非线性随机动力系统的概率密度演化分析

将式 ( 16) 、 式 ( 17) 带入 , 有
・
Z( t) = G [ H X (Θ, t) , h X (Θ, t) ] = h (Θ, t) ( 19 )
∫p
Ω Θ
Θ Z
( z ,θ, t) d θ
( 24)
显然 , 从式 ( 19) 可知 , 在增广系统 ( Z( t) ,Θ) 中 , 所有的随机因素均来自 Θ, 因此 , 在演化过程中 该系 统 概 率 守 恒 。从 而 , 对 于 任 意 随 机 事 件 Ω θ} , 这里 Ω { ( Z( t0 ) ,Θ) ∈Ω 0 × 0 为 Z 的初始取值 空间中任意区域 ,Ω θ 为 Θ 空间中的任意区域 。 若t 时刻 Ω0 对应的区域为 Ωt , 则该随机事件的概率测 度不变 , 从而
( 22)
换言之 , 对任意多维复杂随机动力系统 , 总可 以获得一维的广义密度演化方程 。 式 ( 22) 的初始 条件 :
( z - z 0 ) pΘ (θ ) p ZΘ ( z ,θ, t0 ) = δ ( 23)
某截面的内力或变形等 。 一般地 , 这些物理量总可 以通过速度与位移来确定 , 即
・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
( 2)
式中 I 为全部元素为 1 的 n 维列向量 , x g ( t) 为地 震加速度过程 ; X , X 和 X 分别为相对加速度 、 相对
第3期
陈建兵 ,等 : 非线性随机动力系统的概率密度演化分析
313
速度和相对位移 。 引入状态向量 Y = ( XT , XT ) T , 方程 ( 1) 可转 化为状态方程的形式 :
f j ( t) =
k =0
< ∑
j , k+1
φ k ( t)
( 10) ( 11)
= Dd t , D 为正定对称矩阵。
π φk ( t) = 1 cas 2 kt , k = 0 , 1 , 2 , …
T T
在此情况下 , 记 Y( t) 的联合概率密度函数为
p Y ( y , t) , 经过一系列推导可得著名的 FP K 方程
式中 φ k ( t) 是 Hartley 正交基函数 , cas ( t) = sin ( t)
+ co s ( t) 。
5 p Y ( y , t) = 5t
1 2
5 [ p Y ( y , t) ai ( y , t) ] + ∑ 5 yi i =1
2n 2n
2n
而地震动加速度过程则可以进一步表达为
否则为非线性系统 。 若激励 F ( t) 是随机过程或随 机过程向量 , 例如在地震或强风的情况下 , 方程 ( 1) 是一个随机振动问题 。 为明确本文以地震激励为 例 , 此时 F ( t) = - MI x g ( t) , 方程 ( 1) 变为
M X + C X + f ( X) = - MI x g ( t)
对于相关结构已知的随机过程或随机场 , 可以 采用相关结构分解将其表达为一系列确定性函数的 随机组合[ 15 ] 。 例如 , 采用 Karhunen2Loeve 分解[ 16 ] , 若 某随机过程 X ( t) 的相关函数为 K X ( t1 , t2 ) , 则 X ( t) 可分解为
s
3 广义密度演化方程及其求解思路
率密度演化方程 , 如 Lio uville 方程 、 FP K 方程和
Do st upov2 Pugachev 方 程 。 不仅如此 ,结合概率
收稿日期 :2008208228 ; 修改稿收到日期 :20082102231 基金项目 : 国家自然科学基金创新研究群体科学基金 (50621062) 和教育部新世纪优秀人才支持计划 联合资助项目 1 作者简介 : 陈建兵 3 (19752) ,男 ,博士 ,副教授 ( E2mail : chenjb @tongji. edu. cn) 李 杰 (19572) ,男 ,特聘教授 ,博士生导师 .
