高级投资学2013-02马克维茨理论

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分散化
St. Deviation
Unique Risk
Market Risk
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Number of Securities
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资产组合风险是资产组合中股票数量的函数
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资产组合分散化
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E(R)
风险资产的最小方差边界
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有效前沿面的数学表达
1 L w w r ( Rp wT R) (1 w ) 2
min
u (W ) A(W ) u (W )
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负指数效用是刻画风险厌恶的代表性效用函数
U W 1 ebW
U ' W be bW , U '' W b 2e bW A W b
如果财富与收益率均服从正态分布，那么期望效用就表示为
北航金融硕士
《投资学》 CH2 马科维茨投资组合理论
讲授：韩立岩，2013 北京航空航天大学经济管理学院
背景
第二次世界大战结束之后欧美股市全面复苏，共同基金成为大众的选择。 在证券市场发展的高潮中，投资组合技术得到快速发展，由此拉动了相关 学术研究。 在这个大背景下，年轻的马科维茨于50年代初在《金融学杂志》发表了奠 基性的论文“组合选择”。 他的突出贡献：
当 DE 1时，
P wD D wE E 0 E D wD , wE D E D E
实现完全的套期头寸。 雨伞与防晒油！
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两基金组合的性质
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一个算例：债券与股权的结合
资产组合的收益率和风险
注意其中由于分散投资所带来的风险的降低。
2 2 2 2 2 P wD D wE E 2wD wE D E DE 2 2 2 2 wD D wE E 2wD wE D E
wD D wE E
2
总可以减 低风险
P wD D wE E
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对冲情形
100% 股票
100% 债券
注意其中有些资产组合优于其他组合， 即它们的风险更低而收益更高。这就构 成了有效集。
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分散化
1.分散的目的:降低或消除非系统风险。
– 系统风险：宏观经济运行产生的风险，例如经济周期、通胀率、利率、 汇率变动。 – 非系统风险：个别股票在商业竞争中出现的风险，如对手、产品、产业 。 2.选择的准则：相互独立、不相关或负相关的股票组合在一起。至少不应是 “正相关”。
RP w j R j
j 1
n
关于投资比 例的线性型
n n n E ( RP ) E w j R j E w j R j w j E R j j 1 j 1 j 1
n n n D RP D w j R j wi w j cov Ri , R j j 1 i 1 j 1 wi w j i j ij
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重点难点：
组合收益的线性特性、组合 风险的二次曲线图形、 效用函数的风险厌恶特性、 均值-方差准则、两基金分 离、有效前沿面。
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1 2 3 4 5
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收益和风险
风险厌恶
投资组合和证券选择
风险资产组合的有效前沿
本章小结
1.收益和风险
i 1 j 1 n n
关于投资比例的 二次型
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两基金组合：一支股票加一只债券的组合
rp wD rD wE rE
E(rp ) wD E(rD ) wE E(rE )
2 2 2 2 2 p wD D wE E 2wD wE Cov(rD , rE )
通货膨胀溢价（inflation premium, IP）是对实际 无风险利率的调整，以给 投资者对由于通货膨胀预 期变化带来的价格指数和 货币市场条件的变化进行 补偿。
在没有特别说明的情况下 ，假设我们讨论的均是名 义收益率。
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何为风险？何为无风险？波动性？
Daily Price，600003 20080101——20081231
均值-方差准则（mean-variance criterion）
E (rA ) E (rB )
A B
上述两个不等式中至少有一项不相等，则称A比B有优势。
理解?
