基于DEM坡度坡向算法精度的分析研究
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410076 )
A Study of Accuracy and Algorithms for Calculating Slope and Aspect Based on Grid Digital Elevation Model( DEM)
L IU Xue- jun1, 4, GON G Jian- ya2, ZHO U Q-i m ing3, T A N G Guo- an1
第 33 卷 第 3 期 2004 年 8 月
测绘学报
A CT A GEO DA ET ICA et CART OG RA PHICA SI NI CA
文章编号: 1001- 1595( 2004) 03- 0258- 06
中图分类号: P208
Vol. 33, N o. 3 A ug. , 2004
f x = ( z 8- z 2) / ( 2g ) + ( dz 8- dz 2) / ( 2g) g2( f xÊ ( Nx , y ) - f x Ê ( Cx , y ) ) / ( 2 @ 3!) ( 5)
本文首先从简单介绍目前基于 DEM 的坡度 坡向算法原理, 然后分析坡度坡向算法的主要误 差来源, 最 后在数据独 立的 DEM 上 对常用的 6 种坡度坡向算法精度进行了考察。目的在于澄清 目前关于坡度坡向计算模型上的矛盾结论, 即哪 种坡度坡向算法具有较高的坡度坡向计算精度。
2 坡度坡向算法简介
度高的坡度坡向计算结果。
本文认为 正确分析和评价 坡度坡向 算法精 度, 应该在一个客观公正的量化环境中进行, 其前 提条件应具备 3 个: ¹ 误差结构, 即坡度坡向计 算的误差来源; º 误差应具有独立性, 各项误差 应易于区分和控制; » 分析结果应具有明确的可 比对象或真值。显然在实际 DEM 上的分析研究 并不能满足上述条件, 为此本文提出一种在理论 曲面生成的 DEM 上进行坡度坡向精度分析的方 法。方法的本质是建立一系列和实际地形相似的
( z 3- z 1+ z 9- z 7)/ (4g) ( z 5- z 4) / g
2 60
测绘学报
第 33 卷
3 坡度坡向误差结构分析
由坡度坡向计算公式( 1) , ( 2) 知, 坡度坡向是 地形曲面的一阶偏导数的函数, 因此可由偏导数 的误差分析入手, 分析讨论坡度坡向的误差结构。 下面以二阶差分坡度 坡向计算模型 为例进行分 析。如图 1, 设在 3 @ 3 局部窗口中的地形曲面函 数为 z = f ( x , y ) 且三阶连续可微, 给定点为窗口 中心点 5, 其坐标设为( x , y ) , 格网间距为 g。各 格网点的高程真值为 Zi , 观测值为 z i , 观测误差 为 dz i , 他们之间的关系为 Zi = z i + dz i 。
文献标识码: A
基于 DEM 坡度坡向算法精度的分析研究
刘学军1, 4, 龚健雅2, 周启鸣3, 汤国安1
( 1. 南京师范大学 地理科学学院, 江苏 南 京 210097; 2. 武汉大学 测绘遥感信息工程国家重点实验室, 湖 北 武汉 430079; 3. 香港浸会 大 学 地 理 系, 中国 香 港; 4. 长 沙 理 工大 学 公路 工 程 学院, 湖南 长 沙
式中, f x 是南北方向高程变化率, f y 是东西方向 高程变化率。
由( 1) , ( 2) 两式知, 求解地面某点的坡度和坡 向, 关键是求解 f x 和 f y。格网 DEM 是以离散形 式表示地形曲面且曲面函数一般也不知道, 因此
在格网 DEM 上对 f x 和 f y 的求解, 一般是在局部 范围内( 3 @ 3 移动窗口, 图 1) , 通过数值微分方法 或局部曲面拟合方 法进行[ 1] 。考虑到 算法的通
Abstract: Slope and aspect is the most fr equently used terrain parameters in Geo- science models such as hydrolo gical
models and so il erosion models o f Geological Information System ( G IS) . But there are some misunderstanding on slope and aspect accuracy and alg orithms based on Digital Elevation Model ( DEM ) . T he accuracy of slope and aspect is studied and six slope algor ithms are compar ed, T he results ar e confirmed on data independent DEM . T he conclusions of this paper clar ified some ex isting mistakes of slope and aspect accuracy and algorithms.
