)甚至比极大值f(x2)大.
的灵敏程度,这就是经济量的弹性.一般来说,商品的需求量对市 场价格的反应是很灵敏的,反映当商品价格变动时需求量变动的 强弱程度的量就是需求弹性. • 设需求函数Q=f(P),这里P表示产品的价格,记该商品在点P0处的 需求弹性或需求弹性系数为: 记需求弹性函数为: • 在经济上表示,当产品的价格为P时,价格变动1%,需求量将变化 η%.
PART
04
4.5
导数在经济中的应用
4.5.1 导数的概念在经济中的应用
1) 边际分析 ➢ 在第1章中,我们介绍了几个经济中常用的函数: • 成本函数C(Q):给出生产Q单位产品的总成本. • 收益函数R(Q):给出销售Q单位产品的总收益. • 利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q):给出生产Q单位产品并全部销售出去后的总利润. ➢ 这三个函数中的自变量Q只能取非负整数,但对现代企业而言,产品的生产、
一般地,函数在给定的区间上的最大值与最小值可能在区间内部 的点处取得,也可能在区间的端点处取得.如果函数的最大值与最 小值是在区间内部的点处取得,那么这个最大值(或最小值)一定 也是极大值(或极小值).因此,对于在给定区间上的函数,可直接求 出极值可疑点(驻点和导数不存在的点)及区间端点处的函数值, 比较这些数值的大小,即可求出函数的最大值与最小值.
4.3.2 函数的最大(小)值
在第2章中我们曾经指出,闭区间上的连续函数一定存在最大值 和最小值.与极值概念不同的是,极值是一个局部性的概念,而最 大值(或最小值)是全局性的概念.最大值(或最小值)是函数在所 考察的区间内全部函数值中的最大者(或最小者),而极值只是函 数在极值点的某个邻域内的最大值或最小值.
第三章 导数与微分 《经济数学》PPT课件
CHAPTER
03
第3章 导数与 微分
PART
03
3.1
导数
导数是数学中的一个分支——微积分的两个基本概念之一,它
表示一个函数的因变量相对于自变量的变化的快慢程度,即因变 量关于自变量的变化率.事物总是在不断地运动和变化的,而描述 这种运动和变化离不开变化率,导数就是对现实生活中各种各样 的变化率的一种统一的数学抽象.导数是微积分以及实际生活中 应用极其广泛的概念,其应用范围包括函数性态的描述、曲线的 描绘、最优化问题的讨论以及变化率的分析等.
,
即函数在点x=0处的右导数不存在,所以函数f(x)在点x=0处的导
数不存在.
3. 1. 5
高阶导数
在本小节中,我们将讨论一个量的变化率的变化率.这样的变化率 有很多种,例如,汽车的加速度是它的速度关于时间的变化率,而 速度本身又是路程关于时间的变化率.如果路程的单位是千米,时 间的单位是小时,那么速度(路程关于时间的变化率)的单位是千 米/小时,而加速度(速度的变化率)的单位则是千米/小时2.
上述有关变化率的变化率的问题,在经济上是常用的.例如,在通 货膨胀时期,你可以听到经济部门的报告指出,“尽管通货膨胀率 在增长,但其增长速度在减缓”,就是指物价在上涨,但已经不比 以前那样增长得快了.
3. 1. 5
高阶导数
1) 高阶导数的概念 ➢ 设函数y=f(x)关于x的变化率由其导函数f '(x)给出.类似地,函数f
3.2 1 微分的定义
关于微分定义的几点说明: ➢ (1)函数的微分dy是Δx的一次函数,它不仅与Δx有关,而且与x也
有关.函数的微分dy与Δy只差一个比Δx高阶的无穷小,它是Δy的 主要部分,所以也称微分dy是函数改变量Δy的线性主部. ➢ (2)若函数y=f(x)在x处的改变量Δy可以表示成Δx的线性函数 k(x)Δx与一个比Δx高阶的无穷小之和Δy=k(x)Δx+o(Δx),则称 函数y=f(x)在点x处可微. ➢ (3)由于自变量x的微分dx=(x)'Δx=Δx,故dx可理解为自变量x的 改变量Δx.于是dy=f '(x)Δx=f '(x)dx,即函数的微分等于函数的 导数乘上自变量的微分.
