2020.1北京市朝阳区高二数学(上)期末试卷 答案

北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期期末质量检测
高二年级数学试卷 参考答案 2020．1
三、解答题：（本题满分70分） 17．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），
由条件可得121113,
(4)(),0,a d a a d a d d +=⎧⎪
+=+⎨⎪>⎩
解得11,2.a d =⎧⎨=⎩
所以12(1)21n a n n =+-=-，*n ∈N ．…………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2212n n n n b a n =+=-+，则
12323121135(21)2222(121)222122 2.
n n
n
n n S b b b b n n n n ++=++++=+++
+-++++
++--=+
-=+-
所以数列{}n b 的前n 项和21
22n n S n +=+-．…………………………………11分
（Ⅲ）因为122(21)(21)n n n c a a n n +=
=-+11
,2121
n n =--+ 所以111
1121335
212121
n n
T n n n =-+-+
+
-=
-++. 由
224
2125
n n >
+得12n >，又因为*n ∈N ， 所以满足24
25
n T >
的n 的最小值为13. ……………………………………16分 18．（本小题满分18分）
解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为矩形，
所以AD BC ∥． 又因为BC ⊂平面PBC ，
AD ⊄平面PBC ，
所以AD ∥平面PBC ． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）根据题意，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD
平面ABCD AD =，
因为AB Ì平面ABCD ，且AB AD ⊥， 所以AB ⊥平面PAD ． 又因为PD ⊂平面PAD ，
所以AB PD ⊥． ……………………………………………………9分
（Ⅲ）取AD 的中点为O ，取BC 的中点为E ，连接,OP OE ，则OE AD ⊥，
又因为PA PD =，所以PO
AD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，
以O 为坐标原点，分别以,,OA OE OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间
直角坐标系，如图． 不妨设AB =
PA PD AB ==，90APD ∠=︒，
所以PA PD
==
2AD =，1OP =．
所以(1,0,0)A
，B ，
(C -，(0,0,1)P ，(
D -所以1)PB =-，
(2,0,0)BC =-，
(1,0,1)=--PD ．
由（Ⅱ）可知，AB PD ⊥．
因为90APD ∠=︒，所以⊥PA PD ．
所以⊥PD 平面PAB ．
所以PD 为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBC 的一个法向量为(),,x y z =n ，
则0,0,PB BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n
即0,
20.x z x ⎧+-=⎪⎨
-=⎪⎩
取1y =，得平面PBC
的一个法向量为=n ．
则cos ,3PD PD PD ⋅〈〉=
=
=-⋅n n n
，
由图可知，二面角--
A P
B
C 为钝角， 所以二面角--A PB C 的余弦值是3
-
．…………………………………18分 19．（本小题满分18分）
解：（Ⅰ）由抛物线22y px =过点(1,2)，得24p =．
于是2p =，所以该抛物线的方程为24y x =，
准线方程为1x =-．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．焦点F 的坐标为(10)，．
（i ）由题可知，直线l 的方程为1y x =-．
联立24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2440y y --=．
由韦达定理可得1212
4,
4.y y y y +=⎧⎨=-⎩
因为||1OF =，1212||||||y y y y
+=-，所以
(
)121212111
||||||||||||||222
1||2OB OF O A A FB
S S S OF y OF y OF y y y y =+=
⋅+⋅=+=-===△△△
所以AOB △
的面积为……………………………………………………10分
（ii ）易知直线l 的斜率存在且不为0，焦点坐标为(10)，， 设直线():1l y k x =-．
联立()2
4,1,
y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2222(24)0k x k x k -++=．
由韦达定理可得12
2
12
42,1.x x k x x ⎧
+=+⎪⎨⎪=⎩①② 由题意，||3||FA FB =，
因为,A B 分别到准线的距离等于,A B 到焦点F 的距离， 所以1213(1)x x +=+，即1232x x =+．③ 联立②③，解得121
3,3
x x ==
，代入①得23k =
，所以k = 所以直线l
的方程为)1y x =-． …………………………………18分
20．（本小题满分18分）
解：（Ⅰ）设0(,0)A x ，因为点A 在直线20x y ++=上，
所以020x +=，得02x =-，所以(2,0)A -． 所以2a =
．又因为离心率2
c e a =
=
，所以c =1b =． 所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=. ……………………………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．
（i
）因为k =
2
2,
1,4
y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪
⎩消去y
可得22)14x m ++=，
即22
9440x m ++-=，由2161440m ∆=-+>得2
9m <．
由韦达定理，2121244
.9
m x x x x -+==
由弦长公式得
||MN ===
由于2
16144144m -+≤
，所以||MN =≤=
当且仅当0m =时，||MN
取到最大值
3
. ……………………………11分 （ii ）若||||OD OE =，则O 为DE 的中点，所以0D E x x +=. 设直线0:DE y k x =，直线1
1:(2)2
y AM y x x =
++， 两个方程联立可得：
1
01(2)2
y x k x x +=+． 解得10112(2)D y x k x y =
+-，同理2
022
2.(2)E y x k x y =
+- 所以12
011022
220,(2)(2)D E y y x x k x y k x y +=
+=+-+-
即0121202112(2)(2)0.
k y x y y k y x y y +-++-=
所以210102012122()20.y m y m
k y k y k y y y y k k --⋅+⋅++-= 化简得：00120122(
1)(2)()0.k mk
y y k y y k k
-+-+=① 由22
,
1,4
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得: 2222()44y m k y k -+=，即2222(14)240k y my m k +-+-=，
由2222
44(14)(4)0m k m k ∆=-+->，得22
14m k <+．
所以22
121222
24,.1414m m k y y y y k k -+=
=++ 代入①得到：22
00022
422(1)(2)0.1414k mk m k m k k k k k
--+-=++ 所以2
2
00()(4)(2)0,k k m k mk m k ----= 即0(2)(22)0.m k k k k m ---=
若2m k =，则直线l 过点A ，与已知不符合. 又0k ≠，所以0220k k m --=.
又由0:DE y k x =，联立:l y kx m =+，消去y 得：02P m
x k k
=
=-， 所以，点P 在定直线2x =上. ………………………………………………18分。