深大数学分析真题

2006年深圳大学硕士研究生入学专业课试题 考试科目:：数学分析

一、计算（每小题8分）

1．求极限3113

lim()11

x x x →--++ 2．求极限1

ln lim(cot )x x x →∞

3．计算sin x

e xdx ⎰ 4．求级数11

(1)

n n n ∞

=+∑

的和

5．设ln x y y u x y x -=

+，验证0u u

x y x y

δδδδ+= 6．选取适当的p ，使得当n →+∞时，211sin n n 与1

p n

等价。

7．已知函数的参数表达式是：(),()x t y t ϕψ==，求y 关于x 的一阶和二阶导数。

8

．计算2

2

lim

x x x

→⎰

9．设D 是由直线0,1x y ==以及y x =所围成的区域，求重积分2

2y D

I x e dxdy -=⎰⎰

10．计算第一型曲线积分22()C

x y ds +⎰，其中C 是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形。

二．证明：（每小题10分） 1．求证：当0x →时，函数1

()sin

f x x

=没有极限。 2．求证：极限0

lim ()x x f x →存在的必要和充分条件是函数()f x 在0x 处的左、右极限存在且相等。

3．设()f x 在0x x =点附近可导，而且000,(1,2,...),,()n n n n x n x x n αβαβ<<=→→→∞，求证

'0()()

lim

()n n n n n

f f f x βαβα→∞

-=-

4．设数列{}n x 满足下面的条件：

11,2,...n n x k x n +≤=

其中01k <<，求证：lim 0n n x →∞

=

5．设()f x 在[.]a b 上连续，且对于所有那些在[.]a b 上满足附加条件()()0g a g b ==的连续函数

()g x ，有()()0b

a

f x

g x dx =⎰，证明：在[.]a b 上，()0f x ≡

三．证明题（任选两题，每题10分） 1．定义函数如下：

1(,)(0)1,()0m x m n R R x n n

x ⎧=⎪

==⎨⎪⎩互质为无理数

≤≤(0x 1)。证明：()R x 在[0,1]中的无理点处连续，而在[0,1]中的有理点处不连续。

2．若()f x 在有限区间(,)a b 内一致连续，则可补充()f a 和()f b ，使得()f x 在[,]a b 上连续。

3．设n ()u x 是区间[,]a b 上的连续函数(1,2,...)n =，函数项级数1

()n n u x ∞

=∑在区间[,]a b 上处处收敛，

而且一致收敛，求证：其和函数1

()()n n S x u x ∞

==∑在[,]a b 上连续。

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