排队论习题五

习题五
[5-1] 设某地铁站口顾客流是泊松流，每小时平均有120人乘车，求在1分钟内无人乘车，有1、2、3、4人乘车的概率，1分钟内有超过1人乘车的概率。

[5-2] 设货车按泊松流到达车站，平均每天到达2辆，装卸货物时间服从负指数分布，平均每天可装卸3车。

求每辆货车在车站平均停留时间，平均有多少车在排队等待装卸。

[5-3] 设某个售票点只有一个窗口，顾客到达服从泊松分布，平均每分钟到达1人，窗口售票时间服从负指数分布，平均每分钟可服务2人。

求系统平稳状态下的平均队长、平均等待队长、平均等待时间、顾客逗留时间、顾客不等待的概率以及等待队长超过5人时的概率。

[5-4] 某超市的顾客按泊松流到达，平均每小时12人，收款台收费时间服从负指数分布，平均每位顾客需要4分钟。

求该超市的效益指标。

[5-5] 设某产品是生产过程中需要的，若进货过多，会造成保管费增加，若存货不足会影响生产，因此需要找到合理的库存量S ，使得库存费用与缺货损失的总和最小。

设对这种产品的需求量是泊松分布，参数为λ，生产这种产品的时间服从负指数分布，参数为μ。

库存一件该产品单位时间费用为C ，缺少一个该产品造成损失H ，求最优库存S 。

[5-6] 设某单位需要购置计算机，一种方案是购置一台大型计算机，一种方案是购置n 台微型计算机，每台微型计算机是大型计算机处理能力的1/n 。

设要求上机的题目是参数为λ的泊松流，大型与微型计算机计算题目时间是服从负指数分布，大型计算机的参数为μ，试从平均逗留时间、平均等待时间分析，选择哪种方案合适。

[5-7] 设某信访部门的接待人员每天工作10小时，来访人员的到来和接待时间都是随机的，每天平均有90人到来，接待的平均速率为10人/小时。

求排队等待的平均人数，等待接待的人多于2人的概率，若要使等待的人平均为2人，接待的速率应提高多少？
[5-8] 设[0,t )内到达的顾客服从泊松分布，参数为λ。

只有单个服务员、服务时间为负指数分布，平均服务时间为1/μ。

试证明：(1) 在服务员的服务时间内到达顾客的平均数为λ/μ；(2) 在服务员的服务时间内无顾客到达的概率为μ/(λ+μ)。

[5-9] 设有单个服务员、服务时间为负指数分布的排队系统，平均服务时间为1/μ；到达服务点的顾客数服从泊松分布，参数为λ，求顾客到达时系统中已有n 个或n 个以上的顾客的概率。

[5-10] 设有题5-9所给定的排队服务系统，设排队已经到达统计平稳状态。

服务的规则是先到先服务。

设y 代表一顾客花费在排队等候的时间和服务时间的总和。

求y 的概率密度f y (t)，并证明：
(1) 一个顾客花费在系统内的时间小于或等于x 的概率为x e
)(1λμ−−−；
(2) 一个顾客花费在排队的时间小于或等于x 的概率为 1(0)x λμ−=；()1()[1](0)x e x μλλμλ−−−+−>
[5-11] 设电话总机有3条线路，一条线路平均每分钟有0.8次呼叫，每次通话时间平均1.5分钟。

求系统的平稳分布、绝对和相对通过能力、损失概率及占用线路的平均数。

[5-12] 设运输船到码头，在港口停留1小时损失C 1元，而接受港口服务费用正比服务率每小时C 2元，进港船只数服从参数为λ的泊松分布，装卸服务时间服从参数为μ的负指数分布。

求整个系统总费用最小的服务率μ。

[5-13] 设网络系统有两个端口可对用户提供服务，用户按泊松流到达，平均每分钟有0.8个用户，服务时间服从同一指数分布，每次服务平均2分钟。

求网络系统的平稳分布、绝对通过能力、用户占用端口的平均数、无用户排队概率、平均队长与等待队长、排队时间与逗留时间。

[5-14]设有一个服务员，服务时间为参数μ的负指数分布，到达顾客数服从泊松分布，参数为λ。

在这个服务系统中再作如下规定；当顾客被服务结束后，他依概率α离开系统，再依概率(1-α)再重新去排队，于是一顾客可多次被服务。

(1)建立这个系统的平衡方程，求系统进入统计平稳后取各状态的概率，并说明存在统计平稳的条件；(2)求顾客从进入系统起到他第一次被服务所花费的排队等候的平均值；(3)求顾客进入系统后一共被服务了n次的概率(n≥1)；(4)求顾客被服务的时间平均值(不包括该顾客在系统内排队等候的时间)。

[5-15] 设某营业点有5个服务窗口，场地设有10个等待座位，顾客以泊松流到达，平均每6分钟到达一位，服务时间服从负指数分布，平均每30分钟服务一个顾客。

当顾客到达时，发现等待座位已满，则自动离开。

求系统损失率、平均进入系统顾客数、平均等待队长、系统利用率。

若服务一个顾客收入G元，而每设一个等待座位时间费用G/30元，每小时固定费用E元，单位时间单位服务费用G/2元，求出最优等待座位数量。

[5-16]设某加油站有两台泵，只有当顾客抵达加油站时泵有空闲，方可立刻对该顾客进行服务，顾客才进入系统；否则，如顾客见到二台泵均被占用便立即离去。

潜在的顾客按泊松分布规律抵达加油站，其参数为λ；加油站对顾客的服务时间是负指数分布的随机变量，其平均服务时间为1/μ。

求进入加油站接受服务的顾客与抵达加油站的潜在顾客的比率。

[5-17] 试比较m个M/M/1排队系统与一个M/M/m排队系统的技术指标。

假设顾客到达这两种系统的间隔时间服从参数为λ的泊松分布，每个服务台的服务率都是μ。

[5-18]设一自动加油站有2根加油管，平均每分钟有2辆汽车到达，每次加油平均时间为2分钟，加油站最多只能停3辆汽车，超过3辆不予加油，求系统效率指标(加油站空闲的概率、损失概率、相对通过能力、绝对通过能力、占用油管的平均数、平均排队队长、平均排队时间、平均逗留时间)。

[5-19]某项作业包括三台同一类型的机器和二个维修工。

每台机器的正常工作时间(从开始工作到遭受损坏而不能工作的时间间隔)是按负指数规律分布的随机变量，其平均工作时间为10小时。

一个维修工维修一台机器所需要的时间也是按负指数分布的随机变量，其平均维修时间为8小时。

求：(1) 不工作机器的数学期望；(2) 两个维修工均忙着维修机器所占的时间。

[5-20]设某工厂的机器发生故障服从泊松流，平均每天有1台机器发生故障需要修理，修理一台机器平均花费20元，有2个修理工人A和B，其中工人A每天能修理1.2台机器，每天工资30元，工人B每天能修理1.5台机器，每天工资50元，两个工人修理机器的时间均为指数分布，试问工厂使用哪个工人更合理。

如果使用两个修理工，效果如何。

[5-21]设有一出租汽车站。

到达该站的出租汽车数服从泊松分布，平均每分钟到达一辆出租汽车；到达该站的顾客数也服务泊松分布，平均每分钟到达顾客2人。

如果出租汽车到站时无顾客候到。