第3章 动量传输的基本定律

xz yz zz ( )dxdydz x y z
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微元体作用力的总和
一般情况下，在流体的动量传输中，微元体上的作用力 有：重力、压力。 ① 压力 如图，A、B
P dx dydz ； x
P 面受的压强分别为：P，P+ x dx
x、y、z 方向压力合力分别为：
( u x u x ) dxdydz x
（3-9c）
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同理， 速度 ux 与 y 及 z 方向的质量 通量 ( uy 及 uz) 组成的动量收支差量 各相应为
( u y u x ) y
dxdydz
（3-9d）

∴
( u z u x ) d x d y d （ z 3-9e） z
粘性流体动量平衡方程，表达了流体流动条件下的动 量及作用力之间的平衡与转换关系，为流体在运动中能量 守恒的特征关系式。 以公式表示为：
[系统的动量收支差量]+[系统其它作用力 总和]=[系统的动量蓄积]
号右边为 0。
（3-8）
对于稳定流动系统，不存在动量蓄积， （3-8）式中的等
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粘性流体的动量传输有两种基本 方式：
[微元体动量蓄积量]y =
( u y ) t
dxdydz
( u z ) dxdydz [微元体动量蓄积量]z= t
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按三个坐标方向分别整理：
( u x ) ( u x u x ) ( u y u x ) ( u z u x ) 简化： t x y z
A B
单位时间流入的质量称质量流量： m/t=ρ dx/t（dydz） 式中 dydz 是 A 面的面积。
从 A 面流入的质量流量：ρ Vx（dydz） 从 B 面流出的质量流量：
( V x ) V dydz dx(dydz) ρ Vx（dydz）+d（ρ Vx（dydz） ）= x x 6
第三章 动量传输的基本方程
• 流体动力学（包括运动学）是研究 流体在外力作用下的运动规律，内 容包括流体运动的方式和速度、加 速度、位移、转动等随空间与时间 的变化，以及研究引起运动的原因 和决定作用力、力矩、动量和能量 的方法。
1
质量、动量、能量守恒定律
• （1）物质不灭定律（或质量守恒定律） 连续性方程 • （2）牛顿第二定律（动量守恒定律） 动量方程（纳维-斯托克斯方程、欧拉 方程） • （3）热力学第一定律（或能量守恒定 律）能量方程（伯努利方程）
4
流体流动中的质量平衡，是指流体流过 一定空间时，其总质量不变，以公式表示 为： [物质的流入量 ]-[物质的流出量 ]=[空间 内物质的蓄积量] （3-1） 当流入量与流出量相等， 即空间无物质蓄 积时，为稳定流动，否则为不稳定流动。
5
在直角坐标系中取一空间微元控制体，边长为 dx、dy、 dz， 通量：XX 量/t.A；流量：XX 量/t. 质量: m=ρ dxdydz
xx yx zx p ( ) g x = x y z x
同理
( u y ) t