第3期
刘学军等: 基于 DEM 坡度坡向算法精度的分析研究
2 59
然而 DEM 是地形曲面的微分模拟, 算法设计必然 存在各种各样的假设, 不同假设和前提导致不同的 坡度坡向计算模型和结果, 这虽然对地形特征的可 视化和地形分类影响不大, 但对以数值计算为主的 地学分析模型的影响却比较显著[ 1] 。
收稿日期: 2003-01-06; 修回日期: 2004-06-02 基金项目: 香港浸会大学研究基金资助项目( FRG / 98- 99/ Ò-35) ; 国家自然科学基金资助项目( 40271089)
作者简介: 刘学军( 1965- ) , 男, 博士, 教授, 主要从事地理信息系统理论和软件、数字地面模型和 数字地形分析、公路 CAD 等方面 的 科研和教学。
表 1 坡度坡向计算数 学模型 Tab. 1 Algorithms of slope and aspect from DEM
算法
fx
fy
二阶差 分 三阶不 带权差分 三阶反 距离平方权差分 三阶反 距离权差分 F rame 差分 简单差 分
( z 8- z 2) / ( 2g ) ( z 7- z 1+ z 8- z 2+ z 9- z 3) / ( 6g ) ( z 7- z 1+ 2( z 8- z 2) + z 9 - z 3 ) / ( 8g ) ( z 7- z 1+ 2( z 8- z 2) + z 9 - z 3 ) / ( 4+ 2 2g )
( z 7- z 1+ z 9- z 3) / ( 4g ) ( z 5- z 2)/ g
( z 6- z 4)/ ( 2g) ( z 3- z 1 + z 6 - z 4 + z 9 - z 7 ) / ( 6g) ( z 3 - z 1 + 2( z 6 - z 4 ) + z 9- z 7) / ( 8g) ( z 3 - z 1 + 2( z 6 - z 4 ) + z 9- z 7) / ( 4+ 2 2 g)
( 1. N anj ing Nor mal University , N anj ing 210097, China; 2. N ational Key labor ator y f or I nf or mation Engineer ing in Sur veying , M ap ping and Remote Sensing, W uhan University , W uhan 430079, China ; 3. H ong K ong Bap tist Univer sity , H ong Kong , China , 4. Changsha Science and T echnology Univ er sity , Changsha 710069, China)
3. 1 f x, f y 误差分析
在 8( x + g, y ) 点、2( x - g, y ) 点处, 按泰勒 级数将 z = f ( x , y ) 展开并取至三次项有 f ( x + g, y)= f ( x , y)+ f x ( x , y) g+
f xd( x , y ) g 2/ 2+ f x Ê ( Nx , y ) g 3/ 3!
用性和使用范围, 本文选择了 6 种常用的坡度坡
向算法进行分析( 表 1) 。表 1 各式中的 g 为格网 分辨率, z i ( i = 1, 2, ,, 9) 为中心点 5 周围各格网 点的高程, f x , f y 均是对图 1 中的中心点 5 的计 算而言的。
图 1 DEM 3 @ 3 局部移动窗口 Fig. 1 3@ 3 local mov ing window at DEM
1引言
坡度( Slope) 和坡向( Aspect ) 作为描述地形特 征信息的两个重要指标, 不但能够间接表示地形 的起伏形态和结构, 而且是水文模型、滑坡监测与 分析、地表物质运动、土壤侵蚀、土地利用规划等
地学分析模型的基础数据。在地理信息系统( Geographical Information System, GIS) 中, 坡 度和坡 向 一般 在 数 字 高 程 模 型 ( Digital Elevat ion Model, DEM) 上通过一定的计算模型计算得到。迄今为 止, 在 DEM 上已提出和发展了多种坡度坡向计算 数学模型[ 1] 。尽管坡度坡向的理论定义是明确的,
模拟数学曲面 DEM , 这些曲面数学表达式已知, 则可由坡度坡向的数学定义, 求得任意给定位置 的坡度坡向真值, 同时在这种数学曲面 DEM 上, 各种误差也易于控制和区分: 若考察坡度坡向数 学模型误差, 则可直接在数学曲面离散化的 DEM 上进行, 反之为分析 DEM 误差对坡度坡向的影 响, 则可对此 DEM 施加先验随机特性已知的噪 音, 从而实现对 DEM 误差的模拟以及 DEM 误差 对坡度坡向的影响分析。
地表上某点 的坡度 S 、坡 向 A 是地 形曲面 z = f ( x , y ) 在东西( Y 轴) 、南北( X 轴) 方向上高 程变化率的函数, 即
S = arct an
f
2 x
+
f
2 y
( 1)
A = 270b+ arct an ( f y / f x ) - 90bf x / | f x | ( 2)
( 3) f ( x - g, y)= f ( x , y)- f x ( x , y) g+
f xd( x , y ) g 2/ 2- f x Ê ( Cx , y ) g3/ 3!