03
第3章 导数与 微分
PART
03
3.1
导数
导数是数学中的一个分支——微积分的两个基本概念之一,它
表示一个函数的因变量相对于自变量的变化的快慢程度,即因变 量关于自变量的变化率.事物总是在不断地运动和变化的,而描述 这种运动和变化离不开变化率,导数就是对现实生活中各种各样 的变化率的一种统一的数学抽象.导数是微积分以及实际生活中 应用极其广泛的概念,其应用范围包括函数性态的描述、曲线的 描绘、最优化问题的讨论以及变化率的分析等.
,
即函数在点x=0处的右导数不存在,所以函数f(x)在点x=0处的导
数不存在.
3. 1. 5
高阶导数
在本小节中,我们将讨论一个量的变化率的变化率.这样的变化率 有很多种,例如,汽车的加速度是它的速度关于时间的变化率,而 速度本身又是路程关于时间的变化率.如果路程的单位是千米,时 间的单位是小时,那么速度(路程关于时间的变化率)的单位是千 米/小时,而加速度(速度的变化率)的单位则是千米/小时2.
上述有关变化率的变化率的问题,在经济上是常用的.例如,在通 货膨胀时期,你可以听到经济部门的报告指出,“尽管通货膨胀率 在增长,但其增长速度在减缓”,就是指物价在上涨,但已经不比 以前那样增长得快了.
3. 1. 5
高阶导数
1) 高阶导数的概念 ➢ 设函数y=f(x)关于x的变化率由其导函数f '(x)给出.类似地,函数f
3.2 1 微分的定义
关于微分定义的几点说明: ➢ (1)函数的微分dy是Δx的一次函数,它不仅与Δx有关,而且与x也
有关.函数的微分dy与Δy只差一个比Δx高阶的无穷小,它是Δy的 主要部分,所以也称微分dy是函数改变量Δy的线性主部. ➢ (2)若函数y=f(x)在x处的改变量Δy可以表示成Δx的线性函数 k(x)Δx与一个比Δx高阶的无穷小之和Δy=k(x)Δx+o(Δx),则称 函数y=f(x)在点x处可微. ➢ (3)由于自变量x的微分dx=(x)'Δx=Δx,故dx可理解为自变量x的 改变量Δx.于是dy=f '(x)Δx=f '(x)dx,即函数的微分等于函数的 导数乘上自变量的微分.
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1、供给函数Q Q D
Q Q( p)
2、需求函数 D 3、成本函数C
D D( p) p
p0 平衡价格
C C0 C( p)
4、收益（收入）函数（GDP)R R pD
5、利润函数L R C
常见的经济概念： 1）边际 2）弹性 如：有一个工厂生产某种原件， 每10个一组加工成商品，在生产 第100个商品时，成本500元，问： 在生产第101个商品时，成本将 增加多少？
f (b) M
f (a) f (x0 )m
a x0
b
怎么求最值？
1、求全部的驻点的函数值、端点值；
2、比较大小。
如何求：定义在开区间内的函数的 最大值与最小值？ 极大值=最大值
无极值
a
b
极小值=最小值
a
b
有极值，无最值
有极值，有最值
a
ba
b
例4 求函数y x3 3x2 9x 5在区间(0,4)
ED Ep
p0
D( p0 ) D0
当价格增加原来的1%时， 需求量将增加原来的几%？
切线
1、导数公式的由来f ( f (x0 )
x0
x)f
割线
(x)
x0
x x0 x
x
斜率：直线倾角的正切。 k tan
k y2 y1 x2 x1
k割
f (x0 x) x
f (x0 )
k切
lim
x0
f
( x0
x
y f (x)单调减少~倾角为钝角~ tan 0
~ k切 0 ~ f (x) 0
例1 判断函数y ln x在定义域内的单调性。 分析： y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
函数y ln x的定义域：x 0 y (ln x) 1 0 x y ln x单调增加
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
f
(
x0
)
f (x0 )
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0 )
二、导数的基本公式
x) x
f
(x0 )
即时速度
S(t0 ) S(t0 t)
O
t0 t t0 +t
v S(t0 t) S(t0 ) t
v(t0
)
lim
t 0
S
(t0
t) t
S (t0
)
k切
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
I lim Q t0 t
Q
t0 +t t0 沉淀方法，得到一种运算：
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
f (x0 )
