高一数学《3.1.1 倾斜角与斜率》教案

3.1.1倾斜角与斜率（教学设计）

一、 内容及其解析

1、内容：直线的倾斜角与斜率的概念及斜率公式。

2、解析：本课是高中解析几何内容的开始。解析几何是以平面直角坐标系为桥梁，将几何问题代数化，通过代数运算来研究几何图形性质的方法。因为直线是最基本的几何图形，所以要实现几何问题代数化应先从直线入手，而直线的倾斜角和斜率是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是将直线用代数形式表示的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解平面直角坐标系内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，奠定基础，渗透方法的作用。

直线的斜率是后续内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率都有重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好本章的关键。

二、目标及其解析

1、目标：理解直线的倾斜角和斜率概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

2、解析： ①在平面直角坐标系中观察具体图形，在探索描述直线的倾斜程度的几何要素的过程中，抽象出直线倾斜角的概念，明确倾斜角的取值范围；

②以日常生活中表示倾斜面的“坡度”问题，引出直线斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，明确倾斜角和斜率之间的关系。 ③在探究直线的斜率与直线上两点坐标关系的过程中，掌握已知直线上两点计算直线斜率的公式，能根据斜率的计算公式，求直线的斜率。 ④通过经历用代数方法刻画直线斜率的过程，帮助学生了解解析几何的“坐标法”思想和基本研究方法，进一步体会“数形结合”的思想方法。

三、教学问题诊断 在欧氏几何的学习中，学生已经知道两点可以确定一条直线，而已知一点和什么条件能确定直线，以及如何来刻画这个条件，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察经过同一点的不同直线的区别，从中形成倾斜角的概念；本课的教学难点是：直线的斜率与它的倾斜角间的关系。应让学生明白直线的倾斜角、斜率都是用来刻画直线倾斜程度的，它们在本质上是一致的。在引入倾斜角概念后还要引入斜率的概念的目的是将直线的倾斜程度代数化，为以后通过点的坐标来计算、刻画直线的倾斜程度服务。同时还应通过信息技术使学生认清斜率的正负与倾斜角大小的关系；本课教学重点是：斜率的概念及用代数方法刻画斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。

四、教学支持条件分析 本课是一个几何问题代数化的过程，数形结合可有效实现教学目标，因此必要的信息技术的演示过程可促进学生的认知与理解能力。增加教学的趣味性和生动性

五、教学过程设计

（一）教学基本流程

题型示例 课堂小结

推出斜率计算公式 认识倾斜角与

斜率的概念 了解倾斜角与斜率的关系

（二）教学情景

(一)引言

在几何问题研究中，我们往往通过几何图形来研究其性质，本章起我们将学习一种新的研究几何图形性质的方法——坐标法，这种方法以坐标系为桥梁，先把几何问题转化为代数问题，再通过代数运算来研究几何图形的性质，用坐标法研究几何图形性质的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。

大家知道图形可由点构成，平面直角坐标系中的一个点可用一对有序实数对来表示，那么如何用代数的方法表示一个图形呢？

设计意图：通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题。 师生活动：组织学生讨论，激发学生求知欲，明确研究课题。

(二)课题引入

我们先研究坐标平面内最简单的图形——直线。首先请大家想一想哪些条件可确定直线的位置，如何在坐标系中用代数的方法把这些条件表示出来？

设计意图：使学生明确本课学习的内容。

师生活动：引导学生寻找解决问题的突破口，并请阐述想法。

（三）探究新知

1．倾斜角概念

问题1：过1p 与2p 两点的直线有几条？过点1p 的直线又有几条？ 设计意图：使学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

师生活动：让学生通过作图寻找答案。

问题2：在直角坐标系中，过点1p 的不同直线的区别在哪里？ 设计意图：让学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。

师生活动：让学生观察图形回答问题。

问题3：在直角坐标系中，用一个什么几何量来反映过点1p 的不同直线间的差别呢？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。

师生活动：老师可类比物理中描述物体运动的方法来引导学生得出倾斜角的概念。

问题4：根据倾斜角的定义，你认为倾斜角的范围是什么？

设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。

师生活动：从定义出发，探求倾斜角的取值范围。

问题5：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为平面直角坐标系中哪些条件可以确定一条直线的位置？ 2p •

o y

x

1p •

设计意图：使学生理解确定一条直线的位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可。

师生活动：组织学生讨论，得出结论。

2．斜率概念

我们已经得到确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？

设计意图：告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化。

师生活动：由老师引导继续寻求解决问题的方法。

问题6：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？

设计意图：基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。

师生活动：引导学生举出生活中的实例，比如，山坡，楼梯等。

问题7：观察下面一组图形你认为对于斜坡而言，坡的陡峭程度与坡面跟地平面所成角的大小有何关系，这个角的变化又与哪些数量变化有关？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？ 设计意图：让学生发现坡越陡坡面跟地平面所成的角越大，这个角与升高量比前进量的关系。 师生活动：老师引导学生观察图形得出结论。

问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念。

师生活动：得出斜率的概念。

问题9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？ 设计意图：沟通数形关系，加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。

师生活动：不是每条直线都有斜率，倾斜角不同其斜率也不同，因此可用斜率来刻画直线的倾斜程度。

3．斜率公式

问题10：我们知道两点可确定一条直线，直线一旦确定，其倾斜角及斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2, y 2)（其中x 1≠x 2）的坐标来表示吗？如果能请导出它们的关系。

设计意图：使学生自己推导出过两点的直线的斜率公式。 师生活动：老师提示学生，让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式。 B E C D A C D B A C D B A