( 4) 式中, f x, f xd, f x Ê 分别为关于 x 的一阶、二阶、三 阶偏导数, Nx , Cx 分别为在( x , x + g) , ( x - g , x ) 之间的某个数。式( 3) 、式( 4) 相减, 并考虑 DEM 数据误差, 整理后 f x 为
由于地形表面本身的复杂性以及研究方法和
手段上的不同, 目前对 DEM 坡度和坡向的研究 存在两个极端现象: 一是过分强调 DEM 误差而 忽视 数学 模型 误 差, 如 Skidmore[ 2~ 5] 等 在 实际 DEM 上对坡度坡向精度的分析研究; 另一极端则 重点讨论坡度坡向数学模型误差而未顾及 DEM 误差, 如 Hodgson[ 6~ 8] 等人的研究。由于没有区 分误 差来源和性质, 他们得 出的结论截然不同。 Skidmore[ 2~ 5] 等认为三阶差分系列坡度算法精度 高于二阶差分算法, 而 H odgson[ 6~ 8] 等的研究结 论则表明二阶差分算法能给出较三阶差分算法精
Key words: DEM ; slope; aspect; algorit百度文库hm; accuracy
摘 要: 坡度坡向是两个最基本的地形因子, 目前对 DEM 坡度坡向计算模型和精度存在一些 不同的甚至矛盾的观点, 其原因在于没有区分误差来源和分析评价方法的不同。本文对 DEM 坡度坡向误差进行了理论分析, 并通过实验数据对相关结论进行了验证。旨在澄清目前关于 坡度坡向计算模型上的矛盾结论。 关键词: 数字地面模型; 坡度; 坡向; 算法; 精度
A Study of Accuracy and Algorithms for Calculating Slope and Aspect Based on Grid Digital Elevation Model( DEM)
L IU Xue- jun1, 4, GON G Jian- ya2, ZHO U Q-i m ing3, T A N G Guo- an1
第 33 卷 第 3 期 2004 年 8 月
测绘学报
A CT A GEO DA ET ICA et CART OG RA PHICA SI NI CA
文章编号: 1001- 1595( 2004) 03- 0258- 06
中图分类号: P208
Vol. 33, N o. 3 A ug. , 2004
f x = ( z 8- z 2) / ( 2g ) + ( dz 8- dz 2) / ( 2g) g2( f xÊ ( Nx , y ) - f x Ê ( Cx , y ) ) / ( 2 @ 3!) ( 5)
本文首先从简单介绍目前基于 DEM 的坡度 坡向算法原理, 然后分析坡度坡向算法的主要误 差来源, 最 后在数据独 立的 DEM 上 对常用的 6 种坡度坡向算法精度进行了考察。目的在于澄清 目前关于坡度坡向计算模型上的矛盾结论, 即哪 种坡度坡向算法具有较高的坡度坡向计算精度。
2 坡度坡向算法简介
度高的坡度坡向计算结果。
本文认为 正确分析和评价 坡度坡向 算法精 度, 应该在一个客观公正的量化环境中进行, 其前 提条件应具备 3 个: ¹ 误差结构, 即坡度坡向计 算的误差来源; º 误差应具有独立性, 各项误差 应易于区分和控制; » 分析结果应具有明确的可 比对象或真值。显然在实际 DEM 上的分析研究 并不能满足上述条件, 为此本文提出一种在理论 曲面生成的 DEM 上进行坡度坡向精度分析的方 法。方法的本质是建立一系列和实际地形相似的
( z 3- z 1+ z 9- z 7)/ (4g) ( z 5- z 4) / g
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测绘学报
第 33 卷
3 坡度坡向误差结构分析
由坡度坡向计算公式( 1) , ( 2) 知, 坡度坡向是 地形曲面的一阶偏导数的函数, 因此可由偏导数 的误差分析入手, 分析讨论坡度坡向的误差结构。 下面以二阶差分坡度 坡向计算模型 为例进行分 析。如图 1, 设在 3 @ 3 局部窗口中的地形曲面函 数为 z = f ( x , y ) 且三阶连续可微, 给定点为窗口 中心点 5, 其坐标设为( x , y ) , 格网间距为 g。各 格网点的高程真值为 Zi , 观测值为 z i , 观测误差 为 dz i , 他们之间的关系为 Zi = z i + dz i 。
文献标识码: A
基于 DEM 坡度坡向算法精度的分析研究
刘学军1, 4, 龚健雅2, 周启鸣3, 汤国安1
( 1. 南京师范大学 地理科学学院, 江苏 南 京 210097; 2. 武汉大学 测绘遥感信息工程国家重点实验室, 湖 北 武汉 430079; 3. 香港浸会 大 学 地 理 系, 中国 香 港; 4. 长 沙 理 工大 学 公路 工 程 学院, 湖南 长 沙
式中, f x 是南北方向高程变化率, f y 是东西方向 高程变化率。