[5 ] [ 3 ,4 ]
。然而 , 在多自由度非线性
体系的随机振动分析问题上 ,经典随机振动理论遇 。20 世纪 90 年代中期以来发 展起来的 Hamilto n 理论体系 , 对白噪声或滤过白 噪声激励的情况 ,获得了几大类多自由度非线性系 统的精确平稳解[ 6 ] 。然而 ,对更一般激励下多自由 度非线性系统非平稳反应的分析 , 则仍然付之阙 如。 近年来发展的概率密度演化理论
陈建兵 3 1 , 刘章军1 ,2 , 李 杰1
( 1. 同济大学 土木工程学院 土木工程防灾国家重点实验室 ,上海 200092 ; 2. 三峡大学 土木水电学院 ,宜昌 443002)
摘 要 : 阐述了基于概率密度演化理论进行多自由度结构非线性随机动力反应分析的基本思想 。采用随机过程 的正交分解或物理系统建模的思想 ,实现随机激励的随机函数表述 。对由此获得的随机状态方程采用概率密度 演化理论求解 ,可以获得随机动力系统反应的概率密度函数及其演化 。以某剪切型框架结构的非线性随机地震 反应分析为例 ,说明了所发展方法的可行性和有效性 。 关键词 : 随机动力系统 ; 非线性 ; 概率密度演化 ; 概率守恒 ; 正交分解 中图分类号 :O3131 7 文献标识码 :A
s
0
( 4)
对上述方程中随机激励的不同处理 , 导致了不 同的分析思路 。
21 1 It 随机微分方程与 FPK 方程
若假定 F ( t) 为白噪声过程 , 则微分方程 ( 3) 可 理解为 It 随机微分方程[ 14 ] :
d Y( t) = A ( Y , t) d t + B dW ( t)
( 8)
式中
A ( Y , t) = - M
-1
与 It 随机微分方程只能处理白噪声激励不
CX - M X
・ ・
-1
f ( X)
, B =
M
-1
同 ,上述分解可以适用于非平稳过程 。 但在一般情 况下 ,为了较好地逼近原随机过程 , 式 ( 7) 所需的 项数往往需要达到数百 ,这给实际处理带来了较大 的困难 。 研究表明 , 采用一类 Hartley 正交基函数 并应用能量等效原理可以使得所需的项数大为减 少[ 12 ] 。 例如 , 对地震动过程 X g ( t) , 有
1 引
言
守恒原理的随机事件描述和任意维 Lagrange 描 述 ,获得了广义密度演化方程 , 从而使得多自由度 非线性随机结构的随机反应分析与可靠度分析成 为可能 [ 10 ,11 ] 。事实上 , 引用对随机激励的正交分 解或物理随机过程模型[ 12 ,13 ] , 具有随机激励的非 线性系统 ,可转化为一类不同于 I t 随机微分方程 的随机状态方程 , 进而 , 通过求解广义密度演化方 程即可获得该非线性系统随机反应的概率密度函 数及其演化 。本文即利用这一基本思想进行非线 性随机动力系统的概率密度演化分析 。以某 10 层 剪切型框架结构为例 ,说明了所发展方法的有效性 和可行性 。
( 5)
X g (ζ, t) =
j =1
ζ ∑
j
λj f j ( t)
( 9)
式中
N- 1
式中 , 在形式上可认为 dW ( t) = F ( t) d t , 其中 W ( t) 为
T n 维 Wiener 过程 , 且 E[ dW ( t) ] = 0 , E[ dW ( t) dW ( t) ]
[ 729 ]
2 两类随机状态方程
不失一般性 ,多自由度结构体系的动力方程为
M X + C X + f ( X) = F ( t)
・ ・ ・
( 1)
, 从状态
)为 式中 M 和 C 分别为 n ×n 质量与阻尼矩阵 , f ( ・ n 维恢复力向量 ; X , X 和 X 分别为 n 维加速度 、 速度
21 2 随机过程的正交分解与随机状态方程
M X + C X + f ( X) = - M I X g (ζ, t)
・ ・
・
・ ・
( 14)
ζ ζ 进而 , 若记 Θ = (ζ 1 , 2 , …, s ) , 上式可改写为
Y = G( Y,Θ, t)
・
( 15)
此即为与一般随机函数激励相应的随机状态方程 。 顺便指出 , 对地震和风速激励过程 , 采用基于 物理的随机建模方法 [ 13 , 17 ] , 亦可实现由随机函数 描述的随机状态方程 。
・ x0
理量的关心往往可以转化为依次对单个物理量的
,Θ, t) ( 16 )
关心 , 即 m = 1 , 广义密度演化方程 ( 21) 退化为如 下的一维方程 :