给定 均值 给定 方差
比较方差 方差最小化
比较均值
均值最大化
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效用函数的选择
二次效用——最简单的设计：期望与方差做一个线性组合，前者系数为正 ，后者系数为负。
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方差与标准差
Var ( R) E R E R
2
Var(R)
2
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2. 风险厌恶
投资者理性：行为基准，有理性才有非理性 风险厌恶——投资者理性 收益值得就担风险，或者说所担风险要配得上预期收益。 效用是指对消费者通过消费或者享受闲暇等使自己的需求、欲望等得到满 足的一个度量。 财富效用——投资效用。
一是给出了证券风险的数学表达，提出了资产投资组合的期望收益和期望 风险的测度；
二是提出均值-方差准则，进而推导出投资组合的有效前沿。投资组合方差 公式说明了多样化投资可以降低投资组合的总风险，并且说明了如何有效 地进行多样化。
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CH2 马科维茨投资组合理论
学习目标：
掌握证券投资的收益与风险 表达； 掌握行为人风险厌恶的效用 函数刻画，理解风险厌恶系 数； 重点掌握组合投资决策的均 值-方差准则和两基金分离 定理，理解有效前沿面，理 解投资组合的风险分散原理 。
一个权重平均的组合（股票和债券各占50％）的风险比单独的股票或债券 的风险都低。
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两个风险资产的可行集
100% 股票
100% 债券
同理可以得出其他非平均分配权重的 资产组合的风险分散情况。
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两个风险资产的有效集
人为规定一个风险厌恶系数A的范围，如美国投资理财行业通常规定A在 2-6之间，用来测度风险厌恶程度。
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风险厌恶的两个度量
绝对风险厌恶度量，又称 为Arrow-Pratt度量：
相对风险厌恶度量，考虑 具有不同财富水平的投资 者的风险厌恶程度的比较 。
U ' ' W AR W WA W U ' W W
1 2 E U W 1 exp bE W b D W 2
1 max E U R maxE R bDR 2
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3. 投资组合和证券选择
分散化（diversification）：不要把你所有的鸡蛋放在一个篮子里。 分散总可以降低风险？还能保证一定收益吗？
基础证券的典型代表：股票和债券
证券的属性——收益率——随机性——随机变量刻画 证券收益率的正态分布假定
一般表示：两个基本数字特征
期望——预期收益率，常常称作预期收益（expected return） 标准差（或者方差）——收益风险或者波动性
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收益率度量
持有期收益率（holdingperiod return, HPR）
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谁为正态？
Daily Return，600003
20080101——20081231
30 25 20 15 10 5 0 -0.04
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Series: DAILYRETURNS Sample 1/01/2008 12/31/2008 Observations 241 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability -0.02 -0.00 0.02 0.04 -0.003528 0.000000 0.051502 -0.051948 0.028952 -0.046084 2.189488 6.681980 0.035402
两条效用原理：
（1）边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一 阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，即效用 函数二阶导数小于零。 （2）最大效用原则：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了 获得最大的期望效用值而非最大的期望金额值。
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马科维茨的投资组合理论中对个人投资行为的假设
① 投资者把任何投资机会均看作是在投资期间内收益的概率分布。
② 投资者最大化其投资期内的期望效用，且他们的效用函数对财富是边际 效用递减的。 ③ 投资者基于预期收益率的波动来估计投资组合的风险。
④ 投资者在做投资决策时仅考虑投资机会预期收益率的期望和风险。这意 味着他们的效用曲线仅是收益的期望（均值）和方差（标准差）的函数 。
收益的标准差σ
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2.4 风险资产组合的有效前沿
有效前沿:
能包含所有可能组合中 的最好组合的曲线被称 为（或者有效边界， efficient frontier）。 有效前沿代表了那些对 特定风险水平具有最大 收益率，
E(R)
有效前沿 全局最小方差组 合
B
C
A
Leabharlann Baidu
最小方差边界
而对给定收益率水平具 有最小方差（或标准差 ）的投资组合的集合。
几何平均收益率（geometric average return）是各阶段持 有期收益率的几何平均值。
HPR
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风险溢价与风险报偿
风险溢价（risk premium, RP）是投资 者对投资伴随的不确定 性所要求的补偿。风险 的基本来源包括行业风 险、财务风险、流动性 风险、汇率风险、国家 风险，等等。
是对单一期间的投资收益进行衡量 的一种简单而明确的度量方法。
定义：一单位的投资在投资期间内 的总收益，即价格变化与股利收入 所表现的收益。
期末价格 期初价格 现金股利 期初价格
算术平均收益率（arithmetric average return）是计算各个 持有期收益率的算术平均值， 即每阶段持有期收益的总和除 以期数。
A的作用？
一个资产组合的效用值只有大于无风险利率时,才有意义, 二者相等时 的报酬率称为“确定等价率（certainty equivalent rate)”.
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风险厌恶系数
风险厌恶系数 A 受多种因素影响，如： – 投资者的风险偏好 – 投资者的风险承受力 – 投资者的时间期限 风险厌恶系数A是投资者的主观态度，因人而异，通常通过问卷调查来 获得。
⑤ 投资者是风险厌恶的。对于给定的风险水平，资者更偏好预期收益率较 高的投资；同样，给定期望收益水平，投资者更偏好风险较低的投资。
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不同相关系数不同权重情况下的两项资 产投资组合的风险-收益图
E(R)
0.25
f
0.2
2
g
0.15
j
i k
h
0.1
m
1
0.05
0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11
30 25 20 15 10 5 0 2
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Series: DAILYPRICES Sample 1/01/2008 12/31/2008 Observations 241 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability 3 4 5 6 7 4.108963 3.620000 6.870000 1.940000 1.615376 0.288223 1.567653 23.93841 0.000006