由( 1) , ( 2) 两式知, 求解地面某点的坡度和坡 向, 关键是求解 f x 和 f y。格网 DEM 是以离散形 式表示地形曲面且曲面函数一般也不知道, 因此
在格网 DEM 上对 f x 和 f y 的求解, 一般是在局部 范围内( 3 @ 3 移动窗口, 图 1) , 通过数值微分方法 或局部曲面拟合方 法进行[ 1] 。考虑到 算法的通
Abstract: Slope and aspect is the most fr equently used terrain parameters in Geo- science models such as hydrolo gical
models and so il erosion models o f Geological Information System ( G IS) . But there are some misunderstanding on slope and aspect accuracy and alg orithms based on Digital Elevation Model ( DEM ) . T he accuracy of slope and aspect is studied and six slope algor ithms are compar ed, T he results ar e confirmed on data independent DEM . T he conclusions of this paper clar ified some ex isting mistakes of slope and aspect accuracy and algorithms.
第3期
刘学军等: 基于 DEM 坡度坡向算法精度的分析研究
2 59
然而 DEM 是地形曲面的微分模拟, 算法设计必然 存在各种各样的假设, 不同假设和前提导致不同的 坡度坡向计算模型和结果, 这虽然对地形特征的可 视化和地形分类影响不大, 但对以数值计算为主的 地学分析模型的影响却比较显著[ 1] 。
收稿日期: 2003-01-06; 修回日期: 2004-06-02 基金项目: 香港浸会大学研究基金资助项目( FRG / 98- 99/ Ò-35) ; 国家自然科学基金资助项目( 40271089)
作者简介: 刘学军( 1965- ) , 男, 博士, 教授, 主要从事地理信息系统理论和软件、数字地面模型和 数字地形分析、公路 CAD 等方面 的 科研和教学。
表 1 坡度坡向计算数 学模型 Tab. 1 Algorithms of slope and aspect from DEM
算法
fx
fy
二阶差 分 三阶不 带权差分 三阶反 距离平方权差分 三阶反 距离权差分 F rame 差分 简单差 分
( z 8- z 2) / ( 2g ) ( z 7- z 1+ z 8- z 2+ z 9- z 3) / ( 6g ) ( z 7- z 1+ 2( z 8- z 2) + z 9 - z 3 ) / ( 8g ) ( z 7- z 1+ 2( z 8- z 2) + z 9 - z 3 ) / ( 4+ 2 2g )
( z 7- z 1+ z 9- z 3) / ( 4g ) ( z 5- z 2)/ g
( z 6- z 4)/ ( 2g) ( z 3- z 1 + z 6 - z 4 + z 9 - z 7 ) / ( 6g) ( z 3 - z 1 + 2( z 6 - z 4 ) + z 9- z 7) / ( 8g) ( z 3 - z 1 + 2( z 6 - z 4 ) + z 9- z 7) / ( 4+ 2 2 g)
( 1. N anj ing Nor mal University , N anj ing 210097, China; 2. N ational Key labor ator y f or I nf or mation Engineer ing in Sur veying , M ap ping and Remote Sensing, W uhan University , W uhan 430079, China ; 3. H ong K ong Bap tist Univer sity , H ong Kong , China , 4. Changsha Science and T echnology Univ er sity , Changsha 710069, China)
3. 1 f x, f y 误差分析
在 8( x + g, y ) 点、2( x - g, y ) 点处, 按泰勒 级数将 z = f ( x , y ) 展开并取至三次项有 f ( x + g, y)= f ( x , y)+ f x ( x , y) g+
f xd( x , y ) g 2/ 2+ f x Ê ( Nx , y ) g 3/ 3!