・ 5 p ZΘ ( z ,θ, t) 5 p ZΘ ( z ,θ, t) + Z (θ, t) = 0 5t 5z
类似地 , 可记其速度为
31 1 广义密度演化方程
X ( t) • X 0 ( t) +
j =1
ζ ∑
j
λj f j ( t)
( 7)
对适定的微分方程 ( 14) 或 ( 15) , 在给定的初 始条件下 , 其解答存在 、 唯一且依赖于随机参数 Θ,
314
计
算
力
学
学
报
第 26 卷
不妨记为
X = H X ( x0 ,
( 6)
・ ・
s
5 [ p Y ( y , t)σ ij ( y , t) ] ∑ ∑ 5 y 5 y i j i =1 j =1 T 式中 σ ij 是扩散矩阵σ 的分量 ,σ = BDB 。
X g (ζ, t) =
j =1
ζ ∑
j
λj F j ( t)
( 12)
式中
N- 1
这是一类概率密度演化方程 。 顺便指出 , 从概 率守恒原理的状态空间描述出发 , 亦可导出上述方 程并获 得 关 于 FP K 方 程 物 理 意 义 的 进 一 步 认 识
第26卷第3期
2009 年 6 月
计 算 力 学 学 报
Vol . 2 6 , No . 3 J une 2009
Chinese Journal of Computational Mechanics
文章编号 :100724708 ( 2009) 0320312206
非线性随机动力系统的概率密度演化分析
X = h X ( x0 , x0 ,Θ, t)
・ ・ ・ ・
( 17 )
式中 x0 和 x0 分别为 X 和 X 的初始值向量 , 当为确 定性初始值时 , 为简单计 , 在后续公式中将其略去 。 考察系统 ( 1) 中任 意感 兴趣的 物理 量 Z =
( Z1 , Z2 , …, Zm ) , 例如结构内某点的应力 、 应变或
[9 ]
Fj ( t) =
k=0
α ∑
k+1
<j , k+1φk ( t)
・ ・
( 13)
式中 α k+1 为能量等效确定的调制系数 。 采用上述 Karhunen2Loeve 分解式 ( 7) 或基于
Hartley 函数的正交分解式 ( 12) , 方程 ( 2) 可转化
。 上述 FP K 方程是 2 n 维偏微分方程 , 对多自由 为
度非线性体系问题 , 无论是解析求解还是数值求 解 , 均极为困难
[2 ,5 ]
。 上个世纪 90 年代中期发展起
来的 Hamilto n 理论体系在求解多自由度非线性体 系平稳解方面获得了重大的突破 [ 6 ] 。 但对于工程实 践 , 例如地震反应分析中往往更为关心的非平稳解 问题 , 仍然束手无策 。
Y = A ( Y, t) + B F ( t)
・ ・
式中 X 0 ( t) 为均值过程 ,ζ j ( j = 1 , 2 , …, s) 为不相 ζ ζ 关随机变量 , 即 E[ζ k l ] =δ kl , j 和 f j ( t) 分别为满 足下式的本征值和本征函数 :
( 3) K ∫
T X
( t1 , t2 ) f j ( t1 ) d t1 = λ j f j ( t2 )
・ ・
式中 z 0 为初始值 。
( 18 )
Z( t) = G [ X ( t) , X ( t) ] , Z( t0 ) = z0
求解式 ( 22) 、 式 ( 23) 获得 p ZΘ ( z ,θ, t) 之后 , 即 可进一步获得 Z ( t) 的概率密度函数 p Z ( z , t) :
p Z ( z , t) =
・ ・ ・
空间描述和随机事件描述的不同角度理清了概率 守恒原理的物理意义 ,结合对随机动力系统方程的
Euler 描述和 Lagrange 描述 ,分别导出了经典的概
和位移向量 , F ( t) 为外部激励向量 。 若 f ( X) = K
X , 这里 K为 n ×n 刚度矩阵 , 则式 ( 1 ) 为线性系统 ,Biblioteka Baidu
工程结构在地震 、 强风和巨浪等具有强烈随机 性的灾害性荷载作用下往往会不可避免地进入非 线性状态 。要准确地把握大型复杂结构在这些荷 载作用下的反应性态 ,需要进行非线性系统的随机 反应分析 。经过近 50 年的发展 , 随机振动已经取 得了丰硕的成果[ 1 ,2 ] , 对线性系统的随机振动分析 取得了长足的进步 到了巨大的困难