经济数学微积分第01章+函数.doc(习题答案)

第一章 函数

习题1-1

13、用区间表示满足下列不等式的所有x 的集合

(1)3||≤x ； ]3,3[-

(2)1|2|≤-x ； ]3,1[

(3)ε<-||a x ； ),(εε+-a a

(4)5||≥x ； ),5[]5,(+∞--∞

(5)2|1|>+x . ),1()3,(+∞--∞

14、用区间表示满足下列点集,并在数轴上表示出来：

(1)}2|3||{<+=x x A ； )1,5(--

(2)}3|2|1|{<-<=x x B . )5,3()1,1( -

习题1-2

2、求下列函数的自然定义域 (2)2112++-=

x x

y ； 解：⎩⎨⎧≥+≠-02012x x ⇒⎩⎨⎧-≥±≠21x x ⇒),1()1,1()1,2[)(+∞---= f D . (4)21arcsin

-=x y ； 解：

121≤-x ⇒2|1|≤-x ⇒]3,1[)(-=f D . (6)1||)

3ln(--=x x y ；

解：⎩⎨

⎧>->-01||03x x ⇒⎩⎨⎧><1

||3x x ⇒)3,1()1,()( --∞=f D . (6)6

71

2arccos

2---=x x x y . 解：⎪⎩

⎪⎨⎧>--≤-0617122x x x ⇒⎩⎨⎧>+-≤-0)2)(3(712x x x ⇒⎩⎨⎧>-<≤≤3 243x x x 或－ ⇒]4,3()2,3[)( --=f D .

4、确定函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=.

2||1 ,1,1|| ,1)(22x x x x x f 的定义域并作出函数图形. 解：函数的定义域为 )2,2()(-=f D .其图形为 图形> plot(max((max(1-x^2,0))^(1/2),x^2-1),x=-2..2);

7、下列各函数中哪些是周期函数？对周期函数指出其周期

(1) x y 2sin =; 解：2

2cos 1sin )(2x x x f y -===,由于 )(2

2cos 12)22cos(1)(x f x x x f =-=+-=+ππ, 所以, x y 2sin =是以π为周期的周期函数.

注：x T x T x T 2cos )22cos()(2cos 22π======+=+令

(2) )cos(θω+=t y (θω,为常数);

解：)cos()(θω+==t x f y ,由于

)cos()2cos()2(θωθπωωπ

+=+±=+t t t f ,

所以, )cos(θω+=t y 是以

ωπ2为周期的周期函数.

注：)cos()cos(

)(2θωθωωπω+=====++=+=t T t T t f T 令 (3) x

y 1cos =. 解：x x f y 1cos

)(==不是周期函数.因为假设有T ,使得)()(x f T x f =+, 那么 x T x 1cos 1cos =+⇒πk x T x 211+=+ (k 为某整数) ⇒)(2T x x k T x x +++=π⇒)(2T x x k T +=π ⇒ 0=k ⇒0=T .

8、设)(x f 为定义在),(l l -内的奇函数,若)(x f 在),0(l 内单调增加,证明)(x f 在)0,(l -内也单调增加.

解：)0,(21l x x -∈<∀,有),0(12l x x ∈-<-, ↑)(x f ),0(l ,)()(12x f x f -<-∴,

又)(x f 为奇函数,则

)()()()(2211x f x f x f x f =--<--=,

所以)(x f 在)0,(l -内也单调增加.

习题1-3

3、指出下列函数的复合过程

(1)x y 2cos =；

解：u y cos =,x u 2=.

(2)x e y 1=；

解：u e y =,x

u 1=

.

(3)x e y 3sin =；

解：u e y =,3v u =,x v sin =.

(3))]12arcsin[lg(+=x y ；

解：u y arcsin =,v u lg =,12+=x v .

4、(1)设12cos )(sin +=x x f ,求)(cos x f . 解：由于2sin 222

2cos 12)(sin 2+-=+-⋅-=x x x f , 可见22)(2+-=t t f ,所以x x x f 22sin 22cos 2)(cos =+-=.

解2：令x t sin =,则221)sin 21(12cos )(22+-=+-=+=t x x t f ,

所以x x x f 22sin 22cos 2)(cos =+-=.

(2)设221)1(x

x x x f +

=+,求)(x f . 解：由于2)1(1)1(222-+=+=+x

x x x x x f , 可见2)(2-=t t f , 所以2)(2-=x x f .

解2：令x

x t 1+=,则22)1(1)(2222-=-+=+=t x x x x t f , 所以2)(2-=x x f .

5、已知x x x f -=3)(,x x 2sin )(=ϕ,求)]([x f ϕ,)]([x f ϕ.

解：x x x f x f 2sin 2sin )2(sin )]([3-==ϕ,

)(2sin ][)]([33x x x x x f -=-=ϕϕ.

习题1-4

2、下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？

(1) x x e y 2sin 2+-=;