用性和使用范围, 本文选择了 6 种常用的坡度坡
向算法进行分析( 表 1) 。表 1 各式中的 g 为格网 分辨率, z i ( i = 1, 2, ,, 9) 为中心点 5 周围各格网 点的高程, f x , f y 均是对图 1 中的中心点 5 的计 算而言的。
图 1 DEM 3 @ 3 局部移动窗口 Fig. 1 3@ 3 local mov ing window at DEM
1引言
坡度( Slope) 和坡向( Aspect ) 作为描述地形特 征信息的两个重要指标, 不但能够间接表示地形 的起伏形态和结构, 而且是水文模型、滑坡监测与 分析、地表物质运动、土壤侵蚀、土地利用规划等
地学分析模型的基础数据。在地理信息系统( Geographical Information System, GIS) 中, 坡 度和坡 向 一般 在 数 字 高 程 模 型 ( Digital Elevat ion Model, DEM) 上通过一定的计算模型计算得到。迄今为 止, 在 DEM 上已提出和发展了多种坡度坡向计算 数学模型[ 1] 。尽管坡度坡向的理论定义是明确的,
模拟数学曲面 DEM , 这些曲面数学表达式已知, 则可由坡度坡向的数学定义, 求得任意给定位置 的坡度坡向真值, 同时在这种数学曲面 DEM 上, 各种误差也易于控制和区分: 若考察坡度坡向数 学模型误差, 则可直接在数学曲面离散化的 DEM 上进行, 反之为分析 DEM 误差对坡度坡向的影 响, 则可对此 DEM 施加先验随机特性已知的噪 音, 从而实现对 DEM 误差的模拟以及 DEM 误差 对坡度坡向的影响分析。
地表上某点 的坡度 S 、坡 向 A 是地 形曲面 z = f ( x , y ) 在东西( Y 轴) 、南北( X 轴) 方向上高 程变化率的函数, 即
S = arct an
f
2 x
+
f
2 y
( 1)
A = 270b+ arct an ( f y / f x ) - 90bf x / | f x | ( 2)
( 3) f ( x - g, y)= f ( x , y)- f x ( x , y) g+
f xd( x , y ) g 2/ 2- f x Ê ( Cx , y ) g3/ 3!
( 4) 式中, f x, f xd, f x Ê 分别为关于 x 的一阶、二阶、三 阶偏导数, Nx , Cx 分别为在( x , x + g) , ( x - g , x ) 之间的某个数。式( 3) 、式( 4) 相减, 并考虑 DEM 数据误差, 整理后 f x 为
由于地形表面本身的复杂性以及研究方法和
手段上的不同, 目前对 DEM 坡度和坡向的研究 存在两个极端现象: 一是过分强调 DEM 误差而 忽视 数学 模型 误 差, 如 Skidmore[ 2~ 5] 等 在 实际 DEM 上对坡度坡向精度的分析研究; 另一极端则 重点讨论坡度坡向数学模型误差而未顾及 DEM 误差, 如 Hodgson[ 6~ 8] 等人的研究。由于没有区 分误 差来源和性质, 他们得 出的结论截然不同。 Skidmore[ 2~ 5] 等认为三阶差分系列坡度算法精度 高于二阶差分算法, 而 H odgson[ 6~ 8] 等的研究结 论则表明二阶差分算法能给出较三阶差分算法精
Key words: DEM ; slope; aspect; algorit百度文库hm; accuracy
摘 要: 坡度坡向是两个最基本的地形因子, 目前对 DEM 坡度坡向计算模型和精度存在一些 不同的甚至矛盾的观点, 其原因在于没有区分误差来源和分析评价方法的不同。本文对 DEM 坡度坡向误差进行了理论分析, 并通过实验数据对相关结论进行了验证。旨在澄清目前关于 坡度坡向计算模型上的矛盾结论。 关键词: 数字地面模型; 坡度; 坡向; 算法; 精度