经济数学课件

内的最值。
解： y 3x2 6x 9
3(x2 2x 3)
3
3(x 1)(x 3) 令：y 0 x1 （1 舍）, x2 3 f (3)
在（0, 4）内只有一个驻点，x2 3
1
x 3时，y 0; x 3时，y 0;
f
(3)为最小值。
3)经济问题的应用
常见的经济函数：
在x0的基础上，再多生产一个单位产品 y f (x)将增加多少？
y f (x0 x) f (x0 )
x
x
y f (x0 )
2）弹性 p p0
D
D0 p p0
D
D0
ED 叫做：弹性。 Ep
D
ED Ep
D0 p
D p0 D0 p
p0 ( D ) D0 p
p0
p0 D( p) D0
有一工厂生产某种商品，成本函数为 C 1000 2x2 4x
求在生产100个商品的基础上，再多生产 一个单位商品，成本将增加多少？
C101 C(101) C(100) C(101) C(100) 101100
(2 201 4) 402 4 398 1
y f (x) 在x0的基础上，在多算x个产品，
1、供给函数Q Q D
Q Q( p)
2、需求函数 D 3、成本函数C
D D( p) p
p0 平衡价格
C C0 C( p)
4、收益（收入）函数（GDP)R R pD
5、利润函数L R C
常见的经济概念： 1）边际 2）弹性 如：有一个工厂生产某种原件， 每10个一组加工成商品，在生产 第100个商品时，成本500元，问： 在生产第101个商品时，成本将 增加多少？
如果x0点是驻点，f (x0 )可能是极致；
如果x0点不是驻点，f (x0 )不可能是极值。
f (x0 )极大
y 0
y 0
x
1）f (x0 ) 0 2）x x0时，f (x) 0
x0
x x0时，f (x) 0
f (x0 )极小 3) f (x0 )极大值。
y 0
y 0
x
x0
例3 求函数y x3 3x2 9x 5的极值。
ED Ep
p0
D( p0 ) D0
当价格增加原来的1%时， 需求量将增加原来的几%？
切线
1、导数公式的由来f ( f (x0 )
x0
x)f
割线ห้องสมุดไป่ตู้
(x)
x0
x x0 x
x
斜率：直线倾角的正切。 k tan
k y2 y1 x2 x1
k割
f (x0 x) x
f (x0 )
k切
lim
x0
f
( x0
x
y f (x)单调减少~倾角为钝角~ tan 0
~ k切 0 ~ f (x) 0
例1 判断函数y ln x在定义域内的单调性。 分析： y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
函数y ln x的定义域：x 0 y (ln x) 1 0 x y ln x单调增加
x) x
f
(x0 )
即时速度
S(t0 ) S(t0 t)
O
t0 t t0 +t
v S(t0 t) S(t0 ) t
v(t0
)
lim
t 0
S
(t0
t) t
S (t0
)
k切
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
I lim Q t0 t
Q
t0 +t t0 沉淀方法，得到一种运算：
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
1、(c) =0 2、(x) 1 3、(x2 ) 2x 4、(x3) 3x2
5、(xn ) nxn1
6、(x ) x1
7、(ex ) ex
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
f
(
x0
)
f (x0 )
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0 )
二、导数的基本公式
例2 求函数y x3 3x2 9x 5的单调区间
y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
分析：定义域：x (, ) y 3(x 1)(x 3)
若y 0,有：(x 1)(x 3) 0，x 1或x (, 1) (3, )为单调增加区间 若y 0,有：(x 1)(x 3) 0 1 x 3 （1，3)为单调减少区间
导数的应用
1、函数单调性的导数判别 2、函数的极值与最值 3、导数的经济应用 4、边际与弹性
1、函数单调性的导数判别
1)什么是函数的单调性？
k切 =tan
y2 x2
y1 x1
f (x)
x
y f (x)单调增加~倾角为锐角~ tan 0
~ k切 0 ~ f (x) 0
y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
f (b) M
f (a) f (x0 )m
a x0
b
怎么求最值？
1、求全部的驻点的函数值、端点值；
2、比较大小。
如何求：定义在开区间内的函数的 最大值与最小值？ 极大值=最大值
无极值
a
b
极小值=最小值
a
b
有极值，无最值
有极值，有最值
a
ba
b
例4 求函数y x3 3x2 9x 5在区间(0,4)
解： y 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3)
令：y 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) 0
驻点：x1 1, x2 3
1
3
当：x 当：1 当：x
1时，y 0; x 3时，y 3时，y 0;
0;
f
(1)
10为极大值。
f
(3)
22为极小值。
（3）如何求最值？ 什么是最值？
f (x0 )
2)如何求函数的极值？
（1）极值的定义 f (x1) f (x)
f (x0 ) f (x)
x
x0
x1
极大值一定比极小值大吗？
极大值与极小值是相对而言的，是局部的。
（2）如何求极值？
函数的极值具有什么特征？
f (x1) f (x) f (x0 ) f (x)
x
x0
x1
叫：驻点。
如果f (x0 )是极值，有结论：f (x0) 0