相似三角形影子问题、网格问题、动点问题(完整资料).doc

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相似三角形的应用

针对常见相似三角形的应用类型，我们列出下列经典例题，希望通过这些例题掌握相似三角形在实际问题中的作用。

1、关于影子

例题1、高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的

高度．

小结：同一时刻的太阳下，高度之比等于影长之比。

例题2、如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB=1.125m，蹲下来，则身影AC=0.5m，已知小明的身高AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度PH.

小结：关于半影，半坡，会有训练题。

2、关于梯子

例题2、如图，长梯AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙80 cm，梯上点D距墙70 cm，量得BD长55 cm，求梯子的长．

小结：梯子是常见的平行模型，注意设未知数，表示出对应线段长度

3、关于镜子

例题3、小东用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2．5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1．6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB(注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角)．

小结：这种题目一般来说是利用两次相似找到中间的量。从而解题。

4、关于测距构建相似

例题4.如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B 的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的距离为___________.

小结：联系以前学习全等三角形的方法与此不同点。

5、关于标杆

例题5、如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED.

小结：注意构建合适的相似三角形。最后的高度要加上分离出来的部分。

6、关于表格相似

例题1、如图，在4×4方格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的

A

B C D E F 小正方形

的顶点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似？并证明你的结论.

小结：这类题目的解法：方法一，找出特殊角，求出夹这个角的两边是否

对应成比例；方法二，求出三角形三边的长，根据大边比大边，小边比小边的原则，看三边是否成比例。

练习：

1、为了测量路灯（OS ）的高度,把一根长1．5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC ）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB ‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B ‘C ‘）为1．8米,求路灯离地面的高度．

2、则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为( )

3．课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5m•

h S A C B 'O C 'A '

的同学的影长为1.35m ，因大树靠近一幢建筑物，影子不全在地面上（如图），现测得地面上树影的长BC=3.6m ，墙面上树影的高CD=1.8m ，求树高AB 的长．

4、如图，四边形ABCD ，DCFE ，EFGH 是三

个正方形．求∠1+∠2+∠3的度数．

5. 如图，ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 延长线上，连CE 交AD 于点

F ，∠ECA＝∠D，求证：AC·BE＝CE·AD。

32

1F E D C B A H G

6. 如图,∠BAC=90°,AD⊥BC,AB=4，AC=3，求AD,BD 的长

7．如图，BD 、CE 为△ABC 的高，求证∠AED ＝∠ACB ．

8. 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O

都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，

则点

B C A D

M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ）

A. F

B. G

C. H

D. O

9. 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为

1)，则点C 的坐标是_____.

10. 图4，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.

（1）填空：∠ABC ＝_____，BC ＝_____；

（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.

11. 如图正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，线段MN 的两端点分别在CB 、CD 上滑动，且MN=1，当CM 为何值时△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？

O H G F E 图 3D C

B A 图2 图3 图4 D

C B A

12．如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。

（1）当x 为何值时，PQ∥BC？

（2）当31=∆∆ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；

（3）ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。