( u y u x ) x
xy x

( u y u y ) y
zy z

( u z u y ) z
=
(

yy y
以 ux 为准的微元体对流动量收支差 量为：
( u x u x ) ( u y u x ) ( u z u x ) dxdydz y z x
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②以 y 方向分速度 uy 组成的对流动量收支 差量为：
( u x u y ) ( u y u y ) ( u z u y ) dxdydz y z x
与对流动量传输类似，也有 9 个分量，如下图： τ τ τ
x
—— ux ——τ xx —— uy ——τ xy —— uz ——τ xz
τ yx τ yy τ yz
τ zx τ zy τ zz
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y
z
x与u 组成，从A面传入的粘性动量通量 x x
x
从B面传出的粘性动量通量
xx dx 故动量通量收支差量= x xx = 单位时间的粘性动量收支差量
ρuy——uy —— ρux uy ，ρuy uy ，ρuz uy ρuz——uz —— ρux uz ，ρuy uz ，ρuz uz
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u x u x
z
A dz y dx dy
B
( u x u x ) u x u x dx x
x
① 以 x 方向的分速度 ux 组成的动量收支 ρ ux 与 ux 组成的
( P g x ) dxdydz x
P ( g y ) dxdydz = y
( P g z ) dxdydz z
[作用力总和]z =
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微元体的动量蓄积量
以三个坐标方向的分速度为准的动量 变化为： [微元体动量蓄积量]x
( u x ) = t dxdydz
A 面流入的动量通量： ρ ux﹒ux ,
( u x u x ) u x u x dx B 面上的动量通量： x
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则在 x 方向上的动量通量收支差量，
( u x u x ) dx 由（3-9a）—（3-9b）式为（ ） 。 x
因此在单位时间通过 A 及 B 面的对流动量 收支差量为
2
3.1 质量守恒定律与流体流动的连续性方程 3.2粘性流体动量平衡方程(N-S方程） 3.3 理想流体动量平衡方程——欧拉方程 3.4伯努利方程
3
3.1 质量守恒定律与流体流动的 连续性方程
• 由于我们把流体视为连续介质，因为不 管流体作怎样的流动，质量守恒定律是 必须要满足的，不满足质量守恒的流动 形式是不存在的。另一方面，仅由动量 守恒导出的运动方程是不封闭的，即未 知量的个数多于方程的个数，要使方程 封闭，连续性方程也是必须要引入的。
x
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对直角坐标系，任意方向的质量通量和速度均有三个 方向的分量，同时，以任一方向的分速度（ux，uy，uz） 同三个方向的质量通量（ρux，ρuy，ρuz） ，均可组成三个 动量通量。因此，微元体的总动量通量为三个方向的九个 分量之和。
ρux ux —— ρux ux ，ρuy ux ，ρuz ux 9个分量
v1 A1 v 2 A2
（3-7）
注：式中 U、V、u、v 均表示速 度。
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表示为：
( u r ) ( u ) ( u z ) u r 0 t r r z r
当 为常量的不可压缩流体，可简化为：
u r u u z u r 0 r r z r
2 dxdydz 1 dxdydz
t 2 t1
dxdydz dxdydz t t
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左边=右边，得：
在直角坐标系中：
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
（3-2）
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( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
①由流体粘性所引起的物性动量传输；
②在流体质量对流基础上进行的对流动量传 输。
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直角坐标系N-S方程的推导
由流体对流而进行的对流动量传输，其对流动量通量 有如下含意和确定方法： 在单位时间流入Ax面的质量为
ux Z
Y Ax X
m dx Ax u x Ax dt dt
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对流动量通量有如下含意和确定方法
( V x ) ( V y ) ( V z ) x y z dxdydz
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公式（3-2）的右边：流入的流体使流体微团的质量发 生变化，分析： 流体微团的质量 m=ρ ×dxdydz
在 t1 时间流体微团的密度为ρ 1，故质量为 m1=ρ 1×dxdydz 在 t2 时间流体微团的密度为ρ 2，故质量为 m2=ρ 2×dxdydz ∴ 单位时间内的质量变化：
①稳定流动时 t 0
，则
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 x y z
可压缩流体稳定流动的连续方程。 ②对不可压缩流体，ρ =常数，有：
（3-3）
u x u y u z 0 x y z
（3-4）10
③对一元恒定流动，连续方程式为： 1v1 A1 2 v 2 A2 （3-6） 若为不可压缩流体 1 2 ，则
xx
xx dx x
x
dxdydz
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同理，速度ux分别与
y
和
z
组成的粘性动量收支差量有：

yx y
dydxdz
zx dzdydx z
以ux为准的元体粘性动量的收支差量：
xx yx zx ( )dxdydz x y z
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同理，以uy及uz为准的元体粘性动量收支差量各 相应为 xy yy zy ( )dxdydz x y z
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对不可压缩流体，且μ =const，可简化为
2u x 2u x 2u x u x u x u x u x 1 P ux uy uz gx 2 2 2 t x y z x x y z u y 2u y 2u y 2u y 1 P ux uy uz gy 2 2 2 t x y z y x y z u y u y u y
)
p g y y
( u z ) ( u z u x ) ( u z u y ) ( u z u z ) t x y z
= (Baidu Nhomakorabea
xz yz zz p ) g z x y z z
即粘性流体动量平衡方程式—N-S 方程 适用：可压缩、不可压缩，稳定与不稳定均可。
③以 z 方向分速度 uz 组成的对流动量收支 差量为：
( u x u z ) ( u y u z ) ( u z u z ) dxdydz y z x
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微元体粘性动量收支差量
流体粘性动量传输表现为作用在相关 界面上的粘性力，决定于流体的粘度和速 度梯度。 （注意！ ！对存在变形的流体流动，粘性力 不能简单地由牛顿粘性定律来确定。 ）
u x Ax
Ax
u x
对质量通量乘以流体的速度ux，为动量通量 [对流动量通量]=
u x u x
kg/m· s2（N/m2）
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微元体对流动量收支差量
• 在流场中取出元体空间dxdydz，按上列 定义式确定元体对流动量的收支差量
u x u x
z
A dz y dx dy
B
( u x u x ) u x u x dx x

P A x B
P+dP

P dy dxdz ； y

P dz dydx z
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② 重力
mg 在三个坐标轴的分量为：
[分量]x =ρ gxdxdydz [分量]y =ρ gydxdydz [分量]z =ρ gzdxdydz 所以，微元体在各方向的作用力总和为： [作用力总和]x = [作用力总和]y
所以在 X 方向净流入量（流入-流出） ： ρ Vx（dydz）-{ρ Vx（dydz）+d（ρ Vx（dydz） ）}
( Vx ) dxdydz x
同理，在 Y 方向净流入量： 在 Z 方向净流入量： 公式（3-2）的左边：

( V y ) y
dxdydz
( Vz ) dxdydz z
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例 3-1 已 知 速 度 场 Vx=6 （ x+y2 ） ， Vy=2y+z3，Vz=x+y+4z；试分析此流场 是否存在？ 解： 流场存在的条件是：是否满足连续性方 程
Vx Vy Vz 6; 2; 4 x y z
6+2+4≠0 在。
∴
不连续，故流场不存
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3.2粘性流体动量平衡方程（纳 维—斯托克斯方程）