在x0的基础上，再多生产一个单位产品 y f (x)将增加多少？
y f (x0 x) f (x0 )
x
x
y f (x0 )
2）弹性 p p0
D
D0 p p0
D
D0
ED 叫做：弹性。 Ep
D
ED Ep
D0 p
D p0 D0 p
p0 ( D ) D0 p
p0
p0 D( p) D0
解： y 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3)
令：y 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) 0
驻点：x1 1, x2 3
1
3
当：x 当：1 当：x
1时，y 0; x 3时，y 3时，y 0;
0;
f
(1)
10为极大值。
f
(3)
22为极小值。
（3）如何求最值？ 什么是最值？
导数的应用
1、函数单调性的导数判别 2、函数的极值与最值 3、导数的经济应用 4、边际与弹性
1、函数单调性的导数判别
1)什么是函数的单调性？
k切 =tan
y2 x2
y1 x1
f (x)
x
y f (x)单调增加~倾角为锐角~ tan 0
~ k切 0 ~ f (x) 0
y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
2)如何求函数的极值？
（1）极值的定义 f (x1) f (x)
f (x0 ) f (x)
x
x0
x1
极大值一定比极小值大吗？
极大值与极小值是相对而言的，是局部的。
（2）如何求极值？
函数的极值具有什么特征？
f (x1) f (x) f (x0 ) f (x)
x
x0
x1
叫：驻点。
如果f (x0 )是极值，有结论：f (x0) 0
内的最值。
解： y 3x2 6x 9
3(x2 2x 3)
3
3(x 1)(x 3) 令：y 0 x1 （1 舍）, x2 3 f (3)
在（0, 4）内只有一个驻点，x2 3
1
x 3时，y 0; x 3时，y 0;
f
(3)为最小值。
3)经济问题的应用
常见的经济函数：
例2 求函数y x3 3x2 9x 5的单调区间
y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
分析：定义域：x (, ) y 3(x 1)(x 3)
若y 0,有：(x 1)(x 3) 0，x 1或x (, 1) (3, )为单调增加区间 若y 0,有：(x 1)(x 3) 0 1 x 3 （1，3)为单调减少区间
有一工厂生产某种商品，成本函数为 C 1000 2x2 4x
求在生产100个商品的基础上，再多生产 一个单位商品，成本将增加多少？
C101 C(101) C(100) C(101) C(100) 101100
(2 201 4) 402 4 398 1
y f (x) 在x0的基础上，在多算x个产品，
1、(c) =0 2、(x) 1 3、(x2 ) 2x 4、(x3) 3x2
5、
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
如果x0点是驻点，f (x0 )可能是极致；
如果x0点不是驻点，f (x0 )不可能是极值。
f (x0 )极大
y 0
y 0
x
1）f (x0 ) 0 2）x x0时，f (x) 0
x0
x x0时，f (x) 0
f (x0 )极小 3) f (x0 )极大值。
y 0
y 0
x
x0
例3 求函数y x3 3x2 9x 5的极值。
Q Q( p)
2、需求函数 D 3、成本函数C
D D( p) p
p0 平衡价格
C C0 C( p)
4、收益（收入）函数（GDP)R R pD
5、利润函数L R C
常见的经济概念： 1）边际 2）弹性 如：有一个工厂生产某种原件， 每10个一组加工成商品，在生产 第100个商品时，成本500元，问： 在生产第101个商品时，成本将 增加多少？
f (b) M
f (a) f (x0 )m
a x0
b
怎么求最值？
1、求全部的驻点的函数值、端点值；
2、比较大小。
如何求：定义在开区间内的函数的 最大值与最小值？ 极大值=最大值
无极值
a
b
极小值=最小值
a
b
有极值，无最值
有极值，有最值
a
ba
b
例4 求函数y x3 3x2 9x 5在区间(0,4)
ED Ep
p0
D( p0 ) D0
当价格增加原来的1%时， 需求量将增加原来的几%？
切线
1、导数公式的由来f ( f (x0 )
x0
x)f
割线
(x)
x0
x x0 x
x
斜率：直线倾角的正切。 k tan
k y2 y1 x2 x1
k割
f (x0 x) x
f (x0 )
k切
lim
x0
f
( x0
x
y f (x)单调减少~倾角为钝角~ tan 0
~ k切 0 ~ f (x) 0
例1 判断函数y ln x在定义域内的单调性。 分析： y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
函数y ln x的定义域：x 0 y (ln x) 1 0 x y ln x单调增加
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
f
(
x0
)
f (x0 )
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0 )
二、导数的基本公式
x) x
f
(x0 )
即时速度
S(t0 ) S(t0 t)
O
t0 t t0 +t
v S(t0 t) S(t0 ) t
v(t0
)
lim
t 0
S
(t0
t) t
S (t0
)
k切
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
I lim Q t0 t
Q
t0 +t t0 沉淀方法，得到一种运算：
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
f (x0 )
在x0的基础上，再多生产一个单位产品 y f (x)将增加多少？
y f (x0 x) f (x0 )
x
x
y f (x0 )
2）弹性 p p0
D
D0 p p0
D
D0
ED 叫做：弹性。 Ep
D
ED Ep
D0 p
D p0 D0 p
p0 ( D ) D0 p
p0
p0 D( p) D0
解： y 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3)
令：y 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) 0
驻点：x1 1, x2 3
1
3
当：x 当：1 当：x
1时，y 0; x 3时，y 3时，y 0;
0;
f
(1)
10为极大值。
f
(3)
22为极小值。
（3）如何求最值？ 什么是最值？
导数的应用
1、函数单调性的导数判别 2、函数的极值与最值 3、导数的经济应用 4、边际与弹性
1、函数单调性的导数判别
1)什么是函数的单调性？
k切 =tan
y2 x2
y1 x1
f (x)
x
y f (x)单调增加~倾角为锐角~ tan 0
~ k切 0 ~ f (x) 0
y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
2)如何求函数的极值？
（1）极值的定义 f (x1) f (x)
f (x0 ) f (x)
x
x0
x1
极大值一定比极小值大吗？
极大值与极小值是相对而言的，是局部的。
（2）如何求极值？
函数的极值具有什么特征？
f (x1) f (x) f (x0 ) f (x)
x
x0
x1
叫：驻点。
如果f (x0 )是极值，有结论：f (x0) 0
内的最值。
解： y 3x2 6x 9
3(x2 2x 3)
3
3(x 1)(x 3) 令：y 0 x1 （1 舍）, x2 3 f (3)
在（0, 4）内只有一个驻点，x2 3
1
x 3时，y 0; x 3时，y 0;
f
(3)为最小值。
3)经济问题的应用
常见的经济函数：
例2 求函数y x3 3x2 9x 5的单调区间
y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
分析：定义域：x (, ) y 3(x 1)(x 3)
若y 0,有：(x 1)(x 3) 0，x 1或x (, 1) (3, )为单调增加区间 若y 0,有：(x 1)(x 3) 0 1 x 3 （1，3)为单调减少区间
有一工厂生产某种商品，成本函数为 C 1000 2x2 4x
求在生产100个商品的基础上，再多生产 一个单位商品，成本将增加多少？
C101 C(101) C(100) C(101) C(100) 101100
(2 201 4) 402 4 398 1
y f (x) 在x0的基础上，在多算x个产品，
1、(c) =0 2、(x) 1 3、(x2 ) 2x 4、(x3) 3x2
5、
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
如果x0点是驻点，f (x0 )可能是极致；
如果x0点不是驻点，f (x0 )不可能是极值。
f (x0 )极大
y 0
y 0
x
1）f (x0 ) 0 2）x x0时，f (x) 0
x0
x x0时，f (x) 0
f (x0 )极小 3) f (x0 )极大值。
y 0
y 0
x
x0
例3 求函数y x3 3x2 9x 5的极值。